fix(app-J): 修正门限界与稀疏分离的公式和适用条件
补齐有限检验点、复高斯检验与 SBL 更新的推导。 区分实值向量 AMP 示例和复值结构字典，撤回未经证明的等价性。 同步正文与符号索引，保留误指定有限检验点界的推导待办。
This commit is contained in:
@@ -2,105 +2,135 @@
|
||||
\label{sec:dictSeparationAmp}
|
||||
|
||||
\begin{mdquote}
|
||||
\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节多用户分离的低复杂度等价路径——把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离化为对\emph{已知}字典的行稀疏恢复。
|
||||
\noindent\textbf{本附录设定}：将已知用户码的延时--Doppler 模板离散化，逐星估计网格支撑与空间信道。
|
||||
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
|
||||
\item \emph{估计问题} 每星多测量向量（MMV）观测 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$ 的行稀疏恢复（码已知、全活跃 $\Rightarrow$ 组内一选一）；支撑给延时--Doppler、行值给空间信道。
|
||||
\item \emph{本附录给出} 近似消息传递（AMP）与稀疏贝叶斯学习（SBL）不动点、利用组结构的去噪，输出为逐用户参数与空间信道估计。
|
||||
\item \emph{本附录局部符号} $\mathbf Q_\ell$：延时--Doppler 字典；$\mathbf X_\ell$：行稀疏系数；$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$：用户空间信道。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
|
||||
\item \emph{观测模型} 多测量向量模型 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$。
|
||||
\item \emph{结构条件} 单路径、参数在网格上且所有链路增益非零时，每个活跃用户对应一个非零行。
|
||||
\item \emph{求解方法} 说明向量近似消息传递的修正项，并给出复高斯稀疏贝叶斯学习的后验与超参数更新。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{mdquote}
|
||||
|
||||
正文把各用户的延时、Doppler、来向作为连续参数联合估计，集中似然对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影，每次目标评估的复杂度随用户数 $K$ 三次增长且依赖良好初始化。本附录的字典化路径把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离化为对一个\emph{已知}字典的行稀疏恢复，再用消息传递求解；它与正文分离给出同一逐用户输出，却把每星每次迭代的代价降到近线性于问题规模。
|
||||
第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节保留连续方向参数与跨星几何约束。本附录先把各星空间信道作为自由向量估计，得到可供后续阵列拟合使用的中间结果。网格离散及空间结构的放松改变了估计问题，因此这种分步方法与连续联合最大似然一般不等价。
|
||||
|
||||
\subsection{延时--多普勒字典与稀疏测量模型}
|
||||
\label{subsec:I1_dictModel}
|
||||
|
||||
把第 $\ell$ 颗卫星观测的延时--Doppler 平面离散为 $C$ 个网格点 $\{(\tau_c,\nu_c)\}_{c=1}^{C}$（先取粗网格，离格误差由后文的局部细化补偿）。第 $k$ 个用户码在第 $c$ 个网格点上的\emph{已知}时间模板原子为
|
||||
取 $C$ 个网格点 $\{(\tau_c,\nu_c)\}_{c=1}^{C}$，定义已知时间模板
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
[\mathbf q_{\ell,k,c}]_t = s_k(t-\tau_c)\,e^{j\nu_c t},
|
||||
[\mathbf q_{\ell,k,c}]_t=s_k(t-\tau_c)e^{j\nu_c t},
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf q_{\ell,k,c}\in\mathbb C^{T},
|
||||
\mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K,C}]
|
||||
\in\mathbb C^{T\times KC}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
按 $(k,c)$ 排列得字典 $\mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K,C}]\in\mathbb C^{T\times KC}$。第 $m$ 根阵元的时间序列 $\mathbf y_{\ell,m}\in\mathbb C^{T}$（即 $\mathbf Y_\ell$ 第 $m$ 行的转置）满足 $\mathbf y_{\ell,m}=\mathbf Q_\ell\mathbf x_{\ell,m}+\mathbf n_{\ell,m}$。把各阵元并列为多测量向量（multiple-measurement-vector，MMV）形式
|
||||
其中 $t$ 表示实际采样时刻，时延插值沿用第~\ref{sec:userPositioning}~节的带限模板约定。对于第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节不含未知传播时延的模型，固定 $\tau_c=0$，只对 Doppler 建立网格。按阵元并列观测，得到
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:I_mmv}
|
||||
\mathbf Y_\ell^\Tran
|
||||
=\mathbf Q_\ell\,\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran,
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf X_\ell=[\mathbf x_{\ell,1},\ldots,\mathbf x_{\ell,M_\ell}]\in\mathbb C^{KC\times M_\ell}.
|
||||
\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran,
|
||||
\qquad \mathbf X_\ell\in\mathbb C^{KC\times M_\ell}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
关键结构是\emph{行稀疏}：每个活跃用户只占据其真实延时--Doppler 网格点对应的那一行，故 $\mathbf X_\ell$ 仅有少数非零行，且非零行在所有阵元上\emph{共享同一支撑}。进一步地，码分用户的码\emph{已知}、且在多用户硬交集场景下 $K$ 个用户全部活跃，故这一稀疏并非``哪些用户活跃''的未知稀疏，而是\emph{组结构}的：把字典列按用户码分为 $K$ 组（第 $k$ 组为码-$k$ 在所有网格点上的原子），每个已知用户码恰在其组内占据一个延时--Doppler 网格点——即\emph{组内一选一}（one-hot per group）。于是 $\mathbf X_\ell$ 恰有 $K$ 个非零行、每个用户码组各一；这一结构比泛行稀疏更强，应被下文的去噪算子与先验显式利用。若第 $(k,c)$ 行非零，则它\emph{就是}该用户的空间信道
|
||||
在单路径、参数落在网格上且增益非零的条件下，每个活跃用户在自己的 $C$ 行中恰占一行，所有阵元共享这一行支撑。若第 $(k,c)$ 行被选中，未经列归一化的字典对应
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}=\big(\mathbf X_\ell[(k,c),:]\big)^\Herm\in\mathbb C^{M_\ell},
|
||||
\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}
|
||||
=\big(\widehat{\mathbf X}_\ell[(k,c),:]\big)^\Tran,
|
||||
\qquad
|
||||
(\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k})=(\tau_c,\nu_c).
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
这与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节回传的逐用户三元组 $\{\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k},\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 完全一致：稀疏恢复同时给出网格级延时--Doppler（支撑）与空间信道（行值）。
|
||||
这里使用转置而非共轭转置，因为观测模型为 $\mathbf h_{\ell,k}\mathbf q_{\ell,k}^\Tran$。若把字典列除以其范数，则恢复的相应系数行须再除以同一范数，才能还原物理信道。
|
||||
|
||||
用户间干扰体现为字典列的非正交：$\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Q_\ell$ 的非对角元由不同 $(k,c)$ 原子时间模板的互相关给出（码互相关与延时--Doppler 偏移共同决定）。该\emph{互相干}受控时，下文的消息传递可在每星每迭代 $O(M_\ell T\cdot KC)$ 内恢复支撑与信道，替代 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然的 $O(K^3)$ 反复求逆。网格离散的离格误差由\emph{粗网格定位 + 局部细化}补偿：先在粗网格上定支撑，再在峰邻域对 $(\tau,\nu)$ 作牛顿步或细网格细化。
|
||||
这些输出与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节的局部参数具有相同含义，但网格支撑及估计信道并不自动构成原始观测的充分统计量。离格时，真实模板通常需要多个相邻原子近似；选定支撑后的连续参数细化可以减小离散误差，其效果取决于初始化与目标函数。
|
||||
|
||||
\subsection{近似消息传递不动点}
|
||||
\subsection{向量近似消息传递的修正项}
|
||||
\label{subsec:I2_amp}
|
||||
|
||||
对 \eqref{eq:I_mmv} 的行稀疏恢复，近似消息传递（approximate message passing，AMP）以矩阵形式迭代。设字典列已作能量归一化，自 $\mathbf X^0=\mathbf 0$、$\mathbf Z^0=\mathbf Y_\ell^\Tran$ 起，第 $t$ 步为
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\label{eq:I_amp}
|
||||
\mathbf R^t
|
||||
&=\widehat{\mathbf X}^t+\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Z^t,\\
|
||||
\widehat{\mathbf X}^{t+1}
|
||||
&=\boldsymbol\eta_t\big(\mathbf R^t\big),\\
|
||||
\mathbf Z^{t+1}
|
||||
&=\mathbf Y_\ell^\Tran-\mathbf Q_\ell\widehat{\mathbf X}^{t+1}
|
||||
+\frac{KC}{T}\,\big\langle\boldsymbol\eta_t'\big\rangle\,\mathbf Z^t.
|
||||
\end{align}
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathbf R^t$ 是去相关后的等效观测（匹配残差叠加当前估计），$\boldsymbol\eta_t(\cdot)$ 是\emph{逐行}作用的去噪算子——把每一行的 $M_\ell$ 维向量整体收缩以促行稀疏；$\langle\boldsymbol\eta_t'\rangle$ 是其平均散度，构成 Onsager 修正项，抵消迭代间的统计依赖、使 $\mathbf R^t$ 的等效噪声近似为白。去噪算子可取\emph{行软阈值}
|
||||
近似消息传递（approximate message passing，AMP）交替进行残差匹配与去噪。为了明确向量修正项，先考虑实值模型 $\mathbf V=\mathbf A\mathbf X+\mathbf N$，其中 $\mathbf A\in\mathbb R^{n\times d}$、$\mathbf X\in\mathbb R^{d\times b}$。标准随机矩阵设定取 $A_{ij}$ 独立、均值为零、方差为 $1/n$，并在固定维数比的大系统条件下分析。令去噪器 $\mathbf f_t:\mathbb R^b\to\mathbb R^b$ 逐行作用，其 Jacobian 为 $\mathbf J_{t,r}$。从 $\widehat{\mathbf X}^0=\mathbf0$、$\mathbf Z^0=\mathbf V$ 出发，迭代为~\cite{hannakPerformanceAnalysisAMP2018}
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\big[\boldsymbol\eta_t(\mathbf R)\big]_{r,:}
|
||||
=\mathbf R_{r,:}\,\max\!\Big(0,\,1-\frac{\lambda_t}{\|\mathbf R_{r,:}\|_2}\Big),
|
||||
\label{eq:I_amp}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
\mathbf R^t&=\widehat{\mathbf X}^t+\mathbf A^\Tran\mathbf Z^t,\\
|
||||
[\widehat{\mathbf X}^{t+1}]_{r,:}^\Tran
|
||||
&=\mathbf f_t([\mathbf R^t]_{r,:}^\Tran),\\
|
||||
\mathbf Z^{t+1}&=\mathbf V-\mathbf A\widehat{\mathbf X}^{t+1}
|
||||
+\frac{1}{n}\mathbf Z^t
|
||||
\left(\sum_{r=1}^{d}\mathbf J_{t,r}\right)^\Tran .
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
（$\lambda_t$ 为阈值，$r=(k,c)$ 为行索引），或在每行 Bernoulli--复高斯先验下取行后验均值（最小均方误差去噪）。利用第~\ref{subsec:I1_dictModel} 小节的组结构可得更紧的去噪：在\emph{每个用户码组内}做``一选一''——以组内各网格点的行能量 $\|\mathbf R_{(k,c),:}\|_2$ 为权、经 softmax（或取最大）把该组的估计集中到主导网格点，对应每个已知用户在其延时--Doppler 网格内的软/硬选择，从而把先验由``全局少数非零行''收紧为``每组恰一行''。迭代收敛后，各组存活的网格点即对应用户的延时--Doppler，行值即其空间信道。
|
||||
最后一项是 Onsager 修正。其维数为 $n\times b$，由完整的 $b\times b$ Jacobian 构成；只有标量情形或额外的各向同性条件下，才能简化为一个平均导数乘残差。有效噪声的高斯近似依赖随机矩阵与去噪器的适用条件，不由列归一化单独保证。
|
||||
|
||||
\subsection{稀疏贝叶斯学习不动点}
|
||||
例如，行软阈值去噪器取 $\mathbf f(\mathbf r)=(1-\lambda/\|\mathbf r\|_2)_+\mathbf r$，在 $\|\mathbf r\|_2>\lambda$ 时，
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:I_amp_jacobian}
|
||||
\mathbf J(\mathbf r)
|
||||
=\left(1-\frac{\lambda}{\|\mathbf r\|_2}\right)\mathbf I_b
|
||||
+\frac{\lambda}{\|\mathbf r\|_2^3}\mathbf r\mathbf r^\Tran.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
在阈值内部 Jacobian 为零，阈值边界可按几乎处处导数处理。\eqref{eq:I_amp_jacobian} 的非对角项说明，向量去噪一般不能用标量散度替代。
|
||||
|
||||
复值字典模型可等价写为实值块系统
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:I_real_system}
|
||||
\begin{bmatrix}\Re\{\mathbf Y_\ell^\Tran\}\\\Im\{\mathbf Y_\ell^\Tran\}\end{bmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\Re\{\mathbf Q_\ell\}&-\Im\{\mathbf Q_\ell\}\\
|
||||
\Im\{\mathbf Q_\ell\}& \Re\{\mathbf Q_\ell\}
|
||||
\end{bmatrix}
|
||||
\begin{bmatrix}\Re\{\mathbf X_\ell\}\\\Im\{\mathbf X_\ell\}\end{bmatrix}
|
||||
+\begin{bmatrix}\Re\{\mathbf N_\ell^\Tran\}\\\Im\{\mathbf N_\ell^\Tran\}\end{bmatrix}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
该变换保留了模型，却产生重复的矩阵块；同一复系数的实部与虚部还需成组去噪。因此，\eqref{eq:I_amp} 的独立实随机矩阵分析不能直接套用。对于确定性的延时--Doppler 字典，须采用与复值结构、分组先验相匹配的消息传递公式，并另外检查收敛性。这里的实值递推用于说明修正项的结构，下一小节则直接在复值观测模型上给出可计算的后验更新。
|
||||
|
||||
\subsection{稀疏贝叶斯学习的后验与更新}
|
||||
\label{subsec:I3_sbl}
|
||||
|
||||
另一条路径是稀疏贝叶斯学习（sparse Bayesian learning，SBL）。对每行赋零均值复高斯先验、行内（跨阵元）共享方差超参 $\gamma_r$（$r=(k,c)$）：$\mathbf X_\ell[r,:]\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\gamma_r\mathbf I_{M_\ell})$。给定 $\{\gamma_r\}$ 与噪声方差 $\sigma_\ell$，各行值的后验为高斯，均值与协方差对角为
|
||||
稀疏贝叶斯学习（sparse Bayesian learning，SBL）对每个阵元的系数列赋独立先验 $\mathbf X_\ell[:,m]\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\boldsymbol\Gamma)$，其中 $\boldsymbol\Gamma=\diag(\gamma_1,\ldots,\gamma_{KC})$，各阵元共享行方差。以下固定噪声方差 $\sigma_\ell>0$。令
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:I_sbl_posterior}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
\mathbf C&=\sigma_\ell\mathbf I_T+
|
||||
\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm,\\
|
||||
\widehat{\mathbf X}_\ell
|
||||
=\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm
|
||||
\big(\sigma_\ell\mathbf I_T+\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\big)^{-1}
|
||||
\mathbf Y_\ell^\Tran,
|
||||
\qquad
|
||||
\boldsymbol\Gamma=\diag(\gamma_1,\ldots,\gamma_{KC}),
|
||||
&=\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf C^{-1}\mathbf Y_\ell^\Tran,\\
|
||||
\boldsymbol\Sigma
|
||||
&=\boldsymbol\Gamma-\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm
|
||||
\mathbf C^{-1}\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma.
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
由高斯条件分布公式，每个系数列的后验均值是 $\widehat{\mathbf X}_\ell$ 的对应列，协方差均为 $\boldsymbol\Sigma$。对系数积分得到边缘负对数似然，去掉与超参数无关的项后为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\Sigma_{rr}
|
||||
=\gamma_r-\gamma_r^2\,\mathbf q_{\ell,r}^\Herm
|
||||
\big(\sigma_\ell\mathbf I_T+\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\big)^{-1}\mathbf q_{\ell,r},
|
||||
\label{eq:I_sbl_evidence}
|
||||
\mathcal L(\boldsymbol\gamma)
|
||||
=M_\ell\log\det\mathbf C+
|
||||
\operatorname{tr}\!\left[
|
||||
(\mathbf Y_\ell^\Tran)^\Herm\mathbf C^{-1}\mathbf Y_\ell^\Tran
|
||||
\right].
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathbf q_{\ell,r}$ 为字典第 $r$ 列。超参由证据最大化（EM）逐行更新
|
||||
采用期望最大化，先在当前超参数处计算 \eqref{eq:I_sbl_posterior}，再对完整数据对数先验取后验期望。每行的有关项为 $M_\ell\log\gamma_r+
|
||||
\mathbb E[\|\mathbf X_\ell[r,:]\|_2^2\mid\mathbf Y_\ell]/\gamma_r$。对 $\gamma_r$ 求导，得到
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:I_sbl_update}
|
||||
\gamma_r\leftarrow
|
||||
\frac{1}{M_\ell}\big\|\widehat{\mathbf X}_\ell[r,:]\big\|_2^2+\Sigma_{rr},
|
||||
\gamma_r^{\mathrm{new}}
|
||||
=\frac{\|\widehat{\mathbf X}_\ell[r,:]\|_2^2}{M_\ell}+\Sigma_{rr}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
交替``后验求值--超参更新''直至收敛。多数 $\gamma_r\to0$、支撑自动稀疏，存活行同样给出活跃用户的延时--Doppler 与信道。同样可注入第~\ref{subsec:I1_dictModel} 小节的组结构——对每个用户码组施加``组内一选一''先验（组内仅允许一个 $\gamma_r$ 显著），使超参更新 \eqref{eq:I_sbl_update} 在每组内竞争出主导网格点，与已知码、全活跃的设定一致。SBL 不需预设阈值，对字典互相干的鲁棒性通常优于贪婪逐级消除，代价是每次后验求值含一个 $T\times T$ 求逆。
|
||||
迭代可趋于边缘似然的驻点；目标一般非凸，支撑恢复和全局最优性仍取决于数据与初始化。小方差行可用于筛选候选网格，但上述独立高斯先验没有施加每个用户恰选一行的约束。若需要严格的一选一结构，应另引入每个用户的离散网格索引及条件信道先验，并重新推导后验更新；对行能量作最大值选择只是后处理。
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
直接矩阵乘法的字典匹配代价为 $O(M_\ell T KC)$。SBL 还需构造并分解 $\mathbf C$，朴素实现分别需要 $O(T^2KC)$ 与 $O(T^3)$ 运算。总计算量须结合网格规模、迭代次数及后续连续细化评估，不能把一次字典迭代与联合似然的一次小矩阵求逆直接比较。
|
||||
|
||||
本附录给出的字典化模型与 AMP/SBL 不动点，是 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然之外的低复杂度求解路径，输出对应第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节的逐用户参数与空间信道估计。其逐层均方误差与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节 \gls{crb}/\gls{efim} 的挂钩、以及达界所需的字典互相干条件，是自然的后续分析方向；确定性结构字典下其分析工具（state-evolution 递推、向量 AMP 或互相干恢复保证）按字典性质另择。
|
||||
得到逐星信道后，可按阵列流形拟合本地来向，再通过全局方向或位置模型融合。与原始观测的 \gls{crb} 比较时，应分别记录网格误差、支撑选择错误和分步处理的信息损失。
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user