fix(app-J): 修正门限界与稀疏分离的公式和适用条件
补齐有限检验点、复高斯检验与 SBL 更新的推导。 区分实值向量 AMP 示例和复值结构字典，撤回未经证明的等价性。 同步正文与符号索引，保留误指定有限检验点界的推导待办。
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\section{门限区界：误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai}
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\section{门限区界：Barankin 与 Ziv--Zakai}
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\label{sec:thresholdBounds}
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\begin{mdquote}
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\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的含时间戳位置模型，承\appref{subsec:F5_mcrb} 的 \gls{mcrb}。
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\noindent\textbf{本附录设定}：在局部信息分析之外，用相距有限的参数点考察大误差。
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\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
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\item \emph{补充对象} \gls{crb}/\gls{efim}/\gls{mcrb}（均为局部小误差界）之外的\emph{门限区}：低信噪比或参数模糊下的大误差与模糊地板。
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\item \emph{本附录给出} 误指定 Barankin 界（检验点法，定门限阈值）与 Ziv--Zakai 界（贝叶斯，捕获模糊地板、含少用户情形的门限地板）。作为主线三档界之外的扩展，主线不依赖它们。
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\item \emph{本附录局部符号} $\boldsymbol\eta_i$、$L_i$：检验点与其似然比；$P_{\min}$：二元检验最小错误概率；$D^2$：去相关度（白化均值分离）；$\mathcal V\{\cdot\}$：填谷算子。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
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\item \emph{Barankin 型界} 在参考点和检验点施加无偏约束，给出确定参数的协方差下界。
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\item \emph{Ziv--Zakai 界} 指定参数先验，通过二元检验错误率给出贝叶斯均方误差下界。
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\item \emph{高斯闭式} 两个假设均为圆对称复高斯且具有相同的已知协方差；其他情形须重新计算似然比矩或检验错误率。
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\end{itemize}
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\end{mdquote}
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\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}--\appref{sec:timestampErrCrb} 的 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是\emph{局部}（小误差）界：它们刻画估计落入正确盆地后的方差，默认似然在真值（或伪真值）邻域内单峰。当信噪比降到门限以下、或参数空间存在模糊（如周期多帧的 Doppler 梳齿、或少用户下``位置--时间戳''混淆方向上的近简并）时，估计会跳到错误盆地、产生局部界无法预测的\emph{大误差}~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。主线界谱系收于 $\gls{crb}\preceq\gls{efim}\to\gls{mcrb}$ 三档；本附录的门限区两界是其外的\emph{扩展}——误指定 Barankin 把\appref{subsec:F5_mcrb} 的 \gls{mcrb} 延伸到门限，Ziv--Zakai 则从二元检验侧捕获模糊地板。少用户下的信息极限在主线已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化承载，门限以下的大误差另由失效区经验刻画；下述两界给出它们的解析对照，主线不依赖。
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\gls{crb} 由真值附近的导数构造，\gls{efim} 则是消去干扰参数后的信息矩阵，其逆才是相应的协方差下界。局部界的成立不要求整个似然单峰，但它可能无法紧密描述跳入远处模糊峰所造成的大误差~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。本附录先给出匹配模型的有限检验点界，再说明模型误指定时需要改变的条件。
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\subsection{误指定 Barankin 界与阈值}
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\subsection{有限检验点的 Barankin 型界}
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\label{subsec:J1_barankin}
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Barankin 界用\emph{检验点}捕获大误差。取参数空间中偏离参考点的 $q$ 个检验点 $\{\boldsymbol\eta_i\}_{i=1}^{q}$，定义似然比 $L_i(\mathbf y)=p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_i)/p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_{\mathrm r})$（$\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$ 为参考点），则任意无偏估计满足
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设 $\boldsymbol\eta$ 是实值参数向量，参考点为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$，检验点为 $\boldsymbol\eta_1,\ldots,\boldsymbol\eta_q$。密度在这些点有共同支撑，似然比二阶矩有限。定义
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\begin{equation}
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\label{eq:J_likelihood_ratio}
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L_i(\mathbf y)=\frac{p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_i)}
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{p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_{\mathrm r})},
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\qquad
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\boldsymbol\Delta=
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[\boldsymbol\eta_1-\boldsymbol\eta_{\mathrm r},\ldots,
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\boldsymbol\eta_q-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}],
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\qquad
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[\mathbf M]_{ij}=\mathbb E_{\mathrm r}[L_iL_j].
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\end{equation}
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%
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若估计器在参考点及全部检验点无偏，则 $\mathbb E_{\mathrm r}[L_i]=1$，且
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\begin{equation}
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\label{eq:J_cross_moment}
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\mathbb E_{\mathrm r}\!\left[
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(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta_{\mathrm r})(L_i-1)
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\right]=\boldsymbol\eta_i-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}.
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\end{equation}
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令 $\mathbf B_{\mathrm{test}}=\mathbf M-\mathbf1\mathbf1^\Tran$。当它正定时，对估计误差和中心化似然比的联合协方差取 Schur 补，得到
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\begin{equation}
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\label{eq:J_barankin}
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\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\eta})
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\succeq
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\boldsymbol\Delta\,
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\big(\mathbf M-\mathbf 1\mathbf 1^\Tran\big)^{-1}
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\boldsymbol\Delta^\Tran,
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\qquad
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\boldsymbol\Delta=[\boldsymbol\eta_1-\boldsymbol\eta_{\mathrm r},\ldots,\boldsymbol\eta_q-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}],
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\quad
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[\mathbf M]_{ij}=\mathbb E_{\boldsymbol\eta_{\mathrm r}}\{L_iL_j\},
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\operatorname{Cov}_{\mathrm r}(\widehat{\boldsymbol\eta})
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||||
\succeq\boldsymbol\Delta\mathbf B_{\mathrm{test}}^{-1}
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||||
\boldsymbol\Delta^\Tran .
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\end{equation}
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%
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其中 $\mathbf 1$ 为全一向量。检验点趋近 $\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$ 时 \eqref{eq:J_barankin} 退回 \gls{crb}；远检验点则捕获门限区——当某个远检验点 $\boldsymbol\eta_{i^\star}$（对应一个\emph{模糊}的参数值，如错误的延时--Doppler 网格点或几何近简并位置）的似然比二阶矩 $\mathbb E\{L_{i^\star}^2\}$ 仍可观时，\eqref{eq:J_barankin} 较 \gls{crb} 显著抬升，预示该模糊方向上的大误差。
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有限检验点给出 Barankin 型下界；沿任一标量方向对所有有限检验点集合取上确界，才得到该方向的 Barankin 界。若 $\mathbf B_{\mathrm{test}}$ 奇异，须检查无偏约束是否相容，再在其有效子空间使用广义逆。例如，两个不同目标参数具有完全相同的分布时，不存在同时在两点无偏的估计器。正则条件下，令检验点沿完整的局部参数方向趋近参考点，可恢复相应的 \gls{crb}。
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\emph{阈值}即由此定出：圆对称复高斯下 $\mathbb E\{L_iL_j\}=\exp\!\big\{\tfrac{1}{2}(\boldsymbol\mu_i-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})^\Herm\mathbf R^{-1}(\boldsymbol\mu_j-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})\big\}$ 之类的均值相关项（$\boldsymbol\mu_i$ 为检验点处的均值）；门限信噪比是``主导模糊检验点的去相关度 $\|\boldsymbol\mu_{i^\star}-\boldsymbol\mu_{\mathrm r}\|^2_{\mathbf R^{-1}}$ 降到 $O(1)$''之处——高于它各模糊点被压住、界贴 \gls{crb}，低于它模糊点竞争、界跳起。
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\paragraph{复高斯似然比的二阶矩}
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设 $\mathbf y\sim\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_{\mathrm r},\mathbf R)$，$\mathbf R\succ0$ 在所有检验点相同，记 $\mathbf d_i=\boldsymbol\mu_i-\boldsymbol\mu_{\mathrm r}$。展开二次型可得
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\begin{equation}
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\label{eq:J_gaussian_moment}
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\begin{aligned}
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\log L_i
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&=2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}
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(\mathbf y-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})\}
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-\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_i,\\
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[\mathbf M]_{ij}
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&=\exp\!\left(2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_j\}\right).
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\end{aligned}
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\end{equation}
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第二行利用了实高斯变量的矩母函数：第一行随机项的交叉协方差为 $2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_j\}$。所得 $\mathbf M$ 为实对称矩阵。单个检验点时，分母为 $\exp(2D_i^2)-1$，其中 $D_i^2=\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_i$；远处参数若仍具有较小的白化均值距离，就会给出较强的大误差约束。具体门限需结合检验点优化及所采用的估计器分析，不能仅由 $D_i^2$ 的数量级确定。
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把上述\emph{误指定}化（承\appref{subsec:F5_mcrb}）：数据由真模型（含 $\boldsymbol\delta^\star$）生成，而似然比 $L_i$ 取\emph{假设同步}（$\delta=0$）模型、参考点取伪真值 $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。于是 \gls{mcrb} 是其检验点趋近 $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 的局部极限，而误指定 Barankin 在此之上预测门限以下的大误差——\gls{mml} 估计器不仅有\appref{subsec:F5_mcrb} 的偏置，门限以下还叠加模糊跳变。
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\paragraph{模型误指定的适用边界}
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误指定模型的性能界还需规定真实分布、假设分布及估计器的无偏性或矩约束~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。若数据服从真实密度，却把 \eqref{eq:J_likelihood_ratio} 中的两项换成假设同步模型，则一般既没有 $\mathbb E_{\mathrm r}[L_i]=1$，也没有 \eqref{eq:J_cross_moment}。因此，不能通过这一替换把 \eqref{eq:J_barankin} 直接改成误指定界，也不能据此宣称其局部极限就是 \gls{mcrb}。这里的有限点公式用于匹配模型；忽略时间戳的局部失配分析仍使用\appref{subsec:F5_mcrb} 中明确给定的真实与假设模型。
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% TODO: 在给定估计器矩约束后，推导含时间戳真实模型与假设同步模型之间的误指定有限检验点界。
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\subsection{Ziv--Zakai 界与模糊地板}
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\subsection{Ziv--Zakai 界与二元检验}
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\label{subsec:J2_zzb}
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Ziv--Zakai 界（ZZB，Bellini--Tartara 扩展形式）把估计误差与一族\emph{二元假设检验}的错误概率联系起来，从而内禀地捕获模糊。对位置的任一标量投影 $a=\mathbf c^\Tran\mathbf p$，
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取实值标量目标 $a$，先验密度为 $\pi(a)$，观测条件密度为 $p(\mathbf y\mid a)$。如果 $a=\mathbf c^\Tran\mathbf p$ 是位置投影，$p(\mathbf y\mid a)$ 应按给定条件先验对其余位置分量与干扰参数积分；若把它们固定为已知量，则得到的是条件子模型。标量 Ziv--Zakai 界可写为~\cite{tsangZivZakai2023}
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\begin{equation}
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\label{eq:J_zzb}
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\mathbb E\big[(\widehat a-a)^2\big]
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\ge
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\frac{1}{2}\int_0^\infty h\,
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\mathcal V\!\Big\{
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\int \big[w(\mathbf p)+w(\mathbf p+h\,\mathbf c)\big]\,
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P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p+h\,\mathbf c)\,\diff\mathbf p
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\Big\}\,\diff h,
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\begin{aligned}
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\mathbb E[(\widehat a-a)^2]
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&\geq\frac12\int_0^\infty h\,\mathcal V\{g\}(h)\,\diff h,\\
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g(h)&=\int_{\mathbb R}[\pi(a)+\pi(a+h)]P_{\min}(a,a+h)\,\diff a,\\
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\mathcal V\{g\}(h)&=\sup_{u\geq h}g(u).
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\end{aligned}
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\end{equation}
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其中 $w(\cdot)$ 为位置先验，$\mathcal V\{\cdot\}$ 是\emph{填谷}（valley-filling）算子（取非增上包络，处理模糊旁瓣），$P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p')$ 为等先验二元检验 $\mathrm H_0\!:\mathbf p$ 与 $\mathrm H_1\!:\mathbf p'$ 的最小错误概率。圆对称复高斯下
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这里的二元检验先验为 $\rho_0=\dfrac{\pi(a)}{\pi(a)+\pi(a+h)}$ 与 $\rho_1=\dfrac{\pi(a+h)}{\pi(a)+\pi(a+h)}$；权重和为零的点对积分贡献为零。$P_{\min}$ 使用这些先验，而非一律使用等先验。填谷算子取非增上包络，利用误差尾概率的单调性加强下界。
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其依据是恒等式 $\mathbb E[(\widehat a-a)^2]=\dfrac12\int_0^\infty h\,\Pr(|\widehat a-a|\geq h/2)\,\diff h$。用估计值与两个假设的中点比较可构造二元判决；它的错误概率不小于最优二元检验错误概率。对点对积分便得到尾概率的下界 $g(h)$，再利用单调性得到 \eqref{eq:J_zzb}。
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\paragraph{等协方差复高斯检验}
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当两个条件分布为 $\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_0,\mathbf R)$ 与 $\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_1,\mathbf R)$ 时，令
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\begin{equation}
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\label{eq:J_distance}
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D^2=(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_0)^\Herm
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\mathbf R^{-1}(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_0).
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\end{equation}
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在两个假设下，对数似然比分别服从均值为 $-D^2$、$D^2$，方差同为 $2D^2$ 的实高斯分布。以 $\log(\rho_0/\rho_1)$ 为判决阈值，得到
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%
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\begin{equation}
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\label{eq:J_pmin}
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P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p')
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=Q\!\Big(\tfrac{1}{2}\sqrt{D^2(\mathbf p,\mathbf p')}\Big),
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\qquad
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D^2(\mathbf p,\mathbf p')
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||||
=\big\|\boldsymbol\mu(\mathbf p')-\boldsymbol\mu(\mathbf p)\big\|^2_{\mathbf R^{-1}}
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=\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}\big\|\boldsymbol\mu_\ell(\mathbf p')-\boldsymbol\mu_\ell(\mathbf p)\big\|_2^2,
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\begin{aligned}
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P_{\min}
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&=\rho_0 Q\!\left(\frac{D^2+\log(\rho_0/\rho_1)}{\sqrt{2D^2}}\right)
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+\rho_1 Q\!\left(\frac{D^2-\log(\rho_0/\rho_1)}{\sqrt{2D^2}}\right),\\
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P_{\min}\big|_{\rho_0=\rho_1=1/2}
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&=Q\!\left(\sqrt{D^2/2}\right).
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\end{aligned}
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\end{equation}
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即\emph{去相关度}（白化均值分离），跨星可加（与 C6 的信息可加同源）。两端行为清晰：
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\begin{itemize}
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\item \textbf{高信噪比}：对 $h\neq 0$ 有 $D^2$ 大、$P_{\min}$ 迅速衰减，\eqref{eq:J_zzb} 退回投影 \gls{crb}；
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\item \textbf{门限区 / 模糊}：若存在位移 $h^\star\mathbf c$ 使两位置的均值近乎不可分（$\boldsymbol\mu(\mathbf p+h^\star\mathbf c)\approx\boldsymbol\mu(\mathbf p)$，即模糊方向），则该处 $D^2$ 不随信噪比增长、$P_{\min}\!\to\!\tfrac12$，填谷后在 \eqref{eq:J_zzb} 留下一个 $\sim (h^\star)^2$ 量级的\emph{地板}，\gls{crb} 无法预测。
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\end{itemize}
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其中 $Q$ 为标准正态右尾函数。$D=0$ 时，直接取 $P_{\min}=\min(\rho_0,\rho_1)$。对干扰参数积分后，条件密度通常成为混合分布，此时 \eqref{eq:J_pmin} 的高斯闭式不再直接适用。
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\paragraph{少用户的基本极限}
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在含时间戳的位置模型里，最危险的模糊方向正是\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound} 的``位置--时间戳同轴''方向：位移 $\Delta\mathbf p$ 配上一组星钟偏移 $\Delta\boldsymbol\delta$ 可使各星到达时间几乎不变。其去相关度按 \eqref{eq:J_pmin} 是\emph{对用户求和}的——每个用户在该方向贡献一份均值分离，而共享的 $\delta_\ell$ 须同时解释该星上\emph{所有}用户。于是用户数 $K$ 越大，混淆方向上的 $D^2$ 越大、$P_{\min}$ 越早衰减、ZZB 地板越低；反之当 $K$ 太小（典型 $K\le 3$），共享 $\delta_\ell$ 与位置的混淆\emph{欠定}（承\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}：单用户被吃光、双用户仅部分救回），$D^2$ 在该方向始终偏小、$P_{\min}\!\approx\!\tfrac12$，ZZB 地板不随信噪比下降——这是\emph{几何/可辨识层面的基本极限}，非估计器之过，无论何种估计器都受其约束。多用户超定（$K$ 足够大）把混淆方向的 $D^2$ 抬起，才使地板随信噪比下沉。
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\paragraph{近似模糊与误差地板}
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在独立星噪声模型下，$D^2=\sum_\ell\|\boldsymbol\mu_{1,\ell}-\boldsymbol\mu_{0,\ell}\|_2^2/\sigma_\ell$，因此白化距离跨星可加。若两组固定参数的均值差非零，降低噪声方差会使 $D^2$ 增大，检验错误率趋于零；很小的均值差可推迟门限转折，却不必产生高信噪比地板。若不同参数有相同均值，则该点对始终不可区分；要使贝叶斯均方误差保持非零地板，还需这种模糊对先验积分具有非零贡献。
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\medskip
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多用户均值是各用户信号之和，其差的平方范数一般含用户间交叉项。只有相应差向量正交时，白化距离才可再按用户相加。增加用户既提供观测结构，也引入未知参数，其效果应结合\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound} 的投影秩判据与有限距离检验判断，不存在仅由用户数决定的统一门限或地板结论。
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\gls{crb}/\gls{efim}（局部、信息级）给可达精度的标尺，\gls{mcrb}（\appref{subsec:F5_mcrb}）给忽略时间戳的失配代价，三者构成主线界谱系。本附录的误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai 界作为其外的扩展，给门限以下的大误差与模糊地板；少用户下的信息极限在主线已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化惩罚承载，这里的门限地板是同一现象在门限区的另一种呈现，主线不依赖。
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局部满秩与全局唯一性是两个不同条件：前者支持有限的局部协方差界，后者还要求排除搜索域内的远距离模糊。Barankin 型界和 Ziv--Zakai 界分别在无偏约束与先验平均的框架下补充这一分析。
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