fix(app-J): 修正门限界与稀疏分离的公式和适用条件

补齐有限检验点、复高斯检验与 SBL 更新的推导。区分实值向量 AMP 示例和复值结构字典，撤回未经证明的等价性。同步正文与符号索引，保留误指定有限检验点界的推导待办。
2026-09-26 12:50:40 +08:00
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 \subsection{忽略时间戳误差时的 MCRB}
 \label{subsec:mcrbIgnoreDelta}

-\eqref{eq:sec5_efim} 的 \gls{efim} 对应``把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数一并估计''的情形，代价是主参数信息被 Schur 补扣减、\gls{crb} 抬高。与之互补的是另一种工程上常见的处理：估计器\emph{假设星间已同步}（令 $\delta_\ell\equiv 0$）、不把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型以省去这部分参数。此时真值含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$、估计器却以 $\delta=0$ 的似然拟合，构成\emph{模型误指定}，其性能由 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015} 而非 \gls{crb} 刻画。误指定最大似然（\gls{mml}）估计器不再收敛到真值 $\boldsymbol\eta^\star$，而是收敛到使 \gls{kl} 散度最小的\emph{伪真值} $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$，其绕真值的均方误差由两部分组成
+\eqref{eq:sec5_efim} 的 \gls{efim} 对应``把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数一并估计''的情形，代价是主参数信息被 Schur 补扣减、\gls{crb} 抬高。与之互补的是另一种工程上常见的处理：估计器\emph{假设星间已同步}（令 $\delta_\ell\equiv 0$）、不把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型以省去这部分参数。此时真值含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$、估计器却以 $\delta=0$ 的似然拟合，构成\emph{模型误指定}，其性能由 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015} 而非 \gls{crb} 刻画。误指定最大似然（\gls{mml}）估计器不再收敛到真值 $\boldsymbol\eta^\star$，而是收敛到使 \gls{kl} 散度最小的\emph{伪真值} $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$，以下沿用\appref{subsec:F5_mcrb} 的已知且匹配噪声协方差设定。在该附录所述正则性和无偏约束下，绕真值的均方误差满足
 %
 \begin{equation}
  \label{eq:sec5_mcrb}
  \mathbb E\big[(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta^\star)(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta^\star)^\Tran\big]
  \succeq
-  \underbrace{\mathbf A^{-1}\mathbf B\,\mathbf A^{-1}}_{\text{绕 }\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}\text{ 的方差}}
+  \underbrace{[\mathbf A^{-1}\mathbf B\,\mathbf A^{-1}]_{\eta\eta}}_{\text{主参数协方差下界}}
  +
  \underbrace{(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star)(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star)^\Tran}_{\text{忽略 }\boldsymbol\delta\text{ 引入的偏置}}.
 \end{equation}
 %
-与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta^\star$ 的量级。sandwich（夹心型，指 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$ 形式）矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。
+其中 $[\cdot]_{\eta\eta}$ 表示完整均值参数矩阵中主参数对应的子块，实际 \gls{mml} 误差的 sandwich 近似使用大样本条件。与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta^\star$ 的量级。sandwich（夹心型，指 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$ 形式）矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。

 在位置模型中，偏置由时间戳有效导数与位置有效导数的交叉信息决定。传播时延是误差进入几何估计的一条途径，但经过联合求逆后，位置偏置通常不局限于某个径向方向。角度观测本身不含时间戳，也不意味着联合位置估计的横向分量必然无偏。

-需要强调，上述 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是局部（小误差）刻画：少用户下``位置--时间戳''模糊带来的信息损失已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化惩罚承载（\appref{sec:timestampErrCrb}），无需另立界；门限以下的大误差则属失效区行为。作为主线之外的扩展，误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai 门限界见\appref{sec:thresholdBounds}，主线不依赖它们。
+上述局部分析区分了未知时间戳带来的信息损失与忽略时间戳产生的失配偏置。相距较远的参数还可能对应相近的观测分布，形成局部导数难以刻画的大误差。匹配模型下的有限检验点界、Ziv--Zakai 界及其误指定适用边界见\appref{sec:thresholdBounds}。

 本节给出了时间戳误差下的联合模型与局部信息分析。自由复增益吸收恒定相位，包络时移决定剩余信息损失；忽略可观测的包络时移时，还可能产生模型失配偏置。在位置模型中，自由逐星时间戳可吸收单用户的差分时延信息，多用户共享结构则可能保留用户间的相对时延约束。
 至此，多星主线从单阵列 \gls{doa} 递进到含时延、Doppler 与时间戳的多用户协同定位模型；亚波长载波相位干涉与移动用户测速作为更强但要求更苛的通道，可正交叠加于此。