fix(symbol): 修正模型约定与有效信息解释
区分传播方向与反向视线，统一阵列映射及其导数符号。 区分时间同步与载波相干，按增益消元修正时间戳导数和退化结论。同步单快拍、条件压缩、实秩判据与梳齿分辨表述。
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@@ -2,7 +2,7 @@
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\label{sec:timestampErrCrb}
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\begin{mdquote}
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\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的部分相干观测模型。
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\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的时间戳误差模型。
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\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
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\item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$（$K$ 个用户的 \gls{doa}--Doppler）；\emph{干扰参数} 每星时间戳偏移 $\delta_\ell$（参考星取 $\delta=0$）、复增益与噪声方差 $\boldsymbol\zeta_\ell$。
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\item \emph{本附录给出} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim} 分块结构、Schur 补消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架、$K{=}1,\,L{=}2$ 最简情形的解析推导，以及忽略 $\boldsymbol\delta$ 的 \gls{mcrb}；门限以下的大误差与模糊地板见\appref{sec:thresholdBounds}。
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@@ -152,10 +152,21 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
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\qquad
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\big[\mathbf q_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}\big]_t
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=
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\big[\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t},
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\big[-\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t},
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\end{equation}
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%
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其中 $\dot s_k(t)\triangleq -\dfrac{\partial s_k(t-\delta_\ell)}{\partial\delta_\ell}\big|_{\delta_\ell=0}$ 为导频的时间导数（离散场景下取差分近似）。$\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$。
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其中 $\dot s_k(t)$ 为导频对时间的导数，应按实际连续时间波形或其带限插值计算，$\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$。相位项 $-j\nu_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}$ 落在 $\mathbf G_\ell$ 的列空间中，投影后为零。因此
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%
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\begin{equation}
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\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}\mathbf j_{\delta,\ell}
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=-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}
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\sum_k\zeta_{\ell,k}
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\left(\left[\dot s_k(t)e^{j\nu_{\ell,k}t}\right]_{t=0}^{T-1}
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\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\right).
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\label{eq:F2_projected_timestamp}
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\end{equation}
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时间戳的有效信息来自包络导数在增益子空间之外的分量。
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由于 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 对角，对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 消去逐星可写
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@@ -171,9 +182,9 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
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\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran},
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\end{equation}
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%
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其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 中第 $\ell$ 列。这就是``逐星扣除 $\delta_\ell$ 引入的信息损失''的解析形式。
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其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 的对应列，求和限于 $[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}>0$ 的可辨识方向。若该对角元为零，相应有效导数及交叉列也为零，应删去冗余参数或作子空间投影，不作零除法。
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特别地，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 不贡献 $\delta$ 自由度，对 \gls{efim} 的贡献保持与完全相干情形相同；信息损失完全来自其余 $L-1$ 颗带时间戳误差的卫星。
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参考星没有时间戳自由度。与在同一真值处将时间戳视为已知的模型相比，Schur 补的信息扣减来自非参考星。
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\subsection{数值 EFIM 评估框架}
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\label{subsec:F3_numericalEfim}
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@@ -185,7 +196,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
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\item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按\appref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$；
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\item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。
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\end{enumerate}
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$\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性会让 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 显著偏离对角形式（不同 $\ell$ 之间通过导频互相关项耦合），此时 \eqref{eq:F2_efim_final} 的``逐星扣除''形式不再适用，需要对 $\boldsymbol\delta$ 块整体求逆。
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在本模型中，各星噪声独立，时间戳和复增益均为逐星参数。因此，先消去复增益后，$\mathcal I_{\delta\delta}'$ 在任意时间戳真值处都保持对角，逐星 Schur 形式仍成立。大偏移要求在实际真值处重新计算导数，而不会自行产生星间信息块。
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% TODO: 实际数值评估的离散化精度（差分步长选取、导频上采样系数）与后续仿真结果对齐后补充
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@@ -209,7 +220,7 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性
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\Re\big\{\mathbf D_1^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_1}^\perp\mathbf D_1\big\}\bigg|_{\delta_1=0},
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\end{equation}
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%
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其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义，$\delta_1=0$ 处求值即得到完全相干情形的 \gls{efim}。
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其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义。这里 $\mathcal I_{\eta\eta}'$ 对应时间戳已知为零的同步基线；将未知时间戳的真值取零，仍需进一步扣除相应的 Schur 项。
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\paragraph{$\delta_1$ 块}
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$\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
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@@ -217,7 +228,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
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\begin{equation}
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\big[\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\big]_t
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=
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\big[\dot s(t)-j\nu_1 s(t)\big]e^{j\nu_1 t},
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\big[-\dot s(t)-j\nu_1 s(t)\big]e^{j\nu_1 t},
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\qquad
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\mathbf j_{\delta,1}
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=
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@@ -265,7 +276,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
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即在双星基线的 \gls{efim} 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的得分重叠决定。
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\paragraph{特例：导频为单音常包络}
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若进一步取 $s(t)\equiv 1$（常包络单音导频），则 $\dot s(t)\equiv 0$，\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项；它与 $\dfrac{\partial}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}$ 完全共线（同为 $\dfrac{\partial\mathbf q_1}{\partial\nu_1}$ 方向），$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——\gls{efim} 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形，说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。
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若 $s(t)\equiv1$，则 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，时间戳导数完全落在复增益子空间中。消去增益后，$\mathcal I_{\delta\delta}'=0$ 且 $\mathbf v'_{\eta\delta,1}=\mathbf0$。此时不可辨识的是时间戳与增益相位的分解；删除这一冗余时间戳参数即可。Doppler 导数含随采样时刻变化的因子 $t$，只要保留的采样时刻具有非零时间方差，仍可提供局部频率信息。
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% TODO: $K=1, L\ge 3$ 与 $K\ge 2, L=2$ 的解析中间结果——前者需引入 $L-1$ 个 δ_ℓ 联合处理（仍对角，但 v'_{ηδ} 维度变为 3×(L-1)）；后者多用户耦合让 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 不再因式化，闭式较繁。本附录暂留为数值评估。
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@@ -362,9 +373,9 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
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$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta^\star$ 扰动；其中二阶模型导数 $\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu$ 含导频对时延的二阶导数 $\ddot s$，须按\appref{sec:userPositionCrb} 的带限约定评估、同样不用循环/块周期约定，否则该曲率项会被观测窗边界的导数奇异主导而失去物理意义。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。
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\paragraph{一致性与稳健性}
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当 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$：残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}\to\mathbf 0$ 故 $\mathbf A\to\mathbf B=\mathcal I$、偏置 $\mathbf b\to\mathbf 0$，\eqref{eq:sec5_mcrb} 退回同步基线 \gls{crb} $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}$，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 在 $\delta=0$ 处的结果一致。小误差区 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}=O(\boldsymbol\delta^\star)$，故方差项 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}=(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}+O(\boldsymbol\delta^\star)$、主导误差是偏置外积 $\mathbf b\mathbf b^\Tran=O(\|\boldsymbol\delta^\star\|^2)$。两条路线由此对照清晰：估计 $\boldsymbol\delta$（\appref{subsec:F2_schurDelta}）以\emph{方差}为代价——\gls{efim} 被秩一项 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran}/[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}$ 扣减；忽略 $\boldsymbol\delta$（本小节）以\emph{偏置}为代价——方差几乎不变但叠加 $\mathbf b\mathbf b^\Tran$。
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当 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf0$ 时，残差和伪真值偏置趋于零，误指定界退回时间戳已知为零的同步基线。它一般不同于将时间戳作为未知干扰参数时的界，即使后者也在零偏移处求值。小偏移下，方差变化与偏置外积应分别评估，不能仅由偏置是二阶均方误差项就断定它占主导。
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偏置方向 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 与\appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''的退化同源：当导频为单音常包络（$\dot s\equiv 0$）时 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 落入增益子空间、被 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影为零，故 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\to\mathbf 0$、偏置消失——此模型对忽略时间戳误差\emph{稳健}，偏置仅经导频带宽 $\dot s\not\equiv 0$ 进入、且为 $O(\|\boldsymbol\delta^\star\|^2)$ 小量。换言之，本模型的 \gls{mcrb} 主要说明``忽略小钟差近乎无损''；唯当某个主参数与 $\delta_\ell$ 的得分在 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影后强耦合（不再被复增益吸收）时，\eqref{eq:F5_bias} 的偏置才显著放大。
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当导频为单音且时移仅改变复增益时，时间戳导数经投影为零，假设同步的模型仍可用等效复增益表示真实均值，因此不会由这一时移产生主参数失配偏置。一般包络下，一阶偏置由 \eqref{eq:F5_bias} 给出，量级通常为 $O(\|\boldsymbol\delta^\star\|)$，偏置外积才是二阶量；其大小取决于投影后交叉信息与主参数信息矩阵的条件数。
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\subsection{位置模型下的时延--时间戳同轴混淆}
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\label{subsec:F6_tauDeltaConfound}
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@@ -376,24 +387,24 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
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%
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\begin{equation}
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\label{eq:F6_jdelta}
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\frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}
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\frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}\bigg|_{\delta_\ell=0}
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=\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k),
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\qquad
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\big[\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\big]_t=-\dot s_k\big(t-\tau_{\ell,k}\big)e^{j\nu_{\ell,k}t},
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\end{equation}
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%
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它与\appref{sec:userPositionCrb} 的时延列 $\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\tau_{\mathrm{ref},k}=\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 相同，并与位置列的时延贡献 $\big(\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\,\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k\big)\otimes\mathbf a_\ell$ 共线。即 $\delta_\ell$ 的均值导数落在该星时延通道所张子空间内。对照 \eqref{eq:F2_jdelta}：\gls{doa} 基线上 $\delta_\ell$ 还经相位 $-j\nu s$ 进入、与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 纠缠；位置模型把相位常数并入 $\zeta_\ell$ 后，$\delta_\ell$ 纯经包络、转而与时延/距离纠缠。
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在零时间戳处，\eqref{eq:F6_jdelta} 与参考时延导数同形，并与位置导数的时延分量共线。方向模型与位置模型中，恒定相位都可由自由复增益吸收；位置模型的新增混淆来自包络中传播时延与时间戳的相加。
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\paragraph{单用户退化}
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单用户（略去 $k$）下每颗非参考星贡献一个时延方向 $\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$；位置经 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 的距离信息恰沿这 $L-1$ 个方向进入 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的位置列。对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 边缘化 \eqref{eq:F2_efim_final} 在每颗星上正交投影掉 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\delta_\ell$ 方向，恰好把位置列的时延贡献整条消去，$\boldsymbol\delta$-边缘化后的位置 \gls{efim} 只剩角度与差分 Doppler 两通道
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单用户下，每颗非参考星的时间戳导数可吸收该星位置导数中的包络时移分量。参考星的包络位移由自由参考时延吸收。因此，在同时消去复增益、参考时延和时间戳后，位置有效导数只保留角度与 Doppler 导数经同一干扰参数投影后的分量，可记为
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%
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\begin{equation}
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\label{eq:F6_singleuser}
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\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})\big|_{\boldsymbol\delta\text{ marg.}}
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=\mathcal I_{\mathrm e}^{\,\mathrm{ang+dop}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}),
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\mathcal I_{\mathrm e}(\mathbf p)\big|_{\tau_{\mathrm{ref}},\boldsymbol\delta\text{ marg.}}
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=\mathcal I_{\mathrm e}^{\,\mathrm{ang+dop,proj}}(\mathbf p),
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\end{equation}
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%
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时延/\gls{tdoa} 通道净贡献为零。这是 \appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\dot s\equiv0$ 时 $\delta$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''退化的对偶：那里 $\delta$ 无包络信息、并入 Doppler；这里 $\delta$ 有包络信息、却与 $\tau_{\mathrm{ref}}$/距离共线，吃掉测距增益。
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这里右端仍包含未知时延的投影损失，不等同于已知时延的角度--Doppler 基线。位置的时延导数被消去，并不意味着总位置矩阵必然奇异；剩余角度与 Doppler 信息是否满秩由卫星几何决定。
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\paragraph{多用户恢复}
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多用户下 $\delta_\ell$ 是逐星参数、被该星 $K$ 个用户共享，其对均值的导数为单一合成方向
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@@ -403,7 +414,7 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
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=\sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\,\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k);
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\end{equation}
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%
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而 $K$ 个用户的时延贡献 $\big\{(\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\,\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k)\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)\big\}_{k=1}^{K}$ 因几何 $\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k$ 与空间签名 $\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$ 互异，张成至多 $K$ 个不同方向。Schur 边缘化每星只投影掉这一个合成方向，故 $K-1$ 个时延方向存活，时延通道随用户数恢复。等价地，同星不同用户的观测到达时间差相减
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||||
若消去复增益后，$K$ 个用户的时延导数在实参数意义下独立，则消去一个共享时间戳可保留 $K-1$ 个相对时延方向。导数相关时，保留的维数可能更少。对相对于参考星的观测时延再作用户间差分，有
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%
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\begin{equation}
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\big[\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)+\delta_\ell\big]
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@@ -411,10 +422,10 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
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=\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)-\Delta\tau_{\ell,k'}(\mathbf p_{k'})
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\end{equation}
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%
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消去共享 $\delta_\ell$，把它从混淆中超定地分离。故\emph{多用户共享结构是 $\delta_\ell$ 可辨识、\gls{tdoa} 通道净增益的必要条件}。
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这样可消去共享时间戳，但不自动得到位置或时间戳的唯一解。还需消去各用户的参考时延，并检查剩余位置 Jacobian 的实秩；角度与 Doppler 的几何信息也参与这一判断。
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\paragraph{一般情形}
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一般 $L$、大误差区按 \appref{subsec:F3_numericalEfim} 数值评估：把含 $\tau_{\mathrm{ref}}$ 列的 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$（\appref{sec:userPositionCrb}）与 $\boldsymbol\delta$ 块按先复增益、后 $\boldsymbol\delta$ 的顺序 Schur；$\mathbf q^{\mathrm{del}}$ 在导频自相关半宽处的非线性同样使逐星扣除失效、需整体求逆。
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一般 $L$ 和任意时间戳真值可按\appref{subsec:F3_numericalEfim} 评估。先消复增益、再消逐星时间戳时，时间戳信息块仍为对角；若先消去跨星共享的参考时延或其他主参数，则剩余时间戳块可能耦合。计算形式由消元顺序决定，与偏移是否超过导频自相关宽度无关。
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