fix(symbol): 修正模型约定与有效信息解释
区分传播方向与反向视线，统一阵列映射及其导数符号。 区分时间同步与载波相干，按增益消元修正时间戳导数和退化结论。同步单快拍、条件压缩、实秩判据与梳齿分辨表述。
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@@ -1,7 +1,7 @@
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\section{多用户扩展}
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\label{sec:multiSatMultiUser}
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第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节假设单用户：所有 $L$ 颗卫星看到的来向与 Doppler 都由同一个 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 决定。本节沿\emph{参数空间}维度推进一步：把用户数从 $K=1$ 推广到一般 $K\ge1$，其余维度（单帧静态、各星完全相干、已知导频）保持最简。
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第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节假设单用户：所有 $L$ 颗卫星的方向与 Doppler 都由同一个 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 决定。本节将用户数从 $K=1$ 推广到一般 $K\ge1$，仍采用单帧静态模型和已知导频，各星采样时间基对齐、复增益独立未知。
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数学上这只是把每个用户的参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 独立堆叠；但物理上引入了第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节不存在的新问题——\emph{用户分离的可辨识性}。当两个用户的 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 在所有 $L$ 条链路上同时接近时，集中似然曲面会出现伪极值，这一退化结构也是后续数据驱动的干扰参数补偿方法的自然接入位置。本节用几何直觉指出这一现象，不展开严格证明；详细 \gls{crb} 与多用户 \gls{fim} 分块推导见\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。
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\subsection{多用户信号模型}
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@@ -180,12 +180,12 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
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与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的单用户加权融合相比，差别在于每颗卫星的匹配子空间从一维 $\mathbf g_\ell$ 升级为 $K$ 维 $\mathbf G_\ell$ 列空间；多用户的耦合\emph{在每颗卫星内部}通过 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的非对角元体现。
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\subsection{逐星充分统计量与匹配滤波压缩}
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\subsection{逐星匹配输出与条件压缩}
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\label{subsec:perSatSufficientStat}
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集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 还隐含一个对分布式处理至关重要的结构：第 $\ell$ 颗卫星的原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell\in\mathbb C^{M_\ell T}$ 只通过它在 $\mathbf G_\ell$ 列空间上的投影进入目标函数，即只通过匹配输出 $\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell$ 与总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$ 进入。给定字典 $\mathbf G_\ell$（由主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 决定），二元组 $(\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell,\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2)$ 即该星似然贡献的充分统计量：高维采样可压缩到这一低维匹配统计量而不损失关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的信息。
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在每一个候选参数处，集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 可由匹配输出 $\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell$、候选 Gram 矩阵 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 和总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$ 计算。由于 $\mathbf G_\ell$ 随候选参数改变，某一个候选点的匹配输出只足以评估该点的目标函数。保留整个搜索域上的集中似然，需要相应的匹配函数及总能量；有限网格仅给出该函数的离散近似。
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当各用户空时导向向量趋于正交时，这一压缩可进一步\emph{逐用户}解耦。沿第 $k$ 个用户的时间模板 $\mathbf q_{\ell,k}$ 压缩时间维、保留空间维，得第 $(\ell,k)$ 对的空间匹配输出
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当各用户的时间模板已知时，可以沿时间维匹配并保留空间维。第 $(\ell,k)$ 对的空间匹配输出为
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\begin{equation}
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\label{eq:sec4_matched_channel}
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@@ -195,7 +195,18 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
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\in\mathbb C^{M_\ell},
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\end{equation}
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即上行等效信道向量 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$ 的匹配滤波估计，其均值为 $\mathbf h_{\ell,k}$。利用 $\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell=\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*=\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\,\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$，当 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 趋于对角时，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的每星投影项分解为各用户的独立贡献之和
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记上行等效信道为 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，则匹配输出的均值为
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\begin{equation}
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\mathbb E[\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}]
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=\mathbf h_{\ell,k}
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+\sum_{k'\ne k}\mathbf h_{\ell,k'}
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\frac{\mathbf q_{\ell,k}^{\Herm}\mathbf q_{\ell,k'}}
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{\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2}.
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\label{eq:sec4_matched_channel_mean}
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\end{equation}
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时间模板两两正交时，交叉项为零；仅有空间导向正交并不能消去这些交叉项。利用 $\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell=\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$，当空时 Gram 矩阵趋于对角时，投影能量可写为
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\begin{equation}
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\label{eq:sec4_decoupled}
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@@ -207,11 +218,11 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
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{\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|_2^2},
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\end{equation}
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即每个用户的贡献退化为对其空间匹配输出 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的本地 \gls{doa} 匹配。集合 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}_{k=1}^{K}$ 于是成为第 $\ell$ 颗卫星对各用户主参数的充分统计量：各星无须回传原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell$，只回传 $M_\ell$ 维的逐用户复信道响应 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$，即足以在融合端重建本星贡献的角度信息。这是``逐星本地处理、只回传逐用户复响应''这一分布式接口的信息论依据。该逐用户解耦以码近正交（$\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 近对角）为前提；短导频下 $K$ 个码无法两两正交，残留的 \gls{mai} 在多用户 \gls{crb} 上留下一个任何估计器都无法消除的地板，其显式刻画见\appref{subsec:E3_maiCrb}。
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当时间模板已知且两两正交时，各用户的空间匹配输出可分别用于本地 \gls{doa} 估计。噪声方差已知时，这些输出保留关于空间信道的信息；噪声方差未知时，还需保留总能量以重建集中似然。时间模板非正交时，应保留模板 Gram 矩阵以及输出之间的相关性，按联合模型处理。多用户信息损失见\appref{subsec:E3_maiCrb}；可辨识模型中的信息损失不等于随信噪比提高仍不消失的误差地板。
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这一压缩有两点限定，决定了它在后续跨星融合中的可用边界：
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\begin{enumerate}
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\item \emph{充分性条件于时间模板已知}。$\mathbf q_{\ell,k}$ 依赖链路 Doppler $\nu_{\ell,k}$，故形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 前须先给定或本地估计 Doppler；真正无条件充分的是匹配输出在 Doppler（后续含时延）假设网格上的整张曲面，将其塌缩为单个 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 仅在观测块内 Doppler 近常数时近似无损。
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\item \emph{已知模板与估计模板不同}。$\mathbf q_{\ell,k}$ 依赖未知 Doppler。用本地估计值代入后，$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的误差还包含模板估计误差；Doppler 在观测块内恒定并不能保证这种压缩无损。
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\item \emph{$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 不含匹配峰的位置}。它编码本星本地 \gls{doa}（$\mathbf a_\ell$ 的方向）与复增益（幅度与相位），但匹配峰在 Doppler（及后续时延）网格上的\emph{位置}是形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 时所匹配的模板取值，须作为独立标量另行保留。故仅由 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 可重建各星本地 \gls{doa} 与相位，而跨星测距、测速所需的时延差与 Doppler 差还需保留这些峰位标量。这一区分在第~\ref{sec:userPositioning}--\ref{sec:timestampError} 节引入传播时延后，成为跨星差分能否干净取出到达时间差的关键。
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\end{enumerate}
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@@ -233,11 +244,11 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
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\item 时间模板相干 $\dfrac{|\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}|}{\|\mathbf q_{\ell,k}\|\|\mathbf q_{\ell,k'}\|}$，由 Doppler 差 $\nu_{\ell,k}-\nu_{\ell,k'}$ 与导频互相关共同决定；
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\item 二者通过 Kronecker 积联立后的乘积形式。
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\end{enumerate}
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当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时，$\mathbf G_\ell$ 趋于秩亏，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的 Hessian 在 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})\leftrightarrow(\boldsymbol\xi_{k'},\nu_{\mathrm{ref},k'})$ 方向趋于奇异，集中似然曲面在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立、对应 \gls{crb} 发散），用户分离的可辨识性丧失。
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当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to1$ 时，模板矩阵趋于病态；在模板完全相同的极限，两个复增益无法分别辨识。方向与 Doppler 是否同时失去可辨识性，还取决于模板对这些参数的导数。
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多星几何对这一可辨识性提供了关键缓解：即便某颗卫星上 $\rho_{\ell,kk'}\approx 1$（例如两个用户在该星本地角域内的间隔小于一个波束宽度），只要存在另一颗卫星 $\ell'$ 使 $\rho_{\ell',kk'}$ 显著小于 1，多星联合的 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 块仍可保持非奇异。这是多星扩展相对单星多用户最直接的几何收益。
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局部可辨识性的判据是：先逐星消去复增益的导数子空间，再将白化后的主参数 Jacobian 堆叠并实化，其秩应为 $3K$，见 \eqref{eq:E2_identifiability_rank}。不同卫星提供的导数信息可以互补，因此某一颗卫星上的分离困难不必导致整体不可辨识。
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严格可辨识性可写成对所有用户对 $(k,k')$ 的多星联合分离条件，其与 \gls{efim} 非奇异性的等价关系由\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 中多用户 \gls{fim} 分块给出。本节只用上述几何直觉刻画用户分离失效的结构来源，为后续数据驱动的干扰参数补偿方法留出接口；具体方法、输入输出与训练设置不在本笔记范围内。
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模板相干度可用于描述分离难度，最终的局部可辨识性仍按上述秩条件判断。各星复增益独立未知，不能用 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的可逆性代替这一检查。
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\subsection{分离的低复杂度路径：字典化与稀疏恢复}
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\label{subsec:dictSparseSeparation}
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Reference in New Issue
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