fix(symbol): 修正模型约定与有效信息解释

区分传播方向与反向视线，统一阵列映射及其导数符号。

区分时间同步与载波相干，按增益消元修正时间戳导数和退化结论。同步单快拍、条件压缩、实秩判据与梳齿分辨表述。

parts/sec7_timestampError.tex

@@ -1,14 +1,14 @@
-\section{时间戳误差与部分相干观测}
+\section{时间戳误差及其估计影响}
 \label{sec:timestampError}
 
-前面各节均假设 $L$ 颗卫星之间完全相干——它们以共同的离散时间基记录采样、并共享同一时间原点。实际系统中各星本振与采样时钟独立，星间时钟同步不可能精确到亚采样级别，残余的未知\emph{时间戳误差}使 ``参考时刻 $t=0$'' 在不同卫星上落到不同的物理瞬时。
-本节作为多星主线的收尾，沿\emph{同步条件}维度把前面各节默认的``星间完全相干''放宽为``参考星完全可信、其余卫星时间戳带未知误差 $\delta_\ell$'' 的\emph{部分相干}观测。之所以置于位置一节之后：$\delta_\ell$ 不进入空间导向矢量、不影响各星本地 \gls{doa}（窄带假设，见下），而是经相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径恶化 Doppler 与跨星测距，从而主要打在位置估计上——具体地，它与位置的到达时间差通道同轴混淆（第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节）。其余维度（单帧、已知导频、无星间频偏）保持最简。
-关键现象是：$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 在似然中以乘积形式耦合，产生未知相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$。当 $|\delta_\ell|$ 很小时可作一阶近似并通过 Schur 补消去；当 $|\delta_\ell|$ 大到一个导频符号宽度时必须显式数值搜索。本节按这一切换刻画模型接口与方法适用边界；具体方法选择留给后续工作。详细 \gls{efim} 推导与数值框架见\appref{sec:timestampErrCrb}。
+前面的多星模型采用共同的采样时间基和时间原点，各星复增益仍独立未知。实际系统中，各星对采样时刻的标记可能存在偏差，使相同时间标签对应不同的物理时刻。这里讨论这种时间戳误差；星间载波相位已知与否是另一项假设，第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节的连续相位结构则约束同一颗卫星的跨帧相位。
+本节在单帧已知导频模型中加入逐星未知时间戳误差 $\delta_\ell$，参考星取 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，仍不引入独立的星间频偏。先分析方向模型中的导频时移，再讨论位置模型中传播时延与时间戳的混淆。
+时间戳误差使导频包络平移，并产生一个恒定的 Doppler 相位偏移。在本节的自由复增益模型下，恒定相位可由复增益吸收，剩余影响由包络时移及其与主参数的耦合决定。小偏移时可在零偏移附近展开；偏移较大时使用完整时移模型。两种情况下均可计算局部 \gls{efim}，详细推导见\appref{sec:timestampErrCrb}。
 
 \subsection{时间戳误差与扰动信号模型}
 \label{subsec:perturbedSignalModel}
 
-把\emph{时间戳误差}定义为``某颗卫星实际采样时刻相对其名义采样时刻的偏移''。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准并令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，其余卫星的时间戳误差以采样点数为单位记为
+把时间戳误差定义为采样点的名义时刻减去实际时刻，以采样点数为单位。因此，标签为 $t$ 的样本对应实际时刻 $t-\delta_\ell$。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准，令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$，其余卫星满足
 %
 \begin{equation}
   \delta_\ell\in\mathbb R,
@@ -25,7 +25,7 @@
   \in\mathbb R^{L-1}.
 \end{equation}
 
-在第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的多用户基线上引入 $\delta_\ell$，第 $\ell$ 颗卫星接收到的连续时间基带信号被替换为``在偏移 $\delta_\ell$ 后的瞬时上采样''：
+在第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节的多用户基线上，第 $\ell$ 颗卫星按实际时刻 $t-\delta_\ell$ 观测信号：
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:sec5_signal_model}
@@ -80,23 +80,23 @@
   \mathbf n_\ell(t).
 \end{equation}
 %
-这是部分相干模型的核心结构。两点观察：
+这一重写说明了两种作用的区别：
 \begin{enumerate}
-  \item \emph{相位耦合}已被 $\bar\zeta_{\ell,k}$ 吸收，但代价是：原本各星独立的 $\{\zeta_{\ell,k}\}$ 与几何参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ \emph{解耦}的良好性质消失。$\bar\zeta_{\ell,k}$ 显式依赖 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$，把 $\delta_\ell$ 的不确定性以 ``$|\nu_{\ell,k}|\cdot\mathrm{Var}(\delta_\ell)$'' 的形式注入主参数；这是部分相干观测对 Doppler 估计精度的主要恶化来源。
-  \item \emph{导频时间偏移} $s_k(t-\delta_\ell)$ 不能被吸入复增益。它通过导频的自相关 $R_{s_k}(\delta_\ell)$ 进入似然，且对 $\delta_\ell$ 高度非线性。当 $\delta_\ell$ 远小于一个导频符号宽度时，可作一阶 Taylor 近似 $s_k(t-\delta_\ell)\approx s_k(t)-\delta_\ell\dot s_k(t)$，并把 $\delta_\ell$ 作为光滑干扰参数处理；当 $|\delta_\ell|$ 接近或超过导频符号宽度时，这一近似失效，必须显式数值搜索。
+  \item \emph{恒定相位由复增益吸收}。给定主参数和 $\delta_\ell$，$\zeta_{\ell,k}$ 与 $\bar\zeta_{\ell,k}$ 一一对应，后者仍可作为自由复干扰参数。消去复增益后，恒定相位不再提供独立的时间戳信息，也不单独造成 Doppler 信息损失。
+  \item \emph{包络时移决定剩余影响}。一般导频的 $s_k(t-\delta_\ell)$ 不能用一个复标量表示。其导数在复增益子空间之外的分量提供时间戳信息，并可能与 Doppler 等主参数的有效导数重叠。若导频为单音，时移仅改变复幅度，则时间戳不可辨识，但不会因此使 Doppler 不可辨识。
 \end{enumerate}
 
 \subsection{适用性边界：小误差 vs.\ 大误差}
 \label{subsec:timestampApplicability}
 
-记导频自相关的有效宽度为 $T_{\mathrm{ac}}$（以采样点数计），即 $R_{s_k}(\delta)$ 衰减到 $1/2$ 的特征尺度。本节方法的适用性按 $|\delta_\ell|$ 相对于 $T_{\mathrm{ac}}$ 与 $1/|\nu_{\ell,k}|$ 的量级分两段：
+记导频自相关的特征宽度为 $T_{\mathrm{ac}}$（以采样点数计）。它可用于判断零偏移附近的包络展开是否合适，实际误差还取决于导频的导数和观测窗口：
 
 \begin{itemize}
-  \item \textbf{小误差区}（$|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\ll\pi$）：导频时间偏移可一阶 Taylor 展开；相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 把均值向量改写为关于 $\delta_\ell$ 的近似线性扰动。$\boldsymbol\delta$ 进入似然的 Fisher 信息块光滑可逆，可在 \gls{efim} 框架内通过 Schur 补\emph{解析}消去。详细推导见\appref{subsec:F2_schurDelta}。
-  \item \textbf{大误差区}（$|\delta_\ell|$ 接近或超过 $T_{\mathrm{ac}}$）：导频自相关衰减导致似然对 $\delta_\ell$ 高度非线性，一阶近似失效；同时若 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\gtrsim\pi$，相位偏移引入整周模糊。\gls{efim} 不再可用，必须将 $\delta_\ell$ 作为离散+连续混合参数显式数值搜索；细网格上的局部 Fisher 信息可由 \eqref{eq:sec5_absorbed_model} 直接数值评估，见\appref{subsec:F3_numericalEfim}。
+  \item \textbf{小偏移近似}：当 $|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且高阶余项足够小时，采用 $s_k(t-\delta_\ell)\approx s_k(t)-\delta_\ell\dot s_k(t)$。由此得到零偏移附近的信息矩阵，见\appref{subsec:F2_schurDelta}。Schur 补需在可辨识的干扰参数子空间上计算。
+  \item \textbf{完整时移模型}：偏移较大时，直接使用 $s_k(t-\delta_\ell)$ 及其导数计算局部 \gls{efim}，见\appref{subsec:F3_numericalEfim}。如果似然存在多个峰，还需分析全局搜索和跳峰误差；局部 \gls{crb} 本身不能预测这些误差。
 \end{itemize}
 
-实际星间场景下，物理量级一般落在小误差区与大误差区之间的过渡带：实测残差的具体数值取决于平台本振稳定度与所采用的星间同步协议，本笔记不展开。当残差换算到采样点后跨越导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$，就需要从小误差解析方案切换到大误差数值方案；该过渡带正是后续数据驱动的干扰参数补偿方法的目标工作点。
+小偏移展开与完整模型的选择取决于近似精度；局部界与全局误差分析的区别取决于估计是否落在正确峰附近。两者应分别判断。
 
 \subsection{联合似然与 EFIM 结构概览}
 
@@ -162,7 +162,7 @@
   \end{bmatrix}.
 \end{equation}
 %
-小误差区下 $\boldsymbol\delta$ 与 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 可依次 Schur 消去，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}
+先消去复增益，再消去可辨识的时间戳参数，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:sec5_efim}
@@ -181,7 +181,7 @@
 \subsection{时延通道下的时间戳混淆与多用户解}
 \label{subsec:tauDeltaConfound}
 
-上面把 $\delta_\ell$ 加在多用户 \gls{doa} 基线（第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节）上时，导频时移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 落在一根本身不含距离信号的时间轴上，$\delta_\ell$ 只经相位与 Doppler 间接影响主参数。一旦接上第~\ref{sec:userPositioning} 节的传播时延通道，这根时间轴上就有了携带距离的 $\tau_\ell(\mathbf p)$，$\delta_\ell$ 与它同轴——这才是 $\delta_\ell$ ``主要打在位置上''的主通道。
+方向模型中，时间戳通过导频包络时移进入观测，其对主参数的影响由消去复增益后的交叉信息决定。在第~\ref{sec:userPositioning}~节的位置模型中，导频包络还包含传播时延，因而时间戳与几何时延直接相加。
 把 $\delta_\ell$ 叠加到含时延的位置模型，第 $\ell$ 星导频包络为 $s\big(t-\tau_\ell(\mathbf p)-\delta_\ell\big)$，观测到的总时延为
 %
 \begin{equation}
@@ -189,14 +189,14 @@
   =\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell.
 \end{equation}
 %
-对参考星差分消去公共的 $\tau_{\mathrm{ref}}$（含未知发射时刻），得观测到达时间差 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell$：携带位置的 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与时间戳 $\delta_\ell$ \emph{同轴相加、不可分}。这正是第~\ref{sec:userPositioning} 节末尾预告的 $\tau$--$\delta$ 同轴矛盾。
+对参考星作差可消去公共的 $\tau_{\mathrm{ref}}$，得到观测时延差 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell$。仅凭这一时延差，不能分别确定几何时延与时间戳误差；还需其他几何观测或参数约束。
 
 在 Fisher 信息层面，群时延模型下（载波相位吸入 $\zeta_\ell$）$\delta_\ell$ 只经包络进入，其对均值向量的导数 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\delta_\ell=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 与时延模板同形，与参考时延列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\tau_{\mathrm{ref}}$ 完全相同、与位置列的时延贡献共线。由此分两种情形：
 \begin{itemize}
-  \item \textbf{单用户退化}：$L-1$ 个自由 $\delta_\ell$ 各自吸收该星的包络位移方向，恰好张成 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 携带距离信息的同一组方向。对 $\boldsymbol\delta$ 作 Schur 边缘化后，时延/\gls{tdoa} 通道对距离的净贡献被抵消，位置退回角度（与差分 Doppler）通道——\gls{efim} 在距离方向退化。
-  \item \textbf{多用户恢复}：$\delta_\ell$ 是逐星参数（每颗星一个时间戳）、被该星 $K$ 个用户共享，而各用户的几何与空间签名（即阵列响应 $\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$）互异。单个 $\delta_\ell$ 只能吸收一个合成包络位移方向，$K$ 个用户的 \gls{tdoa} 信息张成至多 $K$ 个方向，故 $K-1$ 个方向在 $\boldsymbol\delta$ 边缘化后存活——时延通道随用户数恢复。等价地，同星不同用户的观测到达时间差相减即消去共享 $\delta_\ell$、超定地将其定出。
+  \item \textbf{单用户}：每颗非参考星的自由 $\delta_\ell$ 可吸收该星的几何时延变化。进一步消去参考时延后，包络时移不再提供独立的位置信息。位置是否仍可辨识，取决于角度和差分 Doppler 的几何约束。
+  \item \textbf{多用户}：每颗星的 $\delta_\ell$ 被各用户共享。在用户时延有效导数彼此独立时，消去这一实参数后，每星可保留 $K-1$ 个用户间相对时延方向。它们能否转化为独立的位置信息，还需结合参考时延参数、用户分离和卫星几何检验整体 Jacobian 的秩。
 \end{itemize}
-故跨星定时误差对位置的影响并非``多一个未知参数''式的普遍恶化，而是\emph{结构性}地落在 \gls{tdoa} 通道上：单用户时它吃掉整条测距增益、位置退回纯角度交会；多用户共享结构是 $\delta_\ell$ 可辨识、\gls{tdoa} 通道净增益的必要条件。详细 Fisher 分块、$\boldsymbol\delta$-边缘化的秩损失与多用户恢复见\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}。
+共享时间戳使不同用户的相对时延有可能保留信息，但用户数增加本身并不保证位置与时间戳均可辨识。单用户也可能依靠角度与差分 Doppler 确定位置，再由时延估计时间戳。相关投影关系见\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}。
 
 \subsection{忽略时间戳误差时的 MCRB}
 \label{subsec:mcrbIgnoreDelta}
@@ -214,9 +214,9 @@
 %
 与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta^\star$ 的量级。sandwich（夹心型，指 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$ 形式）矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。
 
-在第~\ref{sec:userPositioning} 节的位置模型上，这一偏置有明确的几何指向：偏置方向由 $\boldsymbol\eta$--$\delta$ 交叉信息决定（一阶表达见\appref{subsec:F5_mcrb}），而群时延模型下 $\delta_\ell$ 的均值导数与时延列共线（第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节），故偏置落在 \gls{tdoa} 通道方向上——沿\emph{距离}维、量级正比于时间戳 $\delta_\ell^\star$，而对 $\delta$ 免疫的角度通道不受偏置。于是 \gls{efim} 与 \gls{mcrb} 是同一 $\tau$--$\delta$ 混淆的两面：估计 $\boldsymbol\delta$ 在 \gls{tdoa} 通道上损失\emph{方差}（\gls{efim} 被 Schur 补扣减），忽略 $\boldsymbol\delta$ 在同一通道上换来\emph{偏置}（位置距离维偏移 $\sim\delta^\star$）。
+在位置模型中，偏置由时间戳有效导数与位置有效导数的交叉信息决定。传播时延是误差进入几何估计的一条途径，但经过联合求逆后，位置偏置通常不局限于某个径向方向。角度观测本身不含时间戳，也不意味着联合位置估计的横向分量必然无偏。
 
 需要强调，上述 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是局部（小误差）刻画：少用户下``位置--时间戳''模糊带来的信息损失已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化惩罚承载（\appref{sec:timestampErrCrb}），无需另立界；门限以下的大误差则属失效区行为。作为主线之外的扩展，误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai 门限界见\appref{sec:thresholdBounds}，主线不依赖它们。
 
-本节完成了部分相干观测下的扰动模型、适用性边界与时延通道混淆的刻画：$\delta_\ell$ 通过相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径污染主参数估计，量级落在小误差区时可借 \gls{efim} 解析消去，落在大误差区时必须数值处理；若估计器索性假设同步而忽略 $\boldsymbol\delta$，相应下界由 \gls{mcrb} 给出。接上第~\ref{sec:userPositioning} 节的传播时延通道后，$\delta_\ell$ 与携带距离的 $\tau_\ell(\mathbf p)$ 同轴：单用户时它吃掉整条到达时间差测距增益、位置退回纯角度交会，多用户共享 $\delta_\ell$ 的结构则是其可辨识与测距增益净存活的必要条件。
+本节给出了时间戳误差下的联合模型与局部信息分析。自由复增益吸收恒定相位，包络时移决定剩余信息损失；忽略可观测的包络时移时，还可能产生模型失配偏置。在位置模型中，自由逐星时间戳可吸收单用户的差分时延信息，多用户共享结构则可能保留用户间的相对时延约束。
 至此，多星主线从单阵列 \gls{doa} 递进到含时延、Doppler 与时间戳的多用户协同定位模型；亚波长载波相位干涉与移动用户测速作为更强但要求更苛的通道，可正交叠加于此。