content(app-F): 附录英文行话中文化，与正文术语一致
按正文同一标准扫附录 A/E/F/H:relaxed→放松、known-rate/ unknown-rate→Doppler rate 已知/未知、score→得分/均值导数 (按 Fisher 梯度 vs ∂g/∂δ 分别译)、residualized→残差、 comb/tooth/tooth ambiguity→梳状/梳齿/齿间模糊、profile likelihood→轮廓似然、pilot block→导频块、subset→子集、 tooth acquisition/refine→梳齿捕获/精化、wrong-tooth error→选错梳齿的误差、branch→分支、single-satellite multi-frame→单星多帧、reference steering vector→参考导向 矢量、benchmark→基准、representative geometry→代表性几 何、accounting→度量、sanity check→自洽性检查、scalar bound/DoA bound→标量界/DoA CRB、structured CP 补中文。 首次出现保留英文括注;sandwich 在 sec7 首现处补"夹心型" 释义。数学下标(tooth/blk 等)不动。
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本附录沿用第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节中的动态多帧记号，只讨论两类与正文主线严格对应的模型：
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\begin{enumerate}
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\item 第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的结构化\gls{cp} 模型；
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\item 第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed \gls{cp} 模型，即保留\gls{cp} 模板，但将每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数。
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\item 第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 放松 \gls{cp} 模型，即保留\gls{cp} 模板，但将每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数。
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\end{enumerate}
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主参数统一定义为
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@@ -359,12 +359,12 @@
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\label{eq:A7_CRB_cp}
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\end{equation}
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需要强调的是，与 relaxed 情形不同，\gls{cp} 模型中的 $\{\chi_\ell\}$ 在同一卫星的多帧之间共享，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 为实参数，因此其 Schur 补一般不能进一步化成逐块独立的简单投影求和式。式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 是与正文模型严格一致且最稳妥的写法。
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需要强调的是，与放松情形不同，\gls{cp} 模型中的 $\{\chi_\ell\}$ 在同一卫星的多帧之间共享，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 为实参数，因此其 Schur 补一般不能进一步化成逐块独立的简单投影求和式。式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 是与正文模型严格一致且最稳妥的写法。
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\subsubsection{Known-rate/unknown-rate EFIM 关系与单星 DoA 正交性}
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\subsubsection{Doppler rate 已知/未知的 EFIM 关系与单星 DoA 正交性}
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\label{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}
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为解释 known-rate 与 unknown-rate 下 \gls{doa} bound 可能重合的现象，本小节把 Doppler-rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。
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为解释 Doppler rate 已知与未知下 \gls{doa} \gls{crb} 可能重合的现象，本小节把 Doppler rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。
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记
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\begin{equation}
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@@ -377,7 +377,7 @@
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\end{equation}
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为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。
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若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 known-rate \gls{efim} 可写为
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若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Doppler rate 已知 \gls{efim} 可写为
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}}
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@@ -403,7 +403,7 @@
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\label{eq:A7_CP_ext_EFIM_partition}
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\end{equation}
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于是 unknown-rate \gls{efim} 为
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于是 Doppler rate 未知 \gls{efim} 为
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,U}}
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@@ -416,10 +416,10 @@
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\label{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}
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\end{equation}
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式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta$ 的 residualized score 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 residualized nuisance score 之间耦合程度的 accounting。
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若该残差耦合很弱，则 known-rate 与 unknown-rate bound 可以非常接近。
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式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta$ 的残差得分与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差干扰得分之间耦合程度的度量。
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若该残差耦合很弱，则 Doppler rate 已知与未知的界可以非常接近。
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进一步将 known-rate \gls{efim} 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块：
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进一步将 Doppler rate 已知 \gls{efim} 和 Doppler rate 耦合向量按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块：
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K}
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@@ -448,9 +448,9 @@
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\end{equation}
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则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 \gls{doa} 的 \gls{crb} 子块。
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换言之，\gls{doa} 的 known-rate 与 unknown-rate \gls{crb} 完全一致。
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换言之，\gls{doa} 的 Doppler rate 已知与未知 \gls{crb} 完全一致。
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在 single-satellite multi-frame case 中，若唯一卫星即 reference satellite，则
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在单星多帧情形中，若唯一卫星即参考星，则
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\begin{equation}
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f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
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@@ -465,11 +465,11 @@
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因此 $\dfrac{\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 且 $\dfrac{\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。
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由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。
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在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。
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在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} 得分的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差得分仍具有沿参考导向矢量的时间相位结构。
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在标准窄带阵列流形下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。
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这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} \gls{crb} 的严格重合。
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这解释了单星多帧下 Doppler rate 已知与未知 \gls{doa} \gls{crb} 的严格重合。
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在 multi-satellite case 中，非参考星通常满足
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在多星情形中，非参考星通常满足
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\begin{equation}
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\nu_\ell
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@@ -484,13 +484,13 @@
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\end{equation}
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此时 \gls{doa} 导数包含由 $\dfrac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial\Delta\dot\nu_\ell}{\partial x}$ 诱导的时间相位分量。
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因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} \gls{crb} 的完全相等性也不应被作为一般结论。
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若数值上 multi-satellite \gls{doa} bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，\gls{doa} residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。
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这一定量现象适合作为 \gls{efim} accounting 的 sanity check，而不应升级为主要理论贡献。
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因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，Doppler rate 已知与未知 \gls{doa} \gls{crb} 的完全相等性也不应被作为一般结论。
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若数值上多星 \gls{doa} \gls{crb} 仍与 Doppler rate 已知基准基本重合，更稳妥的解释是：在所选代表性几何下，\gls{doa} 残差得分与残差化的 Doppler rate 干扰方向的耦合较弱。
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这一定量现象适合作为 \gls{efim} 度量的自洽性检查，而不应升级为主要理论贡献。
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\subsubsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB}
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\subsubsection{放松连续相位模型下的 CRB}
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沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed \gls{cp} 处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即
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沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 放松 \gls{cp} 处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即
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\begin{equation}
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\tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
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@@ -772,7 +772,7 @@
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\end{equation}
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式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，\gls{efim} 在某个方向上的有效信息正比于该方向
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score 在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时，
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得分在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时，
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$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加，
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则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。
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@@ -789,7 +789,7 @@ $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
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\label{eq:A7_efim_xi_nu_partition}
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\end{equation}
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若 $\boldsymbol\xi$ 已知，则参考 Doppler 的 scalar bound 为
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若 $\boldsymbol\xi$ 已知，则参考 Doppler 的标量界为
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\begin{equation}
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C_{\nu}^{\mathrm{sc}}
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@@ -909,11 +909,11 @@ $\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较
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\subsubsection{周期帧窗口与 Doppler tooth ambiguity}
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\subsubsection{周期帧窗口与 Doppler 齿间模糊}
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\label{subsec:A7_frameTimeCombTooth}
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本附录前面得到的 \gls{efim} 是局部二阶量；它默认估计点位于同一个 Doppler tooth 的局部邻域内。
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为了描述全局 profile likelihood 的离散多峰结构，需要单独分析帧起始时刻集合所诱导的谱窗口。
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本附录前面得到的 \gls{efim} 是局部二阶量；它默认估计点位于同一个 Doppler 梳齿（tooth）的局部邻域内。
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为了描述全局轮廓似然（profile likelihood）的离散多峰结构，需要单独分析帧起始时刻集合所诱导的谱窗口。
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按照表~\ref{tab:indexDimensionNotation} 的约定，$\tau_p$ 表示第 $p$ 帧起始点相对于参考时刻的离散采样偏移，
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归一化角 Doppler 偏移记为 $\Delta\nu$。若只保留由帧起始时刻造成的公共相位项，则跨帧相干项可写为
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@@ -967,9 +967,9 @@ $\nu=2\pi\nu^{\mathrm{Hz}}T_{\mathrm s}$，可得
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\end{equation}
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这解释了为什么周期多帧目标函数会出现以 $1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$ 为间隔的
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Doppler comb branches。
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Doppler 梳状分支（comb）。
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有限长度的 pilot block 破坏了这种完全等价性。令每帧保留 $T$ 个采样点，块内相关因子为
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有限长度的导频块破坏了这种完全等价性。令每帧保留 $T$ 个采样点，块内相关因子为
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\begin{equation}
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R_T(\Delta\nu)
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@@ -981,7 +981,7 @@ Doppler comb branches。
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\label{eq:A7_block_dirichlet_corr}
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\end{equation}
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于是相邻 tooth 的可分离性可由
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于是相邻梳齿的可分离性可由
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\begin{equation}
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D_{\mathrm{blk}}
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@@ -1005,10 +1005,10 @@ Doppler comb branches。
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\label{eq:A7_block_small_ratio_approx}
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\end{equation}
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因此，增加块长主要增强的是相邻 Doppler tooth 的块内区分度，而不是必然依赖
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因此，增加块长主要增强的是相邻 Doppler 梳齿的块内区分度，而不是必然依赖
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$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 在单块内部产生可观测的二次相位曲率。
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该分析也解释了周期窗口与非周期 subset 的不同作用。若采用非周期子集
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该分析也解释了周期窗口与非周期子集的不同作用。若采用非周期子集
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$\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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\begin{equation}
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@@ -1019,10 +1019,10 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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\end{equation}
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当 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}$ 不再满足严格等间隔结构时，式~\eqref{eq:A7_tooth_spacing_discrete}
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给出的候选偏移不再必然同时对齐所有帧相位，因而可压低周期 comb 的旁瓣。由此可将实际求解分解为两类问题：
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非周期 subset 更适合执行 tooth acquisition，完整周期窗口则更适合在 tooth 已选对时执行同 tooth 内相干 refine。
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这也说明，wrong-tooth error 是全局 profile likelihood 的 branch 选择问题；而
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式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}--\eqref{eq:A7_nu_info_after_coupling} 描述的是给定 branch 内的局部可辨识性。
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给出的候选偏移不再必然同时对齐所有帧相位，因而可压低周期梳状结构的旁瓣。由此可将实际求解分解为两类问题：
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非周期子集更适合执行梳齿捕获，完整周期窗口则更适合在梳齿已选对时执行同一梳齿内的相干精化。
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这也说明，选错梳齿的误差是全局轮廓似然的分支选择问题；而
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式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}--\eqref{eq:A7_nu_info_after_coupling} 描述的是给定分支内的局部可辨识性。
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\subsubsection{数值实现中的一致性检查}
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@@ -1044,7 +1044,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\},
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\end{equation}
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再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},(\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed \gls{cp} 模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。
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再按 $[\boldsymbol\eta^{\Tran},(\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}_{\mu})^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 放松 \gls{cp} 模型，应同时用完整 \gls{fim} 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。
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\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
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@@ -1056,9 +1056,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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\frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}.
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\end{equation}
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因此，无论在\gls{cp} 模型还是 relaxed \gls{cp} 模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。
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因此，无论在\gls{cp} 模型还是 放松 \gls{cp} 模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。
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因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文\gls{cp} 模型和 relaxed \gls{cp} 处理的 Fisher 信息表达。它与\appref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。
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因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文\gls{cp} 模型和 放松 \gls{cp} 处理的 Fisher 信息表达。它与\appref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。
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\subsection{独立相位 IP 基线 EFIM}
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\label{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb}
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@@ -1450,16 +1450,16 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 给出的正是\gls{ip} 模型下，未知 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 对主参数 $(\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}})$ 的信息损失形式。与正文研究主线一致，这里的关键不在于再引入更高维动态状态，而在于比较：在相同短窗条件下，\gls{cp} 模型和\gls{ip} 模型分别能为主参数保留多少有效信息。
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\subsubsection{与 A7 中 relaxed 连续相位结果的关系}
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\subsubsection{与 A7 中放松连续相位结果的关系}
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式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 \gls{fim}的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed \gls{cp} 模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}：
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式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 \gls{fim}的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 放松 \gls{cp} 模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}：
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\begin{itemize}
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\item \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是\gls{cp} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性；
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\item 本附录使用的是\gls{ip} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。
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\end{itemize}
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因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``\gls{cp} vs.~\gls{ip}''对比的统计本质。
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从 \gls{efim} 病态的角度看，\gls{ip} 模型与 relaxed \gls{cp} 模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian
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从 \gls{efim} 病态的角度看，\gls{ip} 模型与 放松 \gls{cp} 模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian
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\begin{equation}
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\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}
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@@ -1488,7 +1488,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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因此，\gls{ip} 模型下的弱可辨识方向仍由
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$\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$
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的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed \gls{cp} 模型相比，二者的主要区别不在
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的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 放松 \gls{cp} 模型相比，二者的主要区别不在
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Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个
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$(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共
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Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。
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@@ -1506,4 +1506,4 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合
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因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 \gls{fim}中附加一个与其他参数解耦的对角块。
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至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/relaxed \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
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至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/放松 \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
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