add new post, josh-oap-1-5
This commit is contained in:
@@ -143,11 +143,13 @@ $$\begin{equation}
|
||||
B_\theta(\theta) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_\theta(\theta) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta}, \, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
<a id="BeamPatternInDirectionCosineDomain"></a>
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
B_u(u) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_u(u) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} u} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \frac{2\pi d}{\lambda} u}, \, -1 \leqslant u \leqslant 1
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{BeamPatternInDirectionCosineDomain}
|
||||
$$\begin{equation} \label{BeamPatternInWavenumberDomain}
|
||||
B_\psi(\psi) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_\psi(\psi) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \psi} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \psi}, \, -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
@@ -251,17 +253,17 @@ $$\begin{equation}
|
||||
|
||||
# 从波束方向图获得权矢量
|
||||
|
||||
  下面讨论如何从特定的方向图 $B_\psi(\psi)$ 中获得权矢量 $\vec{w}$，我们从式 $\eqref{BeamPatternInDirectionCosineDomain}$ 中的关系开始
|
||||
  下面讨论如何从特定的方向图 $B_\psi(\psi)$ 中获得权矢量 $\vec{w}$，我们从式 $\eqref{BeamPatternInWavenumberDomain}$ 中的关系开始
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{ShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}
|
||||
$$\begin{equation} \label{ShortBeamPatternInWavenumberDomain}
|
||||
B_\psi(\psi) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_\psi(\psi)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
假设 $B_\psi(\psi)$ 是已知的，我们想确定产生这个 $B_\psi(\psi)$ 的 $\vec{w}$。由于 $\vec{w}^\mathrm{H}$ 是一个 $1 \times N$ 维的矢量，因此如果知道 $B_\psi(\psi)$ 在 $N$ 个 $\psi$ 值上的值，就可以确定 $\vec{w}$。
|
||||
|
||||
  对波束方向图在 $N$ 个 $\psi_i$ 上进行采样，这里要求 $\psi_i$ 必须是不同的，但不一定是等距的，记采样点处的波束方向图的值为 $B(\psi_i)$。根据式 $\eqref{ShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}$，有
|
||||
  对波束方向图在 $N$ 个 $\psi_i$ 上进行采样，这里要求 $\psi_i$ 必须是不同的，但不一定是等距的，记采样点处的波束方向图的值为 $B(\psi_i)$。根据式 $\eqref{ShortBeamPatternInWavenumberDomain}$，有
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{ElementOfShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}
|
||||
$$\begin{equation} \label{ElementOfShortBeamPatternInWavenumberDomain}
|
||||
\vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}(\psi_i) = B(\psi_i), \, i = 1, \cdots, N
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
@@ -277,7 +279,7 @@ $$\begin{equation}
|
||||
\vec{B} \triangleq \left[ \begin{array}{c}B(\psi_1) & \cdots & B(\psi_N)\end{array}\right]
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
则式 $\eqref{ElementOfShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}$ 可以写成
|
||||
则式 $\eqref{ElementOfShortBeamPatternInWavenumberDomain}$ 可以写成
|
||||
|
||||
$$\begin{matrix}
|
||||
\vec{w}^\mathrm{H} \vec{V}(\psi) = \vec{B}
|
||||
@@ -319,7 +321,7 @@ $$\begin{equation} \label{WeightVecCalculationWithAllZeroExceptMainAxis}
|
||||
|
||||
在式 $\eqref{WeightVecCalculation}$ 和式 $\eqref{WeightVecCalculationWithAllZeroExceptMainAxis}$ 中有两点需要强调：
|
||||
|
||||
1. 上述讨论已经假设 $B_\psi(\psi)$ 在式 $\eqref{ShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}$ 中进行了定义，是由一个 $N \times 1$ 维复矢量 $\vec{w}$ 产生的。如果 $B_\psi(\psi)$ 是任意函数，且使用式 $\eqref{WeightVecCalculation}$，那么将产生一个方向图，和 $B(\psi_i), i = 1,\cdots,N$ 相匹配，但不一定和函数 $B_\psi(\psi)$ 相匹配。
|
||||
1. 上述讨论已经假设 $B_\psi(\psi)$ 在式 $\eqref{ShortBeamPatternInWavenumberDomain}$ 中进行了定义，是由一个 $N \times 1$ 维复矢量 $\vec{w}$ 产生的。如果 $B_\psi(\psi)$ 是任意函数，且使用式 $\eqref{WeightVecCalculation}$，那么将产生一个方向图，和 $B(\psi_i), i = 1,\cdots,N$ 相匹配，但不一定和函数 $B_\psi(\psi)$ 相匹配。
|
||||
|
||||
2. 我们是在一个均匀线阵的背景下介绍这个结果的。但是，这个推导过程适用于任意结构的 $N$ 阵元阵列。
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -51,7 +51,9 @@ $$\begin{equation}
|
||||
\vec{k} = \vec{k}_\mathrm{T}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
输出是对齐的。我们把 $\vec{k}_\mathrm{T}$ 称为**{% label primary @所调方向（steering direction） %}**或在 $k$ 空间的**{% label primary @主响应轴（main response axis） %}**。可以使用一个 $N \times N$ 的对角调向矩阵来完成这个操作
|
||||
输出是对齐的。我们把 $\vec{k}_\mathrm{T}$ 称为**{% label primary @所调方向（steering direction） %}**或在 $k$ 空间的**{% label primary @主响应轴（main response axis） %}**。可以使用一个 $N \times N$ 的对角调向矩阵（diagonal steering matrix）来完成这个操作
|
||||
|
||||
<a id="DiagonalSteeringMatrix"></a>
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\vec{I}_\mathrm{s}\left(\vec{k}_\mathrm{T}\right) = \left[ \begin{matrix}
|
||||
|
||||
@@ -0,0 +1,151 @@
|
||||
---
|
||||
title: 'Josh''s Notes: 最优阵列处理（Part 1.5 —— 阵列性能度量）'
|
||||
mathjax: true
|
||||
comments: true
|
||||
copyright: true
|
||||
toc:
|
||||
enable: true
|
||||
number: true
|
||||
wrap: true
|
||||
expand_all: true
|
||||
max_depth: 4
|
||||
tags:
|
||||
- 阵列信号处理
|
||||
- 阵列性能
|
||||
categories:
|
||||
- - Josh 的学习笔记
|
||||
- 最优阵列处理
|
||||
- 阵列和空域滤波器
|
||||
abbrlink: 6a7100b0
|
||||
date: 2023-04-24 11:50:37
|
||||
---
|
||||
|
||||
 有很多性能度量方法都可以用于评估一个阵列的能力，每一中度量方法都试图量化阵列的某一个重要特性，或者是阵列对信号环境的响应，或者是阵列设计的敏感度。我们已经采用了第一零点间距作为波束宽度，或频率-波数响应的分辨率的度量，也利用了均匀加权线阵的主要旁瓣水平作为一种度量。本节将讨论三个常用的阵列性能度量方法：
|
||||
|
||||
1. 方向性（Directivity）
|
||||
2. 对空域自噪声的阵列增益 (Array gain versus spatially white noise，$A_w$)
|
||||
3. 敏感度（Sensitivity）和容错因子（Tolerance Factor）
|
||||
|
||||
<!-- more -->
|
||||
|
||||
# 方向性
|
||||
|
||||
  阵列和孔径的一个常用性能度量是方向性。我们将在一般情况下给出定义，并讨论线性阵列的特殊情况。
|
||||
|
||||
## 方向性的定义
|
||||
|
||||
  定义**{% label primary @功率方向图（power pattern） %}** $P(\theta,\varphi)$ 为波束方向图 $B(\omega : \theta, \varphi)$ 幅度的平方，即
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
P(\theta,\varphi) = \left| B(\omega : \theta, \varphi) \right|^2
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中 $P(\theta,\varphi)$ 和频率的关系在符号表示中省略掉了。则方向性 $D$ 定义为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{DefinitionOfDirectivity}
|
||||
D = \frac{P(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T})}{ \displaystyle\frac{1}{4\pi} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin \theta \cdot P(\theta,\varphi) \,\mathrm{d} \varphi \,\mathrm{d} \theta}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中 $(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T})$ 是主响应轴（main response axis，MRA）的指向。
|
||||
|
||||
  对于一个发射阵列或孔径， $D$ 代表最大发射密度（每单位立体角对应的发射功率）和平均发射密度（在球面上平均）的比值。
|
||||
|
||||
  对于一个接收天线，分母代表的是阵列（或孔径）对全向噪声（在一个球内均匀分布的噪声）的输出噪声功率。分子代表的是对应从 $(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T})$ 方向入射的
|
||||
信号的功率。所以，$D$ 可以解释为是对全向噪声的阵列增益。
|
||||
|
||||
  如果假设权值做了归一化，使得 $P_n(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T}) = 1$, 则式 $\eqref{DefinitionOfDirectivity}$ 可以写成
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{NormalizedDefinitionOfDirectivity}
|
||||
D = \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin \theta \cdot P(\theta,\varphi) \,\mathrm{d} \varphi \,\mathrm{d} \theta \right\}^{-1}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
对于线性阵列，有
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
B(\theta,\varphi) = B(\theta)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
则式 $\eqref{NormalizedDefinitionOfDirectivity}$ 可写为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
D = \left\{ \frac{1}{2} \int_0^\pi \left| B(\theta) \right|^2 \sin \theta \,\mathrm{d} \theta \right\}^{-1}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
在 $u$ 空间可以表示为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{NormalizedDefinitionOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}
|
||||
D = \left\{ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \left| B(u) \right|^2 \,\mathrm{d} u \right\}^{-1}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
通常，这个表达式必须用数值的方法计算。
|
||||
|
||||
  利用 [$u$ 空间的波束方向图的表达式][], 式 $\eqref{NormalizedDefinitionOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 中的表达式可以利用阵列的权值写成
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
D = \left\{ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \sum_{n=0}^{N-1}w_n^\ast e^{jn\left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) \left( u - u_\mathrm{T} \right)} \sum_{m=0}^{N-1} w_m e^{-jm\left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) \left( u - u_\mathrm{T} \right)} \,\mathrm{d} u \right\}^{-1}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中 $u_\mathrm{T}$ 是 $u$ 空间内的阵列的所调方向。交换积分和求和的顺序，并积分，得到
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{ResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}
|
||||
D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} w_m w_n^\ast e^{j \left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) (m-n) u_\mathrm{T} } \mathrm{sinc} \left( \frac{2\pi d}{\lambda} (n-m)\right) \right\}^{-1}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
定义几个矩阵以得到一个简洁的表达式。定义 $\overrightarrow{\mathrm{sinc}}$ 矩阵的第 $n,m$ 个元素为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right]_{nm} \triangleq \mathrm{sinc} \left( \frac{2\pi d}{\lambda} (n-m)\right)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
[对角调向矩阵][] 在 $u$ 空间的表示形式为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\vec{I}_{\mathrm{s}u} = \mathrm{diag}\left( 1, e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}u_\mathrm{T}} , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda} 2u_\mathrm{T}}, \cdots, , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}(N-1)u_\mathrm{T}} \right)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
则
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
D = \vec{I}_{\mathrm{s}u} \vec{w}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w} \vec{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
通常，调向运算在权值矢量中包含[^1]
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\vec{w}_\mathrm{s} = \vec{w}\vec{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
则
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
D = \vec{w}_\mathrm{s}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w}_\mathrm{s}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
## 标准线阵的情况
|
||||
|
||||
  标准线阵（standard linear array）是我们所感兴趣的一个特殊情况。如果 $d = \lambda/2$，则式 $\eqref{ResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 简化为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}
|
||||
D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} w_m w_n^\ast e^{j \pi (m-n) u_\mathrm{T} } \mathrm{sinc} \left( \pi (n-m)\right) \right\}^{-1}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
当 $m = n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 1，当 $m \ne n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 0。所以式 $\eqref{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 简化为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 \right\} = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{-2} = \left\{ \left\| \vec{w} \right \|^2 \right\}^{-1}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\left\| \vec{w} \right \| = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{\frac{1}{2}}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
是矢量 $\vec{w}$ 的 2-模。
|
||||
|
||||
  所以一个标准线阵的方向性是权值矢量幅度平方的倒数。方向性不依赖于阵列的指向。当阵列指向从阵列的正侧向移开时，波束变宽，但是 $\varphi$ 的积分范围减小了
|
||||
|
||||
[$u$ 空间的波束方向图的表达式]: https://josh-gao.top/posts/de20fd09.html#BeamPatternInDirectionCosineDomain
|
||||
[对角调向矩阵]: https://josh-gao.top/posts/c2604c43.html#DiagonalSteeringMatrix
|
||||
|
||||
[^1]: 在大多数情况下，我们去掉下标 “$s$”，因为假设 $\vec{w}$ 是包含调向的。
|
||||
Reference in New Issue
Block a user