finish post, josh-oap-1-3
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@@ -68,7 +68,7 @@ $$\begin{equation}
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注意，线阵在 $\varphi$ 方向是没有分辨能力的。将[复权矢量][]和式 $\eqref{ManifoldVectorOfULA}$ 代入[用复权矢量表示的波数-频率响应函数][]，得到 ULA 在角度域的频率-波数响应函数
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$$\begin{equation} \label{WFRFOfULAInAngleDomain}
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$$\begin{equation} \label{FWRFOfULAInAngleDomain}
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\begin{aligned}
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\vec{\varUpsilon}(\omega,k_z) &= \vec{w}^\mathrm{H}\vec{v}_{\vec{k}}\left(k_z\right) \\
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&= \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{-j\left( n - \frac{N-1}{2} \right) k_z d}
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@@ -87,9 +87,9 @@ $$\begin{equation}
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u_z = \cos\theta
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\end{equation}$$
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将式 $\eqref{DefinitionOfWavenumberDiffOfTwoElements}$ 代入式 $\eqref{WFRFOfULAInAngleDomain}$，得到**在 $\psi$ 空间的频率-波数函数（frequency-wavenumber function in $\psi$-space）**
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将式 $\eqref{DefinitionOfWavenumberDiffOfTwoElements}$ 代入式 $\eqref{FWRFOfULAInAngleDomain}$，得到**在 $\psi$ 空间的频率-波数函数（frequency-wavenumber function in $\psi$-space）**
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$$\begin{equation} \label{WFRFOfULAInWavenumberDomain}
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$$\begin{equation} \label{FWRFOfULAInWavenumberDomain}
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\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) = e^{-j \frac{N-1}{2} \psi } \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n\psi}
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\end{equation}$$
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@@ -101,11 +101,11 @@ $$\begin{equation}
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z = e^{j \psi}
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation} \label{WFRFOfULAInZDomain}
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$$\begin{equation} \label{FWRFOfULAInZDomain}
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\vec{\varUpsilon}_z(z) = z^{- \frac{N-1}{2}} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast z^{n}
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\end{equation}$$
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则式 $\eqref{WFRFOfULAInZDomain}$ 可以写成
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则式 $\eqref{FWRFOfULAInZDomain}$ 可以写成
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$$\begin{equation}
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\vec{\varUpsilon}_z(z) = z^{- \frac{N-1}{2}} \left(\sum_{n=0}^{N-1} w_n z^{-n}\right)^\ast
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@@ -119,13 +119,13 @@ $$\begin{equation}
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和 $z$ 变换的形式相似，且
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$$\begin{equation} \label{WFRFOfULAInZDomainToWavenumberDomain}
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$$\begin{equation} \label{FWRFOfULAInZDomainToWavenumberDomain}
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\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) = \left. \vec{\varUpsilon}_z(z) \right|_{z=e^{j\psi}} = \left.\left(z^{- \frac{N-1}{2}} W^\ast(z)\right)\right|_{z=e^{j\psi}}
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\end{equation}$$
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是在 $\psi$ 空间的频率-波数响应。我们在后面将利用这个关系。
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  在式 $\eqref{WFRFOfULAInAngleDomain}$ 、式 $\eqref{WFRFOfULAInWavenumberDomain}$ 和式 $\eqref{WFRFOfULAInZDomainToWavenumberDomain}$ 中用三种不同的方式写出了频率-波数函数，尽管这可能显得引入了过多的符号，但我们将发现在不同的情况下，这些不同的形式都是有用的。
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  在式 $\eqref{FWRFOfULAInAngleDomain}$ 、式 $\eqref{FWRFOfULAInWavenumberDomain}$ 和式 $\eqref{FWRFOfULAInZDomainToWavenumberDomain}$ 中用三种不同的方式写出了频率-波数函数，尽管这可能显得引入了过多的符号，但我们将发现在不同的情况下，这些不同的形式都是有用的。
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  在 $\theta$ 和 $u$ 空间定义出阵列流形也是有用的
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@@ -56,7 +56,7 @@ $$\begin{equation}
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- 当 $N$ 为偶数时，波瓣在 $\pm 2 \pi$、$\pm 6 \pi$ 处的值为负值，周期为 $4 \pi$；
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- 对任意的 $N$，$\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$ 的周期为 $2 \pi$。
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当 $N = 11$ 时， $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 和 $\psi$ 的关系在[图 1-3-1](#fig.1-3-1) 中给出。[图 1-3-2](#fig.1-3-2) 给出了 $\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$，单位为 dB, 其中
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当 $N = 11$ 时， $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 和 $\psi$ 的关系在[图 1-3-1](#fig.1-3-1) 中给出。[图 1-3-2](#fig.1-3-2) 给出了 $\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$，单位为 dB，其中
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$$\begin{equation}
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\vec{\varUpsilon}_\mathrm{dB}(\psi) = 10 \log_{10} \left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|^2
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@@ -64,13 +64,13 @@ $$\begin{equation}
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<a id="fig.1-3-1"></a>
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{width=700px}
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{width=1000px}
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<a id="fig.1-3-2"></a>
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{width=700px}
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{width=1000px}
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若不指定 $\vec{w}$ 的类型, 则 $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是复数，所以相位也应该画出来。但是，均匀加权线阵具有对称性，因此得到的频率-波数响应是实函数。
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若不指定 $\vec{w}$ 的类型，则 $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是复数，所以相位也应该画出来。但是，均匀加权线阵具有对称性，因此得到的频率-波数响应是实函数。
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  也可以用 $k_z$ 来表示频率-波数响应
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@@ -80,7 +80,7 @@ $$\begin{equation}
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这里 $\vec{\varUpsilon}(\omega:k_z)$ 是周期函数，周期为 $2\pi/d$。
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  注意，响应函数仅依赖于波数分量 $k_z$, 是 $k_z$ 的周期函数，间隔为 $2\pi/d$，这是线性阵列的一维特性导致的，所以该阵列仅能分析在 $k_z$ 方向上投影的波数分量。
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  注意，响应函数仅依赖于波数分量 $k_z$，是 $k_z$ 的周期函数，间隔为 $2\pi/d$，这是线性阵列的一维特性导致的，所以该阵列仅能分析在 $k_z$ 方向上投影的波数分量。
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# 均匀加权线阵的波束方向图
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@@ -91,7 +91,7 @@ $$\begin{align}
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&u 空间: && B_u(u) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{N \pi d}{\lambda} u \right)}{\sin \left( \frac{N d}{\lambda} u\right)}, \quad -1 \leqslant u \leqslant 1 \label{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain} \\
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&\psi 空间: &&B_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(N\frac{\psi}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\psi}{2} \right)}, \quad -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}
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&\psi 空间: &&B_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(N\frac{\psi}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\psi}{2} \right)}, \quad -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda} \label{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}
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\end{align}$$
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其中定义域分别为 $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$、$-1 \leqslant u \leqslant 1$ 和 $-\displaystyle\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}$，称为**{% label primary @可视区域（visible region） %}**。
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@@ -102,14 +102,13 @@ $$\begin{align}
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<a id="fig.1-3-3"></a>
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{width=600px}
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{width=500px}
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<a id="fig.1-3-4"></a>
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{width=700px}
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{width=1000px}
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  尽管这是一个简单的例子，但可以用来展示线性阵列的一些重要特征。第一组重要特
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征描述了波束方向图的参数。
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  尽管这是一个简单的例子，但可以用来展示线性阵列的一些重要特征。第一组重要特征描述了波束方向图的参数。
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# 波束方向图的参数
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@@ -121,7 +120,7 @@ $$\begin{align}
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6. 旁瓣衰减的速率
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7. 栅瓣（Grating lobes）
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## 3 dB 带宽
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## 半功率波束宽度
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为了说明前两个参数，考虑在[图 1-3-5](#fig.1-3-5) 中给出的原点附近的波束方向图。
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@@ -129,7 +128,7 @@ $$\begin{align}
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{width=700px}
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  3dB 波束宽度是波束宽度的一个度量。定义为对应 $\left| B_u(u) \right|^2 = 0.5$ 或 $\left| B_u(u) \right| = 1/\sqrt{2}$ 的点。可以通过使式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$ 中的 $B_u(u)$ 的值等于 $1/\sqrt{2}$ 来确定出在 $u$ 空间的半功率点。当 $N$ 增加时，计算这个值，我们发现，对于 $N\geqslant 10$, 通过解下面的方程可以得到一个很好的近似值：
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  3dB 波束宽度是波束宽度的一个度量。定义为对应 $\left| B_u(u) \right|^2 = 0.5$ 或 $\left| B_u(u) \right| = 1/\sqrt{2}$ 的点。可以通过使式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$ 中的 $B_u(u)$ 的值等于 $1/\sqrt{2}$ 来确定出在 $u$ 空间的半功率点。当 $N$ 增加时，计算这个值，我们发现，对于 $N\geqslant 10$，通过解下面的方程可以得到一个很好的近似值：
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$$\begin{equation}
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\frac{\pi N d}{\lambda} u = 1.4
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@@ -153,15 +152,19 @@ $$\begin{equation} \label{DefinitionOfHPBW}
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<a id="table.1-3-1"></a>
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<center><font color=#999>表 1-3-1 各个空间的半功率波束宽度</font></center>
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|空间| 任意 $d$ | $d=\lambda/2$ |
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| :--: | :------: | :------: |
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| $u$ | $0.891 \frac{\lambda}{Nd}$ | $1.782 \frac{1}{N}$ |
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| $\bar{\theta}$[^] | $2\sin^{-1} \left( 0.446 \frac{\lambda}{Nd} \right)$ | $2\sin^{-1} \left( 0.891 \frac{1}{N} \right)$ |
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||||
| $\bar{\theta}$ [^1] | $2\sin^{-1} \left( 0.446 \frac{\lambda}{Nd} \right)$ | $2\sin^{-1} \left( 0.891 \frac{1}{N} \right)$ |
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||||
| 较小的 $\bar{\theta}$ | $\simeq 0.891 \frac{\lambda}{Nd}$ radians <br> $\simeq 51.05 \frac{\lambda}{Nd}$ degrees | $\simeq 1.782 \frac{1}{N}$ radians <br> $\simeq 102.1 \frac{1}{N}$ degrees |
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| $\psi$ | $0.891 \frac{2\pi}{N}$ | $0.891 \frac{2\pi}{N}$ |
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| $k_z$ | $0.891 \frac{2\pi}{dN}$ | $1.782 \frac{2\pi}{\lambda N}$ |
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## 到第一零点的距离
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[^1]: 侧射角（broadside angle）的定义为 $\bar{\theta} = \pi/2 - \theta$
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## 第一零点波束宽度
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  方向图的零点出现在当 $B_u(u)$ 的分子为零而分母不为零时，即
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@@ -187,24 +190,124 @@ $$\begin{equation}
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u \ne m \frac{\lambda}{d}, \quad m = 1,2,\cdots
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\end{equation}$$
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则第一个零点的位置为 $\lambda/Nd$, 且
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则第一个零点的位置为 $\lambda/Nd$，且
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$$\begin{equation}
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\Delta u_2 = 2 \frac{\lambda}{Nd}
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\end{equation}$$
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我们把 $\Delta u_2$ 称为零点-零点波束宽度（null-to-null beamwidth），并表示为 $BW_{NN}$ 。 $BW_{NN}$ 的一半是到第一零点的距离 ($0.5 BW_{NN}$) 。这个量衡量了阵列分辨两个不同平面波的能力，也称为{% label primary @瑞利限（Rayleigh resolution limit） %}。如果第二个波束方向图的峰值在第一个波束方向图的第一零点之外（间隔 $\geqslant \Delta u_2 / 2$ ）, 则我们认为这两个平面波是可以分辨的。在后面，我们将研究一个阵列的分辨能力的统计性度量。
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我们把 $\Delta u_2$ 称为零点-零点波束宽度（null-to-null beamwidth），并表示为 $BW_{NN}$ 。 $BW_{NN}$ 的一半是到第一零点的距离 ($0.5 BW_{NN}$) 。这个量衡量了阵列分辨两个不同平面波的能力，也称为{% label primary @瑞利限（Rayleigh resolution limit） %}。如果第二个波束方向图的峰值在第一个波束方向图的第一零点之外（间隔 $\geqslant \Delta u_2 / 2$），则我们认为这两个平面波是可以分辨的。在后面，我们将研究一个阵列的分辨能力的统计性度量。
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  注意到线阵在方位角方向（$\varphi$）没有分辨能力，因为该阵列在 $x$ 和 $y$ 方向上没有扩展。我们将在后面详细讨论分辨率的问题。
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{% note warning %}
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注意到线阵在方位角方向（$\varphi$）没有分辨能力，因为该阵列在 $x$ 和 $y$ 方向上没有扩展。我们将在后面详细讨论分辨率的问题。
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{% endnote %}
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  [表 1-3-1](#table.1-3-1)中列出了在各个不同空间表示出的 $BW_{NN}$。
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<a id="table.1-3-2"></a>
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<center><font color=#999>表 1-3-2 各个空间的第一零点波束宽度</font></center>
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|空间| 任意 $d$ | $d=\lambda/2$ |
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| :--: | :------: | :------: |
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| $u$ | $2 \frac{\lambda}{Nd}$ | $\frac{4}{N}$ |
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| $\bar{\theta}$[^] | $2\sin^{-1} \left( \frac{\lambda}{Nd} \right)$ | $2\sin^{-1} \left( \frac{2}{N} \right)$ |
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| $\bar{\theta}$ | $2\sin^{-1} \left( \frac{\lambda}{Nd} \right)$ | $2\sin^{-1} \left( \frac{2}{N} \right)$ |
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| 较小的 $\bar{\theta}$ | $\simeq 2 \frac{\lambda}{Nd}$ radians | $\simeq \frac{4}{N}$ radians |
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| $\psi$ | $ \frac{4\pi}{N}$ | $\frac{4\pi}{N}$ |
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| $\psi$ | $\frac{4\pi}{N}$ | $\frac{4\pi}{N}$ |
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| $k_z$ | $\frac{4\pi}{dN}$ | $\frac{8\pi}{\lambda N}$ |
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# 旁瓣的位置及其衰减速率
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  旁瓣极大值的位置出现在当式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$ 中的分子逼近极大值的时候：
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$$\begin{equation}
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\sin \left( \frac{N \psi}{2} \right) = 1
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\end{equation}$$
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则此时有
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$$\begin{equation}
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\frac{N \psi}{2} = \pm \left( 2m+1 \right)\frac{\pi}{2}, \quad m = 1,2,\cdots
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\end{equation}$$
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也即在 $\psi$ 空间有
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$$\begin{equation}
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\psi = \pm \frac{2m+1}{N}\pi
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\end{equation}$$
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也即在 $u$ 空间有
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$$\begin{equation}
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u = \pm \frac{2m+1}{N}\frac{\lambda}{2d}
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\end{equation}$$
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则第一旁瓣的峰值出现在
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$$\begin{equation}
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\psi = \pm \frac{2\pi}{N}
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\end{equation}$$
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由于在极大值时，式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$ 中的分子趋近为 1，因此极大值为
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$$\begin{equation}
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B_\psi \left( \pm \frac{3\pi}{N} \right) \approx \frac{1}{N \sin \left( \frac{3\pi}{2N} \right)}
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\end{equation}$$
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对于较大的 $N$，这个表达式可以进一步近似为
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$$\begin{equation}
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B_\psi \left( \pm \frac{3\pi}{N} \right) \approx \frac{3}{2\pi}
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\end{equation}$$
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计算得 -13.5dB。
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{% note warning %}
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这意味着一个信号如果在这个旁瓣的位置入射，且比位置在 $k_z = 0$ 的信号高 13.5dB，则这两个信号将产生相同的响应。主要的旁瓣出现在 $k_z = \pm(2m + 1) \pi/Nd$，旁瓣的水平衰减速率为 $1/(2m + 1)$。例如，第二旁瓣的高度为 -17.9dB。在实际中，这种旁瓣水平的分辨能力是不能被接受的，所以很少使用均匀加权。旁瓣控制在确定性阵列和自适应阵列设计中都是特别重要的问题。
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{% endnote %}
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# 栅瓣（Grating lobes）
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<a id="fig.1-3-6"></a>
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{width=1000px}
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在[图 1-3-6](#fig.1-3-6) 中，我们针对多种 $d/\lambda$ 的值，画出了 $\left| \vec{\varUpsilon}_u(u) \right|$。图中说明了“栅瓣”这个重要的概念，即和主波束一样高的波瓣。栅瓣发生在当式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$ 中的分子和分母均为零的时候。栅瓣出现的间隔为
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$$\begin{equation}
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\frac{\psi}{2} = m \cdot \pi
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\end{equation}$$
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也即
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$$\begin{equation}
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\psi = m \cdot 2 \pi
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\end{equation}$$
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也即
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$$\begin{equation}
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u = m \cdot \frac{\lambda}{d}
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\end{equation}$$
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  如果阵列的间距大于 $\lambda$，则栅瓣的峰值出现在信号传播区域以内，即在 $\left| u \right| \leqslant 1$ 的区域以内。这里就会出现峰值响应模糊的问题，只有当我们对信号的入射方向有先验信息的时候，才可能解决这个问题。
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  下一节将讨论阵列调向的问题。我们发现阵列调向使得在 $u$ 空间的频率-波数函数 $\left| \vec{\varUpsilon}_u(u) \right|$ 发生平移。这种平移导致栅瓣进入了可视区域以内。我们发现，如果阵列需要的调向范围为 $0 \degree \leqslant \theta \leqslant 180\degree$ 则需要
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$$\begin{equation}
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\frac{d}{\lambda} \leqslant \frac{1}{2}
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\end{equation}$$
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也即
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$$\begin{equation}
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\lambda \leqslant \frac{\lambda}{2}
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\end{equation}$$
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  通常，我们考虑满足 $d \leqslant \lambda/2$ 的阵列，并假设需要在整个球内进行调向。我们把满足 $d = \lambda/2$ 的均匀线阵称为**{% label primary @标准线阵（standard linear array） %}**。
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  在时间序列分析中，当对时域波形欠采样时，会出现混迭间题。栅瓣的问题和时域混迭问题是等同的。
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