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This commit is contained in:
@@ -43,15 +43,15 @@ z &= r \cos\theta
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# 阵列的基本模型
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  本文分析一个阵列对外部信号场的响应。阵列由一组全向阵元组成，阵元的位置为 $\vec{p}_n$，如[图 1-1-2](#fig.1-1-2) 所示。阵元在位置 $\vec{p}_n : n = 0, 1, \cdots, N — 1$ 上对信号场进行空域采样。这产生了一组信号，表示为矢量 $\vec{f}\left(t, \vec{p}\right)$
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  本文分析一个阵列对外部信号场的响应。阵列由一组全向阵元组成，阵元的位置为 $\boldsymbol{p}_n$，如[图 1-1-2](#fig.1-1-2) 所示。阵元在位置 $\boldsymbol{p}_n : n = 0, 1, \cdots, N — 1$ 上对信号场进行空域采样。这产生了一组信号，表示为矢量 $\boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{p}\right)$
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$$\begin{equation}
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\vec{f}(t, \vec{p}) = \left[
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\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{p}) = \left[
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\begin{array}{c}
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f\left(t, \vec{p}_0\right) \\
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f\left(t, \vec{p}_1\right) \\
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f\left(t, \boldsymbol{p}_0\right) \\
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f\left(t, \boldsymbol{p}_1\right) \\
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\vdots \\
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f\left(t, \vec{p}_{N-1}\right) \\
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f\left(t, \boldsymbol{p}_{N-1}\right) \\
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\end{array}
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\right]
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\end{equation}$$
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@@ -69,7 +69,7 @@ $$\begin{equation}
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  对每个阵元的输出用一个线性时不变滤波器进行处理，该滤波器的冲激响应为 $h_n(\tau)$，并对所有输出求和，得到阵列的输出 $y(t)$，如[图 1-1-3](#fig.1-1-3) 所示。假设观察间隔足够长（可以考虑为无限长），则输出 $y(t)$ 可以写成卷积积分的形式：
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$$\begin{equation}
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y(t) = \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} h_n (t-\tau)f_n\left(\tau,\vec{p}_n\right) \mathrm{d} \tau
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y(t) = \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} h_n (t-\tau)f_n\left(\tau,\boldsymbol{p}_n\right) \mathrm{d} \tau
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\end{equation}$$
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<a id="fig.1-1-3"></a>
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@@ -81,13 +81,13 @@ y(t) = \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} h_n (t-\tau)f_n\left(\tau,\vec{p
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<a id="VectorFormOfLinearArrayOutputInTimeDomain"></a>
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$$\begin{equation} \label{VectorFormOfLinearArrayOutputInTimeDomain}
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y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}^\mathrm{T} (t-\tau) \vec{f}\left(\tau,\vec{p}\right) \mathrm{d} \tau
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y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{h}^\mathrm{T} (t-\tau) \boldsymbol{f}\left(\tau,\boldsymbol{p}\right) \mathrm{d} \tau
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\end{equation}$$
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其中
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$$\begin{equation} \label{ImpulseResponse}
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\vec{h}(\tau) = \left[ \begin{array}{c}
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\boldsymbol{h}(\tau) = \left[ \begin{array}{c}
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h_0(\tau) \\
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h_1(\tau) \\
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\vdots \\
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@@ -101,25 +101,25 @@ $$\begin{equation} \label{ImpulseResponse}
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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Y(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t \\
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&= \vec{H}^\mathrm{T}(\omega) \vec{F}(\omega)
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&= \boldsymbol{H}^\mathrm{T}(\omega) \boldsymbol{F}(\omega)
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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其中
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$$\begin{equation}
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\vec{H} (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}(t) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t
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\boldsymbol{H} (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{h}(t) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation} \label{SampleVectorInFreqDomain}
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\vec{F} \left(\omega,\vec{p}\right) = \int_{-\infty}^{\infty} \vec{f}\left(\tau,\vec{p}\right) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t
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\boldsymbol{F} \left(\omega,\boldsymbol{p}\right) = \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{f}\left(\tau,\boldsymbol{p}\right) e^{-j\omega t} \mathrm{d} t
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\end{equation}$$
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在大多数情况下，可以去掉式 $\eqref{SampleVectorInFreqDomain}$ 中左边的 $\vec{p}$，直接使用 $\vec{F}(\omega)$ 。
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在大多数情况下，可以去掉式 $\eqref{SampleVectorInFreqDomain}$ 中左边的 $\boldsymbol{p}$，直接使用 $\boldsymbol{F}(\omega)$ 。
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# 信号到达不同阵元的时延
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  下面考虑如[图 1-1-4](#fig.1-1-4) 所示的简单的波束形成操作。外部信号输入为传播方向为 $\vec{a}$，时域频率（弧度）为 $\omega$ 的平面波，则在时域上每个阵元的输入信号可以用两种等效的方式进行表示。
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  下面考虑如[图 1-1-4](#fig.1-1-4) 所示的简单的波束形成操作。外部信号输入为传播方向为 $\boldsymbol{a}$，时域频率（弧度）为 $\omega$ 的平面波，则在时域上每个阵元的输入信号可以用两种等效的方式进行表示。
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<a id="fig.1-1-4"></a>
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@@ -128,7 +128,7 @@ $$\begin{equation} \label{SampleVectorInFreqDomain}
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  由于信号到达不同阵元的时间不同，因此第一种方式强调信号到达不同阵元的时间延时。设 $f(t)$ 是**在坐标系原点接收到的信号**，其在变换域表示为 $F (\omega)$，则
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$$\begin{equation} \label{DelayedSignal}
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\vec{f}(t, \vec{p}) = \left[
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\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{p}) = \left[
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\begin{array}{c}
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f\left(t - \tau_0\right) \\
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f\left(t - \tau_1\right) \\
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@@ -141,20 +141,20 @@ $$\begin{equation} \label{DelayedSignal}
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其中时延可表示为（距离除以速度得到时间）
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$$\begin{equation} \label{ExpressionOfDelayByDirection}
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\tau_n = \frac{\vec{a}^\mathrm{T}\vec{p}_n}{c}
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\tau_n = \frac{\boldsymbol{a}^\mathrm{T}\boldsymbol{p}_n}{c}
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\end{equation}$$
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其中 $c$ 是信号在介质中的传播速度，$\vec{a}$ 是一个单位矢量，可以表示为
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其中 $c$ 是信号在介质中的传播速度，$\boldsymbol{a}$ 是一个单位矢量，可以表示为
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$$\begin{equation}
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\vec{a} = \left[ \begin{array}{c}
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\boldsymbol{a} = \left[ \begin{array}{c}
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-\sin\theta\cos\varphi \\
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-\sin\theta\sin\varphi \\
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-\cos\theta
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\end{array} \right]
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\end{equation}$$
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上式中的负号是考虑了 $\vec{a}$ 的方向。则 $\tau_n$ 可以进一步表示为：
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上式中的负号是考虑了 $\boldsymbol{a}$ 的方向。则 $\tau_n$ 可以进一步表示为：
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$$\begin{equation} \label{RelativeDelay}
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\tau_n = -\frac{1}{c}\left(\sin\theta\cos\varphi \cot p_{x_n} + \sin\theta\sin\varphi \cdot p_{y_n} + \cos\theta \cdot p_{z_n} \right)
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@@ -171,16 +171,16 @@ $$\begin{align}
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则有
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$$\begin{equation}
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\vec{u} = -\vec{a}
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\boldsymbol{u} = -\boldsymbol{a}
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\end{equation}$$
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则式 $\eqref{RelativeDelay}$ 可以写成
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$$\begin{equation} \label{RelativeDelayWithDirectionCosine}
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\tau_n = -\frac{1}{c}\left(u_x p_{x_n} + u_y p_{y_n} + u_z p_{z_n} \right) = -\frac{\vec{u}^\mathrm{T}\vec{p}_n}{c}
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\tau_n = -\frac{1}{c}\left(u_x p_{x_n} + u_y p_{y_n} + u_z p_{z_n} \right) = -\frac{\boldsymbol{u}^\mathrm{T}\boldsymbol{p}_n}{c}
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\end{equation}$$
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根据式 $\eqref{DelayedSignal}$，$\vec{F}(\omega)$ 的第 $n$ 个分量为（利用 Fourier 变换的时移性质）
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根据式 $\eqref{DelayedSignal}$，$\boldsymbol{F}(\omega)$ 的第 $n$ 个分量为（利用 Fourier 变换的时移性质）
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$$\begin{equation}
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F_n(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j \omega t} f(t - \tau_n) \mathrm{d} t = e^{j \omega \tau_n} F (\omega)
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@@ -189,38 +189,38 @@ $$\begin{equation}
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其中
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$$\begin{equation}
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\omega \tau_n = \frac{\omega}{c} \vec{a}^\mathrm{T}\vec{p}_n = -\frac{\omega}{c} \vec{u}^\mathrm{T}\vec{p}_n
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\omega \tau_n = \frac{\omega}{c} \boldsymbol{a}^\mathrm{T}\boldsymbol{p}_n = -\frac{\omega}{c} \boldsymbol{u}^\mathrm{T}\boldsymbol{p}_n
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\end{equation}$$
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对于在局部均匀的介质（locally homogeneous medium）里传播的平面波，定义波数 $\vec{k}$ （在波传播的方向上单位长度内的周期数目）为
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对于在局部均匀的介质（locally homogeneous medium）里传播的平面波，定义波数 $\boldsymbol{k}$ （在波传播的方向上单位长度内的周期数目）为
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$$\begin{equation} \label{DefinitionOfWavenumber}
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\vec{k} = \frac{\omega}{c} \vec{a} = \frac{2\pi}{\lambda} \vec{a}
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\boldsymbol{k} = \frac{\omega}{c} \boldsymbol{a} = \frac{2\pi}{\lambda} \boldsymbol{a}
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\end{equation}$$
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其中，$\lambda$ 是对应于频率 $\omega$ 的波长。等效地，
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$$\begin{equation}
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\vec{k} = -\frac{2\pi}{\lambda} \left[
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\boldsymbol{k} = -\frac{2\pi}{\lambda} \left[
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\begin{array}{c}
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\sin\theta\cos\varphi \\
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\sin\theta\sin\varphi \\
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\cos\theta
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\end{array}
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\right]
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= -\frac{2\pi}{\lambda} \vec{u}
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= -\frac{2\pi}{\lambda} \boldsymbol{u}
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\end{equation}$$
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且波数的幅度由波动方程限定
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$$\begin{equation} \label{WaveEquation}
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\left| \vec{k} \right| = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}
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\left| \boldsymbol{k} \right| = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}
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\end{equation}$$
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所以，仅 $\vec{k}$ 的方向是变化的。比较式 $\eqref{ExpressionOfDelayByDirection}$ 和式 $\eqref{DefinitionOfWavenumber}$，可以看到
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所以，仅 $\boldsymbol{k}$ 的方向是变化的。比较式 $\eqref{ExpressionOfDelayByDirection}$ 和式 $\eqref{DefinitionOfWavenumber}$，可以看到
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$$\begin{equation}
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\omega \tau_n = \vec{k}^\mathrm{T}\vec{p}_n
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\omega \tau_n = \boldsymbol{k}^\mathrm{T}\boldsymbol{p}_n
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\end{equation}$$
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定义
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@@ -228,21 +228,21 @@ $$\begin{equation}
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<a id="DefinitionOfArrayManifoldVector"></a>
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$$\begin{equation} \label{DefinitionOfArrayManifoldVector}
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\vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right) = \left[ \begin{array}{c}
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e^{-j \vec{k}^\mathrm{T}\vec{p}_0} \\
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e^{-j \vec{k}^\mathrm{T}\vec{p}_1} \\
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\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right) = \left[ \begin{array}{c}
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||||
e^{-j \boldsymbol{k}^\mathrm{T}\boldsymbol{p}_0} \\
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||||
e^{-j \boldsymbol{k}^\mathrm{T}\boldsymbol{p}_1} \\
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\vdots \\
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e^{-j \vec{k}^\mathrm{T}\vec{p}_{N-1}} \\
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e^{-j \boldsymbol{k}^\mathrm{T}\boldsymbol{p}_{N-1}} \\
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\end{array} \right]
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\end{equation}$$
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则 $\vec{F}(\omega)$ 可写为
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则 $\boldsymbol{F}(\omega)$ 可写为
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$$\begin{equation}
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\vec{F}(\omega) = F(\omega) \vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)
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\boldsymbol{F}(\omega) = F(\omega) \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right)
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\end{equation}$$
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矢量 $\vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)$ 包含了阵列的所有空间特征，称为**{% label primary @阵列流形矢量（array manifold vector） %}**。在我们的讨论中，阵列流形矢量具有非常核心的作用。下标 $\vec{k}$ 表示参数属于 $\vec{k}$ 空间。这个下标的作用是把它和以后将在阵列流形矢量中使用的其他变量相区分。
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矢量 $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right)$ 包含了阵列的所有空间特征，称为**{% label primary @阵列流形矢量（array manifold vector） %}**。在我们的讨论中，阵列流形矢量具有非常核心的作用。下标 $\boldsymbol{k}$ 表示参数属于 $\boldsymbol{k}$ 空间。这个下标的作用是把它和以后将在阵列流形矢量中使用的其他变量相区分。
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  在这种情况下，把每个阵元的输入信号平移，使之在时间上对齐，然后把它们相加。这个操作过程如[图 1-1-5](#fig.1-1-5) 所示，其中包含了归一化因子 $1/N$，使得输出为 $f(t)$。在这里，
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@@ -262,75 +262,75 @@ $$\begin{equation}
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  这个处理器称为**{% label primary @延时求和波束形成器（delay-and-sum beamformer） %}**或**{% label primary @常规波束形成器（conventional beamformer） %}**。在实际中会在每个通道中加上一个共同的延时，使得[图 1-1-5](#fig.1-1-5) 中的操作是物理可实现的。
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  此外，还可以把式 $\eqref{DelayAndSumBeamformer}$ 在频域内写成简洁的矩阵形式。如果 $\vec{k}_\mathrm{s}$ 是我们所感兴趣的平面波信号的波数，则
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  此外，还可以把式 $\eqref{DelayAndSumBeamformer}$ 在频域内写成简洁的矩阵形式。如果 $\boldsymbol{k}_\mathrm{s}$ 是我们所感兴趣的平面波信号的波数，则
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$$\begin{equation}
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\vec{H}^\mathrm{T} (\omega) = \frac{1}{N} \vec{v}_{\vec{k}}^\mathrm{H} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right)
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\boldsymbol{H}^\mathrm{T} (\omega) = \frac{1}{N} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}^\mathrm{H} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right)
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\end{equation}$$
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其中 $\vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)$ 在式 $\eqref{DefinitionOfArrayManifoldVector}$ 中定义。
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其中 $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right)$ 在式 $\eqref{DefinitionOfArrayManifoldVector}$ 中定义。
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# 单位平面波模型
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  现在回到一般的问题，我们想要确定阵列对一个输入场 $\vec{f}(t, \vec{p})$ 的响应，这可以通过之前给出的卷积求和操作来实现，但更有用的方法是首先确定阵列对单位平面波（unit plane wave）的响应，响应为单位平面波时域（弧度）频率 $\omega$ 和波数 $\vec{k}$ 的函数。（利用叠加的复指数基函数对一个线性时不变系统进行分析的系统理论方法可以扩展到空时信号的情况。）
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  现在回到一般的问题，我们想要确定阵列对一个输入场 $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{p})$ 的响应，这可以通过之前给出的卷积求和操作来实现，但更有用的方法是首先确定阵列对单位平面波（unit plane wave）的响应，响应为单位平面波时域（弧度）频率 $\omega$ 和波数 $\boldsymbol{k}$ 的函数。（利用叠加的复指数基函数对一个线性时不变系统进行分析的系统理论方法可以扩展到空时信号的情况。）
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这里的基函数形式为
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$$\begin{equation}
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f_n\left( t, \vec{p}_n \right) = \exp \left[ j \left( \omega t - \vec{k}^\mathrm{T} \vec{p}_n\right) \right], \, n = 0, 1, \cdots, N-1
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f_n\left( t, \boldsymbol{p}_n \right) = \exp \left[ j \left( \omega t - \boldsymbol{k}^\mathrm{T} \boldsymbol{p}_n\right) \right], \, n = 0, 1, \cdots, N-1
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\end{equation}$$
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或
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$$\begin{equation}
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\vec{f} \left( t, \vec{p} \right) = e^{j\omega t} \vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)
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\boldsymbol{f} \left( t, \boldsymbol{p} \right) = e^{j\omega t} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right)
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\end{equation}$$
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||||
其中 $\vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)$ 在式 $\eqref{DefinitionOfArrayManifoldVector}$ 中定义。
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其中 $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right)$ 在式 $\eqref{DefinitionOfArrayManifoldVector}$ 中定义。
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  式 $\eqref{VectorFormOfLinearArrayOutputInTimeDomain}$ 中的阵列处理器对于一个平面波的响应为
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$$\begin{equation} \label{ArrayResponseToUnitPlaneWaveInTimeDomain}
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y \left( t, \vec{k} \right) = \vec{H}^\mathrm{T} (\omega) \vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right) e^{j\omega t}
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||||
y \left( t, \boldsymbol{k} \right) = \boldsymbol{H}^\mathrm{T} (\omega) \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right) e^{j\omega t}
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\end{equation}$$
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||||
其中 $\vec{H} (\omega)$ 是式 $\eqref{ImpulseResponse}$ 中 $\vec{h}(\tau)$ 的傅里叶变换。
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其中 $\boldsymbol{H} (\omega)$ 是式 $\eqref{ImpulseResponse}$ 中 $\boldsymbol{h}(\tau)$ 的傅里叶变换。
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  这里用了符号 $y \left( t, \vec{k} \right)$，以强调输出和输入波数 $\vec{k}$ 的关系。时域上的相关性体现在输出是一个复指数，和输入平面波具有相同的频率。在频域内，$\eqref{ArrayResponseToUnitPlaneWaveInTimeDomain}$ 可以写成下面的形式：
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  这里用了符号 $y \left( t, \boldsymbol{k} \right)$，以强调输出和输入波数 $\boldsymbol{k}$ 的关系。时域上的相关性体现在输出是一个复指数，和输入平面波具有相同的频率。在频域内，$\eqref{ArrayResponseToUnitPlaneWaveInTimeDomain}$ 可以写成下面的形式：
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$$\begin{equation} \label{ArrayResponseToUnitPlaneWaveInFreqDomain}
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||||
Y \left( \omega, \vec{k} \right) = \vec{H}^\mathrm{T} (\omega) \vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)
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||||
Y \left( \omega, \boldsymbol{k} \right) = \boldsymbol{H}^\mathrm{T} (\omega) \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right)
|
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\end{equation}$$
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  注意，$\omega$ 是对应输入频率的单一频率。阵列的空时处理完全可以由式 $\eqref{ArrayResponseToUnitPlaneWaveInFreqDomain}$ 的右端描述。把这一项定义为
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$$\begin{equation} \label{FrequencyWavenumberResponse}
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\boxed{\vec{\varUpsilon} \left( \omega, \vec{k} \right) \triangleq \vec{H}^\mathrm{T} (\omega) \vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)}
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||||
\boxed{\boldsymbol{\varUpsilon} \left( \omega, \boldsymbol{k} \right) \triangleq \boldsymbol{H}^\mathrm{T} (\omega) \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right)}
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\end{equation}$$
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称之为阵列的**{% label primary @频率-波数响应函数（frequency-wavenumber response function） %}**。它描述了一个阵列对于波数为 $\vec{k}$、时域频率为 $\omega$ 的输入平面波的复增益，具有与线性、时不变系统的传递函数相同的解释（这里我们用了 $\vec{\varUpsilon} \left( \omega, \vec{k} \right)$, 是因为 $Y \left( \omega, \vec{k} \right)$ 在后面将要用于描述对任意输入的输出）。 $\vec{\varUpsilon} \left( \omega, \vec{k} \right)$ 是定义在整个 $\vec{k}$ 空间上的。$\eqref{FrequencyWavenumberResponse}$ 中的第二项 $\vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)$ 是在式 $\eqref{DefinitionOfArrayManifoldVector}$ 中定义的阵列流形矢量。
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称之为阵列的**{% label primary @频率-波数响应函数（frequency-wavenumber response function） %}**。它描述了一个阵列对于波数为 $\boldsymbol{k}$、时域频率为 $\omega$ 的输入平面波的复增益，具有与线性、时不变系统的传递函数相同的解释（这里我们用了 $\boldsymbol{\varUpsilon} \left( \omega, \boldsymbol{k} \right)$, 是因为 $Y \left( \omega, \boldsymbol{k} \right)$ 在后面将要用于描述对任意输入的输出）。 $\boldsymbol{\varUpsilon} \left( \omega, \boldsymbol{k} \right)$ 是定义在整个 $\boldsymbol{k}$ 空间上的。$\eqref{FrequencyWavenumberResponse}$ 中的第二项 $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right)$ 是在式 $\eqref{DefinitionOfArrayManifoldVector}$ 中定义的阵列流形矢量。
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  频率-波数响应函数描述了阵列对任意一个平面波的响应。在大多数的实际物理应用中，时域频率 $\omega$ 和空域波数 $\vec{k}$ 通过平面波传播的波动方程形成了耦合关系。有时这是一个非常简单的关系，例如当一个平而波在均匀（且无限）的空间中传播时。在其他的情况下，可能是非常复杂的耦合关系，例如在水下声学和地震学中的分层介质模型中的情况。
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  频率-波数响应函数描述了阵列对任意一个平面波的响应。在大多数的实际物理应用中，时域频率 $\omega$ 和空域波数 $\boldsymbol{k}$ 通过平面波传播的波动方程形成了耦合关系。有时这是一个非常简单的关系，例如当一个平而波在均匀（且无限）的空间中传播时。在其他的情况下，可能是非常复杂的耦合关系，例如在水下声学和地震学中的分层介质模型中的情况。
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||||
  一个阵列的**{% label primary @波束方向图（beam pattern） %}**定义的背景是平面波在局部均匀的介质中传播，约束的波动方程见式 $\eqref{WaveEquation}$。如式 $\eqref{WaveEquation}$ 所示，这约束了波数 $\vec{k}$ 的幅度。波束方向图是用入射方向表示的频率-波数响应函数，或者可以写成
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||||
  一个阵列的**{% label primary @波束方向图（beam pattern） %}**定义的背景是平面波在局部均匀的介质中传播，约束的波动方程见式 $\eqref{WaveEquation}$。如式 $\eqref{WaveEquation}$ 所示，这约束了波数 $\boldsymbol{k}$ 的幅度。波束方向图是用入射方向表示的频率-波数响应函数，或者可以写成
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$$\begin{equation}
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B(\omega:\theta,\varphi) = \left. \vec{\varUpsilon} \left( \omega, \vec{k} \right) \right|_{\vec{k}=\frac{2\pi}{\lambda}\vec{a}(\theta,\varphi)}
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||||
B(\omega:\theta,\varphi) = \left. \boldsymbol{\varUpsilon} \left( \omega, \boldsymbol{k} \right) \right|_{\boldsymbol{k}=\frac{2\pi}{\lambda}\boldsymbol{a}(\theta,\varphi)}
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\end{equation}$$
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||||
其中 $\vec{a}(\theta,\varphi)$ 是一个单位矢量，在球坐标系中对应的角度为 $\theta$ 和 $\varphi$。可以看到，**波束方向图是频率-波数响应在一个半径为 $2\pi /\lambda$ 的球上的值**。
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其中 $\boldsymbol{a}(\theta,\varphi)$ 是一个单位矢量，在球坐标系中对应的角度为 $\theta$ 和 $\varphi$。可以看到，**波束方向图是频率-波数响应在一个半径为 $2\pi /\lambda$ 的球上的值**。
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  阵列的波束方向图是确定阵列性能的关键要素。后续将会研究均匀加权线阵（uniformly weighted linear array）的波束方向图。
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# 窄带假设
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  在这里中，我们强调 $f\left( t,\vec{p}_n \right)$ 是带通信号的情况，即
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  在这里中，我们强调 $f\left( t,\boldsymbol{p}_n \right)$ 是带通信号的情况，即
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$$\begin{equation} \label{BandpassConstraint}
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||||
f\left( t,\vec{p}_n \right) = \sqrt{2} \Re\left\{ \tilde{f} \left( t,\vec{p}_n \right) e^{j \omega_c t}\right\}, \, n = 0, \cdots, N-1
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||||
f\left( t,\boldsymbol{p}_n \right) = \sqrt{2} \Re\left\{ \tilde{f} \left( t,\boldsymbol{p}_n \right) e^{j \omega_c t}\right\}, \, n = 0, \cdots, N-1
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||||
\end{equation}$$
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||||
其中，$\omega_c$ 是载波频率，$\tilde{f} \left( t,\vec{p}_n \right)$ 是复包络。假设复包络的带限区域为
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其中，$\omega_c$ 是载波频率，$\tilde{f} \left( t,\boldsymbol{p}_n \right)$ 是复包络。假设复包络的带限区域为
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$$\begin{equation}
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\left| \omega_L \right| \leqslant 2\pi B_s /2
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@@ -347,15 +347,15 @@ $$\begin{equation}
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  对于式 $\eqref{DelayedSignal}$ 中的平面波，式 $\eqref{BandpassConstraint}$ 成为
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$$\begin{equation} \label{BandpassConstraintApproximation}
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f\left( t,\vec{p}_n \right) = \sqrt{2} \Re\left\{ \tilde{f} \left( t - \tau_n \right) e^{j \omega_c \left( t - \tau_n \right)}\right\}, \, n = 0, \cdots, N-1
|
||||
f\left( t,\boldsymbol{p}_n \right) = \sqrt{2} \Re\left\{ \tilde{f} \left( t - \tau_n \right) e^{j \omega_c \left( t - \tau_n \right)}\right\}, \, n = 0, \cdots, N-1
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||||
\end{equation}$$
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||||
其中，$\tau_n$ 由式 $\eqref{RelativeDelayWithDirectionCosine}$ 给出。
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||||
  现在考虑信号跨越阵列传播的时间（the travel time across the array）。定义 $\Delta T_{nm} \left( \vec{u} \right)$ 为一个方向余弦为 $\vec{u}$ 的平面波在第 $n$ 个阵元和第 $m$ 个阵元之间的传播时间。则，
|
||||
  现在考虑信号跨越阵列传播的时间（the travel time across the array）。定义 $\Delta T_{nm} \left( \boldsymbol{u} \right)$ 为一个方向余弦为 $\boldsymbol{u}$ 的平面波在第 $n$ 个阵元和第 $m$ 个阵元之间的传播时间。则，
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||||
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||||
$$\begin{equation}
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||||
\Delta T_{\max} \triangleq \max_{n,m=0,\cdots,N-1;\vec{u}} \{\Delta T_{nm} \left( \vec{u} \right)\}
|
||||
\Delta T_{\max} \triangleq \max_{n,m=0,\cdots,N-1;\boldsymbol{u}} \{\Delta T_{nm} \left( \boldsymbol{u} \right)\}
|
||||
\end{equation}$$
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||||
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||||
是阵列的任意两个阵元之间的最大传播时间。对于一个线阵，这个最大值是当一个信号沿着阵列的轴线传播时（endfire），阵列两端阵元之间的传播时间。
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@@ -363,7 +363,7 @@ $$\begin{equation}
|
||||
  假设原点位于阵列的重心，即
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$$\begin{equation}
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||||
\sum_{n=0}^{N-1} \vec{p}_n = 0
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||||
\sum_{n=0}^{N-1} \boldsymbol{p}_n = 0
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\end{equation}$$
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||||
则式 $\eqref{RelativeDelayWithDirectionCosine}$ 给出的所有 $\tau_n$ 均满足
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@@ -387,7 +387,7 @@ $$\begin{equation} \label{NarrowBandConstraint}
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定义复包络满足式 $\eqref{NarrowBandConstraint}$ 的带通信号为**{% label primary @窄带信号 %}**。后面我们会在有关最优处理器的内容中重新研究这个定义，并给出一个更好的量化的讨论。现在，直接采用式 $\eqref{NarrowBandConstraint}$ 。则式 $\eqref{BandpassConstraintApproximation}$ 简化为
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$$\begin{equation}
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||||
f\left( t,\vec{p}_n \right) = \sqrt{2} \Re\left\{ \tilde{f} \left( t \right) e^{-j \omega_c \tau_n} e^{j \omega_c t } \right\}
|
||||
f\left( t,\boldsymbol{p}_n \right) = \sqrt{2} \Re\left\{ \tilde{f} \left( t \right) e^{-j \omega_c \tau_n} e^{j \omega_c t } \right\}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
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||||
可以看到，在窄带的情况下，信号的延时可以用一个相移来近似。所以延时-求和波束形成器可以用一组移相器来代替延时线。结果得到的波束形成器在[图 1-1-6](#fig.1-1-6) 中给出。这种实现方式通常称为**{% label primary @相控阵 %}**，并在实际中得到了广泛的应用。
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@@ -409,7 +409,7 @@ $$\begin{equation}
|
||||
<a id="ComplexWeightVector"></a>
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||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{ComplexWeightVector}
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||||
\vec{w}^\mathrm{H} = [w_0^\ast, w_1^\ast, \cdots, w_{N-1}^\ast]
|
||||
\boldsymbol{w}^\mathrm{H} = [w_0^\ast, w_1^\ast, \cdots, w_{N-1}^\ast]
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
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||||
则式 $\eqref{ArrayResponseToUnitPlaneWaveInTimeDomain}$ 成为
|
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@@ -417,13 +417,13 @@ $$\begin{equation} \label{ComplexWeightVector}
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||||
<a id="FrequencyWavenumberResponseWithComplexWeigh"></a>
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
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||||
y\left( t,\vec{k} \right) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_{\vec{k}}\left( \vec{k} \right) e^{j\omega t}
|
||||
y\left( t,\boldsymbol{k} \right) = \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left( \boldsymbol{k} \right) e^{j\omega t}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
且
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||||
$$\begin{equation}
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||||
\varUpsilon \left(\omega, \vec{k} \right) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_{\vec{k}}\left( \vec{k} \right)
|
||||
\varUpsilon \left(\omega, \boldsymbol{k} \right) = \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left( \boldsymbol{k} \right)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
式 $\eqref{ComplexWeightVector}$ 中的定义等价于
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@@ -431,7 +431,7 @@ $$\begin{equation}
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||||
<a id="NarrowBandComplexWeightVector"></a>
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||||
$$\begin{equation}
|
||||
\vec{w}^\mathrm{H} = \vec{H}^\mathrm{T}(\omega_c)
|
||||
\boldsymbol{w}^\mathrm{H} = \boldsymbol{H}^\mathrm{T}(\omega_c)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
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||||
这里主要关注的是窄带模型，对于宽带信号，一种处理方法是利用离散傅里叶变换（DFT）把信号分解到更窄的频率柜 （frequency bin），每个频率柜内的信号是满足窄带条件的，因此所有的窄带结果可以直接得到应用。
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||||
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||||
@@ -43,10 +43,10 @@ $$\begin{equation} \label{ElementLocation}
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, \, n = 0,1,\cdots,N-1
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
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||||
为了确定阵列流形矢量 $\vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)$，把式 $\eqref{ElementLocation}$ 代入到[阵列流形矢量的定义][]中，得到
|
||||
为了确定阵列流形矢量 $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right)$，把式 $\eqref{ElementLocation}$ 代入到[阵列流形矢量的定义][]中，得到
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{ManifoldVectorOfULA}
|
||||
\vec{v}_{\vec{k}}\left(k_z\right) = \left[\begin{array}{c}
|
||||
\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(k_z\right) = \left[\begin{array}{c}
|
||||
e^{j \left( \frac{N-1}{2} \right) k_z d} \\
|
||||
e^{j \left( \frac{N-1}{2} - 1\right) k_z d} \\
|
||||
\vdots \\
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||||
@@ -63,14 +63,14 @@ $$\begin{equation}
|
||||
其中波数的幅度
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||||
$$\begin{equation}
|
||||
k_0 \triangleq \left| \vec{k} \right| = \frac{2\pi}{\lambda}
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||||
k_0 \triangleq \left| \boldsymbol{k} \right| = \frac{2\pi}{\lambda}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
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||||
注意，线阵在 $\varphi$ 方向是没有分辨能力的。将[复权矢量][]和式 $\eqref{ManifoldVectorOfULA}$ 代入[用复权矢量表示的波数-频率响应函数][]，得到 ULA 在角度域的频率-波数响应函数
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||||
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||||
$$\begin{equation} \label{FWRFOfULAInAngleDomain}
|
||||
\begin{aligned}
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||||
\vec{\varUpsilon}(\omega,k_z) &= \vec{w}^\mathrm{H}\vec{v}_{\vec{k}}\left(k_z\right) \\
|
||||
\boldsymbol{\varUpsilon}(\omega,k_z) &= \boldsymbol{w}^\mathrm{H}\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(k_z\right) \\
|
||||
&= \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{-j\left( n - \frac{N-1}{2} \right) k_z d}
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
@@ -90,10 +90,10 @@ $$\begin{equation}
|
||||
将式 $\eqref{DefinitionOfWavenumberDiffOfTwoElements}$ 代入式 $\eqref{FWRFOfULAInAngleDomain}$，得到**在 $\psi$ 空间的频率-波数函数（frequency-wavenumber function in $\psi$-space）**
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||||
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||||
$$\begin{equation} \label{FWRFOfULAInWavenumberDomain}
|
||||
\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) = e^{-j \frac{N-1}{2} \psi } \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n\psi}
|
||||
\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) = e^{-j \frac{N-1}{2} \psi } \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n\psi}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$\vec{\varUpsilon}(\omega,k_z)$ 和 $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 的定义域均为 $-\infty$ 到 $\infty$，但仅在区域 $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$（或 $-1 \leqslant u_z \leqslant 1$ ） 内代表传播的信号，即有 $-\displaystyle\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}$，这个区域称为**{% label primary @可视区域（visible region） %}**。
|
||||
$\boldsymbol{\varUpsilon}(\omega,k_z)$ 和 $\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 的定义域均为 $-\infty$ 到 $\infty$，但仅在区域 $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$（或 $-1 \leqslant u_z \leqslant 1$ ） 内代表传播的信号，即有 $-\displaystyle\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}$，这个区域称为**{% label primary @可视区域（visible region） %}**。
|
||||
|
||||
  可以观察到，若定义
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@@ -102,13 +102,13 @@ $$\begin{equation}
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||||
\end{equation}$$
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||||
$$\begin{equation} \label{FWRFOfULAInZDomain}
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||||
\vec{\varUpsilon}_z(z) = z^{- \frac{N-1}{2}} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast z^{n}
|
||||
\boldsymbol{\varUpsilon}_z(z) = z^{- \frac{N-1}{2}} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast z^{n}
|
||||
\end{equation}$$
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||||
则式 $\eqref{FWRFOfULAInZDomain}$ 可以写成
|
||||
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||||
$$\begin{equation}
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||||
\vec{\varUpsilon}_z(z) = z^{- \frac{N-1}{2}} \left(\sum_{n=0}^{N-1} w_n z^{-n}\right)^\ast
|
||||
\boldsymbol{\varUpsilon}_z(z) = z^{- \frac{N-1}{2}} \left(\sum_{n=0}^{N-1} w_n z^{-n}\right)^\ast
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中
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||||
@@ -120,7 +120,7 @@ $$\begin{equation}
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||||
和 $z$ 变换的形式相似，且
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||||
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$$\begin{equation} \label{FWRFOfULAInZDomainToWavenumberDomain}
|
||||
\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) = \left. \vec{\varUpsilon}_z(z) \right|_{z=e^{j\psi}} = \left.\left(z^{- \frac{N-1}{2}} W^\ast(z)\right)\right|_{z=e^{j\psi}}
|
||||
\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) = \left. \boldsymbol{\varUpsilon}_z(z) \right|_{z=e^{j\psi}} = \left.\left(z^{- \frac{N-1}{2}} W^\ast(z)\right)\right|_{z=e^{j\psi}}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
是在 $\psi$ 空间的频率-波数响应。我们在后面将利用这个关系。
|
||||
@@ -130,27 +130,27 @@ $$\begin{equation} \label{FWRFOfULAInZDomainToWavenumberDomain}
|
||||
  在 $\theta$ 和 $u$ 空间定义出阵列流形也是有用的
|
||||
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$$\begin{equation}
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||||
\left[ \vec{v}_\theta(\theta) \right] = e^{j\left( n - \frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta}, \, n = 0,\cdots, N-1
|
||||
\left[ \boldsymbol{v}_\theta(\theta) \right] = e^{j\left( n - \frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta}, \, n = 0,\cdots, N-1
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\left[ \vec{v}_u(u) \right] = e^{j\left( n - \frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} u}, \, n = 0,\cdots, N-1
|
||||
\left[ \boldsymbol{v}_u(u) \right] = e^{j\left( n - \frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} u}, \, n = 0,\cdots, N-1
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
也可以用三种形式写出波束方向图。频率-波数函数和波束方向图的关键区别是波束方向图的参量受限于实际的物理角度 $\theta$，所以，
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||||
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||||
$$\begin{equation}
|
||||
B_\theta(\theta) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_\theta(\theta) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta}, \, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi
|
||||
B_\theta(\theta) = \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_\theta(\theta) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta}, \, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
<a id="BeamPatternInDirectionCosineDomain"></a>
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
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||||
B_u(u) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_u(u) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} u} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \frac{2\pi d}{\lambda} u}, \, -1 \leqslant u \leqslant 1
|
||||
B_u(u) = \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_u(u) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} u} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \frac{2\pi d}{\lambda} u}, \, -1 \leqslant u \leqslant 1
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{BeamPatternInWavenumberDomain}
|
||||
B_\psi(\psi) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_\psi(\psi) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \psi} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \psi}, \, -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}
|
||||
B_\psi(\psi) = \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_\psi(\psi) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \psi} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \psi}, \, -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
当函数的变量很清楚时，我们将省略掉 $B(\,\cdot\,)$ 中的下标。
|
||||
@@ -160,11 +160,11 @@ $$\begin{equation} \label{BeamPatternInWavenumberDomain}
|
||||
  对于均匀线阵，通常用 $\psi$ 表示阵列流形
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\left[ \vec{v}_\psi(\psi) \right]_n = e^{j\left( n - \frac{N-1}{2} \right)\psi}, \, n = 0, 1, \cdots, N-1
|
||||
\left[ \boldsymbol{v}_\psi(\psi) \right]_n = e^{j\left( n - \frac{N-1}{2} \right)\psi}, \, n = 0, 1, \cdots, N-1
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{ManifoldVecOfULAWithConjugateSymmetry}
|
||||
\boxed{\vec{v}_\psi(\psi) = \left[ \begin{array}{c}
|
||||
\boxed{\boldsymbol{v}_\psi(\psi) = \left[ \begin{array}{c}
|
||||
e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right)\psi} &
|
||||
e^{-j\left(\frac{N-3}{2} \right)\psi} &
|
||||
\cdots &
|
||||
@@ -178,12 +178,12 @@ $$\begin{equation} \label{ManifoldVecOfULAWithConjugateSymmetry}
|
||||
{% tabs 阵列流形矢量具有共扼对称性 %}
|
||||
<!-- tab $N$ 为偶数-->
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||||
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||||
当 $N$ 为偶数时，如果定义一个 $N/2$ 维的矢量 $\vec{v}_{\psi_1}(\psi)$，对应 $\vec{v}_\psi(\psi)$ 的前 $N/2$ 个元素，则有
|
||||
当 $N$ 为偶数时，如果定义一个 $N/2$ 维的矢量 $\boldsymbol{v}_{\psi_1}(\psi)$，对应 $\boldsymbol{v}_\psi(\psi)$ 的前 $N/2$ 个元素，则有
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\vec{v}_\psi(\psi) = \left[ \begin{array}{c}
|
||||
\vec{v}_{\psi_1}(\psi) \\
|
||||
\vec{J}\vec{v}_{\psi_1}^\ast(\psi)
|
||||
\boldsymbol{v}_\psi(\psi) = \left[ \begin{array}{c}
|
||||
\boldsymbol{v}_{\psi_1}(\psi) \\
|
||||
\boldsymbol{J}\boldsymbol{v}_{\psi_1}^\ast(\psi)
|
||||
\end{array} \right]
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
@@ -191,13 +191,13 @@ $$\begin{equation}
|
||||
|
||||
<!-- tab $N$ 为奇数-->
|
||||
|
||||
当 $N$ 为奇数时，如果定义一个 $(N-1)/2$ 维的矢量 $\vec{v}_{\psi_1}(\psi)$，对应 $\vec{v}_\psi(\psi)$ 的前 $(N-1)/2$ 个元素，则有
|
||||
当 $N$ 为奇数时，如果定义一个 $(N-1)/2$ 维的矢量 $\boldsymbol{v}_{\psi_1}(\psi)$，对应 $\boldsymbol{v}_\psi(\psi)$ 的前 $(N-1)/2$ 个元素，则有
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\vec{v}_\psi(\psi) = \left[ \begin{array}{c}
|
||||
\vec{v}_{\psi_1}(\psi) \\
|
||||
\boldsymbol{v}_\psi(\psi) = \left[ \begin{array}{c}
|
||||
\boldsymbol{v}_{\psi_1}(\psi) \\
|
||||
1 \\
|
||||
\vec{J}\vec{v}_{\psi_1}^\ast(\psi)
|
||||
\boldsymbol{J}\boldsymbol{v}_{\psi_1}^\ast(\psi)
|
||||
\end{array} \right]
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
@@ -205,10 +205,10 @@ $$\begin{equation}
|
||||
|
||||
{% endtabs %}
|
||||
|
||||
其中交换矩阵（exchange matrix） $\vec{J}$
|
||||
其中交换矩阵（exchange matrix） $\boldsymbol{J}$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\vec{J} = \left[ \begin{array}{c}
|
||||
\boldsymbol{J} = \left[ \begin{array}{c}
|
||||
0 & 0 & \cdots & 1 \\
|
||||
\vdots & \vdots & & \vdots \\
|
||||
0 & 1 & \cdots & 0 \\
|
||||
@@ -216,12 +216,12 @@ $$\begin{equation}
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\end{array} \right]
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\end{equation}$$
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在很多应用中，这种共轭对称性可以用于节省运算量和改进性能。例如，如果 $\vec{w}$ 也是共枙对称的，则当 $N$ 为偶数时，可以写成
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在很多应用中，这种共轭对称性可以用于节省运算量和改进性能。例如，如果 $\boldsymbol{w}$ 也是共枙对称的，则当 $N$ 为偶数时，可以写成
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$$\begin{equation} \label{ConjugateSymmetry}
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||||
\vec{w} = \left[ \begin{array}{c}
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||||
\vec{w}_1 \\
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||||
\vec{J}\vec{w}_1
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||||
\boldsymbol{w} = \left[ \begin{array}{c}
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||||
\boldsymbol{w}_1 \\
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||||
\boldsymbol{J}\boldsymbol{w}_1
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\end{array} \right]
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\end{equation}$$
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@@ -229,19 +229,19 @@ $$\begin{equation} \label{ConjugateSymmetry}
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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B_\psi(\psi) &= \vec{w}^\mathrm{H}\vec{v}_\psi(\psi) \\
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||||
&= \left[\begin{array}{c}\vec{w_1}^\mathrm{H} & \vec{w_1}^\mathrm{T}\vec{J}\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}\vec{v}_{\psi_1}(\psi) \\ \vec{J}\vec{v}_{\psi_1}^\ast(\psi)\end{array}\right] \\
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||||
&= \vec{w}_1^\mathrm{H} \vec{v}_{\psi_1}(\psi) + \vec{w_1}^\mathrm{T}\vec{v}_{\psi_1}^\ast(\psi) \\
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&= 2 \Re\left[ \vec{w}_1^\mathrm{H} \vec{v}_{\psi_1}(\psi) \right]
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||||
B_\psi(\psi) &= \boldsymbol{w}^\mathrm{H}\boldsymbol{v}_\psi(\psi) \\
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||||
&= \left[\begin{array}{c}\boldsymbol{w_1}^\mathrm{H} & \boldsymbol{w_1}^\mathrm{T}\boldsymbol{J}\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}\boldsymbol{v}_{\psi_1}(\psi) \\ \boldsymbol{J}\boldsymbol{v}_{\psi_1}^\ast(\psi)\end{array}\right] \\
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||||
&= \boldsymbol{w}_1^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_{\psi_1}(\psi) + \boldsymbol{w_1}^\mathrm{T}\boldsymbol{v}_{\psi_1}^\ast(\psi) \\
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||||
&= 2 \Re\left[ \boldsymbol{w}_1^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_{\psi_1}(\psi) \right]
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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所以波束方向图是一个实函数。注意到，实对称的权矢量同样能够满足式 $\eqref{ConjugateSymmetry}$；当 $N$ 为奇数时，也有类似的结果。我们将发现很多其他的阵列结构也具有共枙对称性质。
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  式 $\eqref{ManifoldVecOfULAWithConjugateSymmetry}$ 强调了 $\vec{v}_\psi(\psi)$ 的共枙对称性质。也可以把 $\vec{v}_\psi(\psi)$ 写成
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  式 $\eqref{ManifoldVecOfULAWithConjugateSymmetry}$ 强调了 $\boldsymbol{v}_\psi(\psi)$ 的共枙对称性质。也可以把 $\boldsymbol{v}_\psi(\psi)$ 写成
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$$\begin{equation}
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\vec{v}_\psi(\psi) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right)\psi} \left[ \begin{array}{c}
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\boldsymbol{v}_\psi(\psi) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right)\psi} \left[ \begin{array}{c}
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1 &
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e^{j\psi} &
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\cdots &
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@@ -249,52 +249,52 @@ $$\begin{equation}
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\end{array} \right]^\mathrm{T}
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\end{equation}$$
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这个形式强调了 $\vec{v}_\psi(\psi)$ 的 Vandermonde 结构。
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这个形式强调了 $\boldsymbol{v}_\psi(\psi)$ 的 Vandermonde 结构。
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# 从波束方向图获得权矢量
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  下面讨论如何从特定的方向图 $B_\psi(\psi)$ 中获得权矢量 $\vec{w}$，我们从式 $\eqref{BeamPatternInWavenumberDomain}$ 中的关系开始
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  下面讨论如何从特定的方向图 $B_\psi(\psi)$ 中获得权矢量 $\boldsymbol{w}$，我们从式 $\eqref{BeamPatternInWavenumberDomain}$ 中的关系开始
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$$\begin{equation} \label{ShortBeamPatternInWavenumberDomain}
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B_\psi(\psi) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_\psi(\psi)
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B_\psi(\psi) = \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_\psi(\psi)
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\end{equation}$$
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假设 $B_\psi(\psi)$ 是已知的，我们想确定产生这个 $B_\psi(\psi)$ 的 $\vec{w}$。由于 $\vec{w}^\mathrm{H}$ 是一个 $1 \times N$ 维的矢量，因此如果知道 $B_\psi(\psi)$ 在 $N$ 个 $\psi$ 值上的值，就可以确定 $\vec{w}$。
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假设 $B_\psi(\psi)$ 是已知的，我们想确定产生这个 $B_\psi(\psi)$ 的 $\boldsymbol{w}$。由于 $\boldsymbol{w}^\mathrm{H}$ 是一个 $1 \times N$ 维的矢量，因此如果知道 $B_\psi(\psi)$ 在 $N$ 个 $\psi$ 值上的值，就可以确定 $\boldsymbol{w}$。
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  对波束方向图在 $N$ 个 $\psi_i$ 上进行采样，这里要求 $\psi_i$ 必须是不同的，但不一定是等距的，记采样点处的波束方向图的值为 $B(\psi_i)$。根据式 $\eqref{ShortBeamPatternInWavenumberDomain}$，有
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$$\begin{equation} \label{ElementOfShortBeamPatternInWavenumberDomain}
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\vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}(\psi_i) = B(\psi_i), \, i = 1, \cdots, N
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||||
\boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{v}(\psi_i) = B(\psi_i), \, i = 1, \cdots, N
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\end{equation}$$
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定义一个 $N \times N$ 维的阵列流形矩阵
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$$\begin{equation}
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||||
\vec{V}(\psi) \triangleq \left[ \begin{array}{c}\vec{v}(\psi_1) & \cdots & \vec{v}(\psi_N)\end{array}\right]
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||||
\boldsymbol{V}(\psi) \triangleq \left[ \begin{array}{c}\boldsymbol{v}(\psi_1) & \cdots & \boldsymbol{v}(\psi_N)\end{array}\right]
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\end{equation}$$
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||||
和一个 $1 \times N$ 维的波束方向图矩阵
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$$\begin{equation}
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\vec{B} \triangleq \left[ \begin{array}{c}B(\psi_1) & \cdots & B(\psi_N)\end{array}\right]
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||||
\boldsymbol{B} \triangleq \left[ \begin{array}{c}B(\psi_1) & \cdots & B(\psi_N)\end{array}\right]
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\end{equation}$$
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则式 $\eqref{ElementOfShortBeamPatternInWavenumberDomain}$ 可以写成
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$$\begin{matrix}
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\vec{w}^\mathrm{H} \vec{V}(\psi) = \vec{B}
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\boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{V}(\psi) = \boldsymbol{B}
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\end{matrix}$$
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或
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$$\begin{matrix}
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\vec{V}^\mathrm{H}(\psi) \vec{w} = \vec{B}^\mathrm{H}
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\boldsymbol{V}^\mathrm{H}(\psi) \boldsymbol{w} = \boldsymbol{B}^\mathrm{H}
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\end{matrix}$$
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由于 $\vec{V}^\mathrm{H}(\psi)$ 是满秩的，所以
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由于 $\boldsymbol{V}^\mathrm{H}(\psi)$ 是满秩的，所以
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$$\begin{equation} \label{WeightVecCalculation}
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||||
\boxed{\vec{w} = \left[ \vec{V}^\mathrm{H}(\psi) \right]^{-1}\vec{B}^\mathrm{H}}
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\boxed{\boldsymbol{w} = \left[ \boldsymbol{V}^\mathrm{H}(\psi) \right]^{-1}\boldsymbol{B}^\mathrm{H}}
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||||
\end{equation}$$
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尽管 $\psi_i$ 可以任意选择，但如果它们相距太近，那么阵列流形矢量将接近于线性相关，在式 $\eqref{WeightVecCalculation}$ 中的求逆可能会有数值计算的问题。如果采用均匀间距 $2\pi/N$，那么后续将会推导一个高效的权值计算算法。
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@@ -308,20 +308,20 @@ $$\begin{equation}
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||||
且 $\psi_2, \psi_3, \cdots, \psi_N$ 对应于零点的位置。假设期望方向的信号无失真通过，其他方向的信号全部抑制，则预期的归一化波束方向图为：
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$$\begin{matrix}
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\vec{B} = \left[ \begin{array}{c} 1 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right] = \vec{e}_1^\mathrm{T}
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||||
\boldsymbol{B} = \left[ \begin{array}{c} 1 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right] = \boldsymbol{e}_1^\mathrm{T}
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\end{matrix}$$
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则式 $\eqref{WeightVecCalculation}$ 简化为
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$$\begin{equation} \label{WeightVecCalculationWithAllZeroExceptMainAxis}
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\boxed{\vec{w} = \left[ \vec{V}^\mathrm{H}(\psi) \right]^{-1}\vec{e}_1}
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||||
\boxed{\boldsymbol{w} = \left[ \boldsymbol{V}^\mathrm{H}(\psi) \right]^{-1}\boldsymbol{e}_1}
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\end{equation}$$
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后续将发现这些算法是非常有用的。
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在式 $\eqref{WeightVecCalculation}$ 和式 $\eqref{WeightVecCalculationWithAllZeroExceptMainAxis}$ 中有两点需要强调：
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1. 上述讨论已经假设 $B_\psi(\psi)$ 在式 $\eqref{ShortBeamPatternInWavenumberDomain}$ 中进行了定义，是由一个 $N \times 1$ 维复矢量 $\vec{w}$ 产生的。如果 $B_\psi(\psi)$ 是任意函数，且使用式 $\eqref{WeightVecCalculation}$，那么将产生一个方向图，和 $B(\psi_i), i = 1,\cdots,N$ 相匹配，但不一定和函数 $B_\psi(\psi)$ 相匹配。
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||||
1. 上述讨论已经假设 $B_\psi(\psi)$ 在式 $\eqref{ShortBeamPatternInWavenumberDomain}$ 中进行了定义，是由一个 $N \times 1$ 维复矢量 $\boldsymbol{w}$ 产生的。如果 $B_\psi(\psi)$ 是任意函数，且使用式 $\eqref{WeightVecCalculation}$，那么将产生一个方向图，和 $B(\psi_i), i = 1,\cdots,N$ 相匹配，但不一定和函数 $B_\psi(\psi)$ 相匹配。
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2. 我们是在一个均匀线阵的背景下介绍这个结果的。但是，这个推导过程适用于任意结构的 $N$ 阵元阵列。
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@@ -34,14 +34,14 @@ $$\begin{equation}
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation}
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||||
\vec{w} = \frac{1}{N} \vec{1}
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\boldsymbol{w} = \frac{1}{N} \boldsymbol{1}
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\end{equation}$$
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||||
其中 $\vec{1}$ 是 $N \times 1$ 维的单位矢量，则在 $\psi$ 空间的频率-波数响应函数可以写成（利用等比级数的求和公式）
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其中 $\boldsymbol{1}$ 是 $N \times 1$ 维的单位矢量，则在 $\psi$ 空间的频率-波数响应函数可以写成（利用等比级数的求和公式）
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$$\begin{equation}
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||||
\begin{aligned}
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||||
\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \left(n - \frac{N-1}{2}\right)\psi} \\
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||||
\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \left(n - \frac{N-1}{2}\right)\psi} \\
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||||
&= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j n \psi} \\
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||||
&= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \left[ \frac{1-e^{jN\psi}}{1-e^{j\psi}} \right]
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\end{aligned}
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@@ -50,40 +50,40 @@ $$\begin{equation}
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或（利用欧拉公式）
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$$\begin{equation}
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\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N \frac{\psi}{2} \right)}{\sin\frac{\psi}{2}}
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||||
\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N \frac{\psi}{2} \right)}{\sin\frac{\psi}{2}}
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\end{equation}$$
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<!-- more -->
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可以观察到：
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- 当 $N$ 是奇数时，$\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是周期函数，周期为 $2\pi$；
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- 当 $N$ 是奇数时，$\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是周期函数，周期为 $2\pi$；
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- 当 $N$ 为偶数时，波瓣在 $\pm 2 \pi$、$\pm 6 \pi$ 处的值为负值，周期为 $4 \pi$；
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||||
- 对任意的 $N$，$\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$ 的周期为 $2 \pi$。
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||||
- 对任意的 $N$，$\left|\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$ 的周期为 $2 \pi$。
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当 $N = 11$ 时， $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 和 $\psi$ 的关系在[图 1-3-1](#fig.1-3-1) 中给出。[图 1-3-2](#fig.1-3-2) 给出了 $\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$，单位为 dB，其中
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当 $N = 11$ 时， $\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 和 $\psi$ 的关系在[图 1-3-1](#fig.1-3-1) 中给出。[图 1-3-2](#fig.1-3-2) 给出了 $\left|\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$，单位为 dB，其中
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$$\begin{equation}
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||||
\vec{\varUpsilon}_\mathrm{dB}(\psi) = 10 \log_{10} \left|\vec{\varUpsilon}(\psi)\right|^2
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\boldsymbol{\varUpsilon}_\mathrm{dB}(\psi) = 10 \log_{10} \left|\boldsymbol{\varUpsilon}(\psi)\right|^2
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\end{equation}$$
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<a id="fig.1-3-1"></a>
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{width=1000px}
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{width=1000px}
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<a id="fig.1-3-2"></a>
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{width=1000px}
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{width=1000px}
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||||
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||||
若不指定 $\vec{w}$ 的类型，则 $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是复数，所以相位也应该画出来。但是，均匀加权线阵具有对称性，因此得到的频率-波数响应是实函数。
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若不指定 $\boldsymbol{w}$ 的类型，则 $\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是复数，所以相位也应该画出来。但是，均匀加权线阵具有对称性，因此得到的频率-波数响应是实函数。
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  也可以用 $k_z$ 来表示频率-波数响应
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$$\begin{equation}
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||||
\vec{\varUpsilon}(\omega:k_z) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N k_z \frac{d}{2} \right)}{\sin \left(k_z\frac{d}{2}\right)}
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||||
\boldsymbol{\varUpsilon}(\omega:k_z) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N k_z \frac{d}{2} \right)}{\sin \left(k_z\frac{d}{2}\right)}
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||||
\end{equation}$$
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||||
这里 $\vec{\varUpsilon}(\omega:k_z)$ 是周期函数，周期为 $2\pi/d$。
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这里 $\boldsymbol{\varUpsilon}(\omega:k_z)$ 是周期函数，周期为 $2\pi/d$。
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{% note warning %}
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@@ -123,7 +123,7 @@ $$\begin{equation}
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<a id="fig.1-3-4"></a>
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{width=1000px}
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{width=1000px}
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{% note info %}
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@@ -295,7 +295,7 @@ $$\begin{equation}
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{width=1000px}
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  在[图 1-3-6](#fig.1-3-6) 中，针对多种 $d/\lambda$ 的值，画出了 $\left| \vec{\varUpsilon}_u(u) \right|$。图中说明了“栅瓣”这个重要的概念，即和主波束一样高的波瓣。栅瓣发生在当波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子和分母均为零的时候。栅瓣出现的间隔为
|
||||
  在[图 1-3-6](#fig.1-3-6) 中，针对多种 $d/\lambda$ 的值，画出了 $\left| \boldsymbol{\varUpsilon}_u(u) \right|$。图中说明了“栅瓣”这个重要的概念，即和主波束一样高的波瓣。栅瓣发生在当波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子和分母均为零的时候。栅瓣出现的间隔为
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||||
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$$\begin{equation}
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||||
\frac{\psi}{2} = m \cdot \pi
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||||
@@ -315,7 +315,7 @@ $$\begin{equation}
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  如果阵列的间距大于 $\lambda$，则栅瓣的峰值出现在信号传播区域以内，即在 $\left| u \right| \leqslant 1$ 的区域以内。这里就会出现峰值响应模糊的问题，只有当我们对信号的入射方向有先验信息的时候，才可能解决这个问题。
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||||
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||||
  下一节将讨论阵列调向的问题，阵列调向使得在 $u$ 空间的频率-波数响应函数 $\left| \vec{\varUpsilon}_u(u) \right|$ 发生平移，这种平移导致栅瓣进入了可视区域以内。我们发现，如果阵列需要的调向范围为 $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 180^\circ$ 则需要
|
||||
  下一节将讨论阵列调向的问题，阵列调向使得在 $u$ 空间的频率-波数响应函数 $\left| \boldsymbol{\varUpsilon}_u(u) \right|$ 发生平移，这种平移导致栅瓣进入了可视区域以内。我们发现，如果阵列需要的调向范围为 $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 180^\circ$ 则需要
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||||
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||||
$$\begin{equation}
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||||
\frac{d}{\lambda} \leqslant \frac{1}{2}
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@@ -42,43 +42,43 @@ date: 2023-04-22 18:17:52
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  [1.2 节][]开头的简单例子说明了把阵列调向某个特定方向的主要思想，调向在波数空间的影响是很直接的。考虑[图 1-4-1](#fig.1-4-1) 中的处理器，输入到调向环节的基函数为
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||||
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||||
$$\begin{equation}
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||||
f\left( t, \vec{p}\right) = e^{j\omega t} \vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)
|
||||
f\left( t, \boldsymbol{p}\right) = e^{j\omega t} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right)
|
||||
\end{equation}$$
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我们希望当波数等于“目标”的波数时，即
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$$\begin{equation}
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||||
\vec{k} = \vec{k}_\mathrm{T}
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||||
\boldsymbol{k} = \boldsymbol{k}_\mathrm{T}
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||||
\end{equation}$$
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||||
输出是对齐的。我们把 $\vec{k}_\mathrm{T}$ 称为**{% label primary @所调方向（steering direction） %}**或在 $k$ 空间的**{% label primary @主响应轴（main response axis） %}**。可以使用一个 $N \times N$ 的对角调向矩阵（diagonal steering matrix）来完成这个操作
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||||
输出是对齐的。我们把 $\boldsymbol{k}_\mathrm{T}$ 称为**{% label primary @所调方向（steering direction） %}**或在 $k$ 空间的**{% label primary @主响应轴（main response axis） %}**。可以使用一个 $N \times N$ 的对角调向矩阵（diagonal steering matrix）来完成这个操作
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||||
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<a id="DiagonalSteeringMatrix"></a>
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||||
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||||
$$\begin{equation}
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||||
\vec{I}_\mathrm{s}\left(\vec{k}_\mathrm{T}\right) = \left[ \begin{matrix}
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||||
e^{j \vec{k}^\mathrm{T}_\mathrm{T}\vec{p}_1} & 0 & \cdots & 0 \\
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||||
0 & e^{j \vec{k}^\mathrm{T}_\mathrm{T}\vec{p}_2} & \cdots & 0 \\
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||||
\boldsymbol{I}_\mathrm{s}\left(\boldsymbol{k}_\mathrm{T}\right) = \left[ \begin{matrix}
|
||||
e^{j \boldsymbol{k}^\mathrm{T}_\mathrm{T}\boldsymbol{p}_1} & 0 & \cdots & 0 \\
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||||
0 & e^{j \boldsymbol{k}^\mathrm{T}_\mathrm{T}\boldsymbol{p}_2} & \cdots & 0 \\
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||||
\vdots & \vdots & & \vdots \\
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||||
0 & 0 & \cdots & e^{j \vec{k}^\mathrm{T}_\mathrm{T}\vec{p}_N}
|
||||
0 & 0 & \cdots & e^{j \boldsymbol{k}^\mathrm{T}_\mathrm{T}\boldsymbol{p}_N}
|
||||
\end{matrix} \right]
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||||
\end{equation}$$
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||||
得到的输出为
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$$\begin{equation}
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||||
f_\mathrm{s}\left( t, \vec{p}\right) = e^{j\omega t} \vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k} - \vec{k}_\mathrm{T}\right)
|
||||
f_\mathrm{s}\left( t, \boldsymbol{p}\right) = e^{j\omega t} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}_\mathrm{T}\right)
|
||||
\end{equation}$$
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||||
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||||
总的频率-波数响应为
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$$\begin{equation}
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||||
\vec{\varUpsilon} \left(\left. \omega, \vec{k} \right| \vec{k}_\mathrm{T} \right) = \vec{\varUpsilon} \left( \omega, \vec{k} - \vec{k}_\mathrm{T} \right)
|
||||
\boldsymbol{\varUpsilon} \left(\left. \omega, \boldsymbol{k} \right| \boldsymbol{k}_\mathrm{T} \right) = \boldsymbol{\varUpsilon} \left( \omega, \boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}_\mathrm{T} \right)
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||||
\end{equation}$$
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{% note info %}
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||||
阵列的响应函数仅是简单地平移到 $\vec{k}_\mathrm{T}$ 的位置，这是利用波数空间来解释阵列响应函数的好处之一。如果在波数空间考虑波束方向图，也会得到一个简单的平移关系。
|
||||
阵列的响应函数仅是简单地平移到 $\boldsymbol{k}_\mathrm{T}$ 的位置，这是利用波数空间来解释阵列响应函数的好处之一。如果在波数空间考虑波束方向图，也会得到一个简单的平移关系。
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||||
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||||
{% endnote %}
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||||
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||||
@@ -87,27 +87,27 @@ $$\begin{equation}
|
||||
  当采用均匀幅度加权时，在[图 1-4-1](#fig.1-4-1) 中的两步的过程是不必要的。令
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||||
$$\begin{equation}
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||||
\vec{w} = \frac{1}{N} \vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}_\mathrm{T}\right)
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||||
\boldsymbol{w} = \frac{1}{N} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}_\mathrm{T}\right)
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\end{equation}$$
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则有
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$$\begin{equation}
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B_\mathrm{c} \left( \vec{k}, \vec{k}_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \vec{v}_{\vec{k}}^\mathrm{H} \left(\vec{k}_\mathrm{T}\right) \vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)
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||||
B_\mathrm{c} \left( \boldsymbol{k}, \boldsymbol{k}_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}^\mathrm{H} \left(\boldsymbol{k}_\mathrm{T}\right) \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}\left(\boldsymbol{k}\right)
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\end{equation}$$
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称 $B_c \left( \vec{k}, \vec{k}_\mathrm{T} \right)$ 为**{% label primary @常规波束方向图（conventional beam pattern） %}**。我们将发现常规波束方向图是后面要讨论的很多最优处理内容的基础。
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称 $B_c \left( \boldsymbol{k}, \boldsymbol{k}_\mathrm{T} \right)$ 为**{% label primary @常规波束方向图（conventional beam pattern） %}**。我们将发现常规波束方向图是后面要讨论的很多最优处理内容的基础。
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# 均匀线性阵列的调向
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  线性阵列的常规波束方向图为
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$$\begin{equation}
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B_{\psi\mathrm{c}}\left( \psi : \psi_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \vec{v}_\psi^\mathrm{H} \left(\psi_\mathrm{T}\right) \vec{v}_\psi\left(\psi\right)
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B_{\psi\mathrm{c}}\left( \psi : \psi_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \boldsymbol{v}_\psi^\mathrm{H} \left(\psi_\mathrm{T}\right) \boldsymbol{v}_\psi\left(\psi\right)
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation}
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B_{u\mathrm{c}}\left( u : u_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \vec{v}_u^\mathrm{H} \left(u_\mathrm{T}\right) \vec{v}_u\left(u\right)
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||||
B_{u\mathrm{c}}\left( u : u_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \boldsymbol{v}_u^\mathrm{H} \left(u_\mathrm{T}\right) \boldsymbol{v}_u\left(u\right)
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\end{equation}$$
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对于均匀线性阵列（阵元间距相同），有
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@@ -100,25 +100,25 @@ $$\begin{equation} \label{ElementOfSincMatrix}
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[对角调向矩阵][] 在 $u$ 空间的表示形式为
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$$\begin{equation}
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\vec{I}_{\mathrm{s}u} = \mathrm{diag}\left( 1, e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}u_\mathrm{T}} , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda} 2u_\mathrm{T}}, \cdots, , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}(N-1)u_\mathrm{T}} \right)
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||||
\boldsymbol{I}_{\mathrm{s}u} = \mathrm{diag}\left( 1, e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}u_\mathrm{T}} , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda} 2u_\mathrm{T}}, \cdots, , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}(N-1)u_\mathrm{T}} \right)
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\end{equation}$$
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则
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$$\begin{equation}
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D = \vec{I}_{\mathrm{s}u} \vec{w}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w} \vec{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
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||||
D = \boldsymbol{I}_{\mathrm{s}u} \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \boldsymbol{w} \boldsymbol{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
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\end{equation}$$
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通常，调向运算在权值矢量中包含[^1]
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$$\begin{equation}
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\vec{w}_\mathrm{s} = \vec{w}\vec{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
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\boldsymbol{w}_\mathrm{s} = \boldsymbol{w}\boldsymbol{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H}
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\end{equation}$$
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则
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$$\begin{equation}
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D = \vec{w}_\mathrm{s}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w}_\mathrm{s}
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||||
D = \boldsymbol{w}_\mathrm{s}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \boldsymbol{w}_\mathrm{s}
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\end{equation}$$
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## 标准线阵的情况
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@@ -132,16 +132,16 @@ $$\begin{equation} \label{IntermediateResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceO
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当 $m = n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 1，当 $m \ne n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 0。所以式 $\eqref{IntermediateResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 简化为
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$$\begin{equation}
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D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 \right\} = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{-2} = \left\{ \left\| \vec{w} \right \|^2 \right\}^{-1}
|
||||
D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 \right\} = \left( \boldsymbol{w}^\mathrm{H}\boldsymbol{w} \right)^{-2} = \left\{ \left\| \boldsymbol{w} \right \|^2 \right\}^{-1}
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\end{equation}$$
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其中
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$$\begin{equation} \label{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}
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\left\| \vec{w} \right \| = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{\frac{1}{2}}
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\left\| \boldsymbol{w} \right \| = \left( \boldsymbol{w}^\mathrm{H}\boldsymbol{w} \right)^{\frac{1}{2}}
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\end{equation}$$
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是矢量 $\vec{w}$ 的 2-模。
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是矢量 $\boldsymbol{w}$ 的 2-模。
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  所以一个标准线阵的方向性是权值矢量幅度平方的倒数。方向性不依赖于阵列的指向。当阵列指向从阵列的正侧向移开时，波束变宽，但是 $\varphi$ 的积分范围减小了
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@@ -214,7 +214,7 @@ $$\begin{equation}
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可以把 $DI$ 写成
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$$\begin{equation}
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DI = 10 \log_{10} N + 10 \log_{10}(g(\vec{w}))
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DI = 10 \log_{10} N + 10 \log_{10}(g(\boldsymbol{w}))
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\end{equation}$$
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其中的第二项是权值的函数。对于任意的非均匀加权（$w_n \ne N^{-1}$），$DI$ 将会减小。
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@@ -240,7 +240,7 @@ $$\begin{equation} \label{InputSNRAtCertainFreq}
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  为了确定由信号和噪声产生的输出，我们需要一个用于描述输出谱的表达式，该式用波束形成器的权值和输入谱矩阵表示。根据[阵列输出的向量形式][]的表达式, 有
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$$\begin{equation} \label{ArrayOutput}
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y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}^\mathrm{T} (\tau) \vec{x}\left(t - \tau\right) \mathrm{d} \tau
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||||
y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{h}^\mathrm{T} (\tau) \boldsymbol{x}\left(t - \tau\right) \mathrm{d} \tau
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\end{equation}$$
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假设 $x(t)$ 是零均值宽平稳的。输出 $y(t)$ 的相关函数为
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@@ -258,46 +258,46 @@ $$\begin{equation} \label{SpectrumOfArrayOutput}
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根据式 $\eqref{ArrayOutput}$、$\eqref{CorrelationOfArrayOutput}$ 和 $\eqref{SpectrumOfArrayOutput}$，有
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$$\begin{equation}
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S_y (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega\tau} \, \mathrm{d} \tau \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}^\mathrm{T} (\alpha) \, \mathrm{d} \alpha \int_{-\infty}^{\infty} E \left[ \vec{x} (t-\alpha) \vec{x}^\mathrm{H} (t-\tau-\beta)\right] \vec{h}^\ast(\beta) \, \mathrm{d} \beta
|
||||
S_y (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega\tau} \, \mathrm{d} \tau \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{h}^\mathrm{T} (\alpha) \, \mathrm{d} \alpha \int_{-\infty}^{\infty} E \left[ \boldsymbol{x} (t-\alpha) \boldsymbol{x}^\mathrm{H} (t-\tau-\beta)\right] \boldsymbol{h}^\ast(\beta) \, \mathrm{d} \beta
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\end{equation}$$
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也即
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$$\begin{equation}
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S_y (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}^\mathrm{T} (\alpha) e^{-j\omega\alpha} \, \mathrm{d} \alpha \int_{-\infty}^{\infty} e^{-jk\omega z} \vec{R}_x (z) \, \mathrm{d} z \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega \beta} \vec{h}^\ast(\beta) \, \mathrm{d} \beta
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||||
S_y (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \boldsymbol{h}^\mathrm{T} (\alpha) e^{-j\omega\alpha} \, \mathrm{d} \alpha \int_{-\infty}^{\infty} e^{-jk\omega z} \boldsymbol{R}_x (z) \, \mathrm{d} z \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega \beta} \boldsymbol{h}^\ast(\beta) \, \mathrm{d} \beta
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\end{equation}$$
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可以进一步简化为
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$$\begin{equation} \label{SimplifiedSpectrumOfArrayOutput}
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S_y (\omega) = \vec{H}^\mathrm{T} (\omega) \vec{S}_x(\omega) \vec{H} ^\ast (\omega)
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||||
S_y (\omega) = \boldsymbol{H}^\mathrm{T} (\omega) \boldsymbol{S}_x(\omega) \boldsymbol{H} ^\ast (\omega)
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\end{equation}$$
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||||
对于窄带波束形成器，在式 $\eqref{SimplifiedSpectrumOfArrayOutput}$ 中利用[窄带假设下的复加权的表达式][]，可得到想要的结果：
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$$\begin{equation}
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S_y (\omega) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{S}_x(\omega) \vec{w}
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S_y (\omega) = \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{S}_x(\omega) \boldsymbol{w}
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\end{equation}$$
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为了计算由于信号而产生的输出，对 $\vec{w}$ 施加约束条件，
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为了计算由于信号而产生的输出，对 $\boldsymbol{w}$ 施加约束条件，
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$$\begin{equation} \label{DistortionlessConstraint}
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\vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) = 1
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\boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right) = 1
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\end{equation}$$
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在式 $\eqref{DistortionlessConstraint}$ 中的约束条件意味着从 $\vec{k}_\mathrm{s}$ 入射的任意信号将无畸变地通过波束形成器。我们把式 $\eqref{DistortionlessConstraint}$ 中的约束条件称为**{% label primary @无畸变约束（ distortionless constraint） %}**。在后续的讨论中这个条件经常使用。
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在式 $\eqref{DistortionlessConstraint}$ 中的约束条件意味着从 $\boldsymbol{k}_\mathrm{s}$ 入射的任意信号将无畸变地通过波束形成器。我们把式 $\eqref{DistortionlessConstraint}$ 中的约束条件称为**{% label primary @无畸变约束（ distortionless constraint） %}**。在后续的讨论中这个条件经常使用。
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  可以把输入信号谱写成
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$$\begin{equation} \label{SpectrumOfArrayInput}
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\vec{S}_{\vec{f}}(\omega) = \vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) S_f(\omega) \vec{v}_{\vec{k}}^\mathrm{H} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right)
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||||
\boldsymbol{S}_{\boldsymbol{f}}(\omega) = \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right) S_f(\omega) \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}^\mathrm{H} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right)
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\end{equation}$$
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将式 $\eqref{SpectrumOfArrayInput}$ 代入利用式 $\eqref{SimplifiedSpectrumOfArrayOutput}$，得到的输出信号谱为
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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S_{y_\mathrm{s}} &= \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) S_f (\omega) \vec{v}_{\vec{k}}^\mathrm{H} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) \vec{w} \\
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||||
S_{y_\mathrm{s}} &= \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right) S_f (\omega) \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}}^\mathrm{H} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right) \boldsymbol{w} \\
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||||
&= S_f(\omega)
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||||
\end{aligned}
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\end{equation}$$
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@@ -305,19 +305,19 @@ $$\begin{equation}
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由于噪声而产生的输出谱为
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$$\begin{equation}
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S_{y_\mathrm{n}} = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{S_{\vec{n}}} (\omega) \vec{w}
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||||
S_{y_\mathrm{n}} = \boldsymbol{w}^\mathrm{H} \boldsymbol{S_{\boldsymbol{n}}} (\omega) \boldsymbol{w}
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\end{equation}$$
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||||
其中 $\vec{S_{\vec{n}}} (\omega)$ 是输入噪声过程的谱矩阵。对于空域白噪声，且各传感器的噪声谱相同的特殊情况，有
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其中 $\boldsymbol{S_{\boldsymbol{n}}} (\omega)$ 是输入噪声过程的谱矩阵。对于空域白噪声，且各传感器的噪声谱相同的特殊情况，有
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$$\begin{equation}
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||||
S_{y_\mathrm{n}} = S_n (\omega) \vec{I}
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S_{y_\mathrm{n}} = S_n (\omega) \boldsymbol{I}
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\end{equation}$$
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和
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$$\begin{equation}
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S_{y_n} = \left\| \vec{w} \right\|^2 S_n(w) = \sum_{n=0}^{N-1} \left| \omega_n \right|^2 S_n(\omega)
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||||
S_{y_n} = \left\| \boldsymbol{w} \right\|^2 S_n(w) = \sum_{n=0}^{N-1} \left| \omega_n \right|^2 S_n(\omega)
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\end{equation}$$
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所以
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@@ -337,7 +337,7 @@ $$\begin{equation}
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或
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$$\begin{equation} \label{DefinitionOfArrayGain}
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A_w = \left( \sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{\left| \omega_n \right|^2} \right) ^{-1} = \left\| \vec{w} \right\| ^{-2}
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||||
A_w = \left( \sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{\left| \omega_n \right|^2} \right) ^{-1} = \left\| \boldsymbol{w} \right\| ^{-2}
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||||
\end{equation}$$
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对于式 $\eqref{DefinitionOfArrayGain}$，可以观察到下面三个有用的结果：
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@@ -345,7 +345,7 @@ $$\begin{equation} \label{DefinitionOfArrayGain}
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1. 只要满足
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$$\begin{equation}
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\left| \vec{w}^\mathrm{H}\vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) \right|^2 = 1
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\left| \boldsymbol{w}^\mathrm{H}\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{k}} \left( \boldsymbol{k}_\mathrm{s} \right) \right|^2 = 1
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\end{equation}$$
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这个结果就适用于任意的阵列结构。
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@@ -360,4 +360,4 @@ $$\begin{equation} \label{DefinitionOfArrayGain}
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[阵列输出的向量形式]: https://josh-gao.top/posts/8b61f5a7.html#VectorFormOfLinearArrayOutputInTimeDomain
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[窄带假设下的复加权的表达式]: https://josh-gao.top/posts/8b61f5a7.html#NarrowBandComplexWeightVector
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||||
[^1]: 在大多数情况下，我们去掉下标 “$s$”，因为假设 $\vec{w}$ 是包含调向的。
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||||
[^1]: 在大多数情况下，我们去掉下标 “$s$”，因为假设 $\boldsymbol{w}$ 是包含调向的。
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