josh-blog-source/source/_posts/2023-04-20-josh-oap-part-1-3.md

title, mathjax, comments, copyright, toc, tags, categories, abbrlink, date

title	mathjax	comments	copyright	toc	tags	categories	abbrlink	date
Josh's Notes: 最优阵列处理（Part 1.3 —— 均匀加权线阵）	true	true	true	enable number wrap expand_all max_depth true true true true 4	阵列信号处理 均匀加权线阵	Josh 的学习笔记 最优阵列处理 阵列和空域滤波器	aa32ec76	2023-04-20 19:34:47

  现在把注意力集中到均匀加权的情况，即

$$\begin{equation} w_n = \frac{1}{N}, , n = 0,1,\cdots,N-1 \end{equation}$$

$$\begin{equation} \vec{w} = \frac{1}{N} \vec{1} \end{equation}$$

其中 \vec{1} 是 N \times 1 维的单位矢量，则在 \psi 空间的频率-波数函数可以写成（利用等比级数的求和公式）

$$\begin{equation} \begin{aligned} \vec{\varUpsilon}\psi(\psi) &= \frac{1}{N} \sum{n=0}^{N-1} e^{j \left(n - \frac{N-1}{2}\right)\psi} \ &= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j n \psi} \ &= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \left[ \frac{1-e^{jN\psi}}{1-e^{j\psi}} \right] \end{aligned} \end{equation}$$

或（利用欧拉公式）

$$\begin{equation} \vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N \frac{\psi}{2} \right)}{\sin\frac{\psi}{2}} \end{equation}$$

观察到，

• 当 N 是奇数时，\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) 是周期函数，周期为 $2\pi$；
• 当 N 为偶数时，波瓣在 $\pm 2 \pi$、\pm 6 \pi 处的值为负值，周期为 $4 \pi$；
• 对任意的 $N$，\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right| 的周期为 $2 \pi$。

当 N = 11 时， \vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) 和 \psi 的关系在图 1-3-1 中给出。图 1-3-2 给出了 $\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$，单位为 dB, 其中

$$\begin{equation} \vec{\varUpsilon}\mathrm{dB}(\psi) = 10 \log{10} \left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|^2 \end{equation}$$

{width=700px}

{width=700px}

若不指定 \vec{w} 的类型, 则 \vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) 是复数，所以相位也应该画出来。但是，均匀加权线阵具有对称性，因此得到的频率-波数响应是实函数。

  也可以用 k_z 来表示频率-波数响应

$$\begin{equation} \vec{\varUpsilon}(\omega:k_z) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N k_z \frac{d}{2} \right)}{\sin \left(k_z\frac{d}{2}\right)} \end{equation}$$

这里 \vec{\varUpsilon}(\omega:k_z) 是周期函数，周期为 $2\pi/d$。

注意，响应函数仅依赖于波数分量 k_z, 是 k_z 的周期函数，间隔为 $2\pi/d$，这是线性阵列的一维特性导致的，所以该阵列仅能分析在 k_z 方向上投影的波数分量。