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title: 'Josh''s Notes: 最优阵列处理（Part 1.3 —— 均匀加权线阵）'
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- 阵列信号处理
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- 均匀加权线阵
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categories:
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- - Josh 的学习笔记
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- 最优阵列处理
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- 阵列和空域滤波器
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abbrlink: aa32ec76
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date: 2023-04-20 19:34:47
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  现在把注意力集中到均匀加权的情况，即
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$$\begin{equation}
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w_n = \frac{1}{N}, \, n = 0,1,\cdots,N-1
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation}
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\vec{w} = \frac{1}{N} \vec{1}
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\end{equation}$$
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其中 $\vec{1}$ 是 $N \times 1$ 维的单位矢量，则在 $\psi$ 空间的频率-波数函数可以写成（利用等比级数的求和公式）
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \left(n - \frac{N-1}{2}\right)\psi} \\
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&= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j n \psi} \\
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&= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \left[ \frac{1-e^{jN\psi}}{1-e^{j\psi}} \right]
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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或（利用欧拉公式）
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$$\begin{equation}
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\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N \frac{\psi}{2} \right)}{\sin\frac{\psi}{2}}
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\end{equation}$$
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<!-- more -->
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观察到，
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- 当 $N$ 是奇数时，$\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是周期函数，周期为 $2\pi$；
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- 当 $N$ 为偶数时，波瓣在 $\pm 2 \pi$、$\pm 6 \pi$ 处的值为负值，周期为 $4 \pi$；
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- 对任意的 $N$，$\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$ 的周期为 $2 \pi$。
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当 $N = 11$ 时， $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 和 $\psi$ 的关系在[图 1-3-1](#fig.1-3-1) 中给出。[图 1-3-2](#fig.1-3-2) 给出了 $\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$，单位为 dB, 其中
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$$\begin{equation}
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\vec{\varUpsilon}_\mathrm{dB}(\psi) = 10 \log_{10} \left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|^2
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\end{equation}$$
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<a id="fig.1-3-1"></a>
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{width=700px}
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<a id="fig.1-3-2"></a>
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{width=700px}
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若不指定 $\vec{w}$ 的类型, 则 $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是复数，所以相位也应该画出来。但是，均匀加权线阵具有对称性，因此得到的频率-波数响应是实函数。
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  也可以用 $k_z$ 来表示频率-波数响应
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$$\begin{equation}
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\vec{\varUpsilon}(\omega:k_z) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N k_z \frac{d}{2} \right)}{\sin \left(k_z\frac{d}{2}\right)}
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\end{equation}$$
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这里 $\vec{\varUpsilon}(\omega:k_z)$ 是周期函数，周期为 $2\pi/d$。
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注意，响应函数仅依赖于波数分量 $k_z$, 是 $k_z$ 的周期函数，间隔为 $2\pi/d$，这是线性阵列的一维特性导致的，所以该阵列仅能分析在 $k_z$ 方向上投影的波数分量。
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