fix(symbol): 正文"Fisher 信息矩阵"统一用 \gls{fim}
FIM 是 \newacronym 词条，正文应走 \gls。把 23 处"Fisher 信息矩阵"改为
\gls{fim}（含符号索引 A，使其与同处已用的 \gls{crb}/\gls{efim} 口径一致，
如 A:465 原本同句混用）。保留 6 处 section/subsection 标题的裸全称
（CLAUDE.md 标题例外）。"Fisher 信息/内积/块"等指标量或分块、并非
矩阵本身，不在替换之列。
This commit is contained in:
@@ -435,7 +435,7 @@
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\subsection{CRB、FIM 与有效信息符号}
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附录中的确定信号、随机信号、静态 \gls{doa}--Doppler 与动态 \gls{doa}--Doppler \gls{crb} 推导使用表~\ref{tab:crbFimNotation} 中的统一统计符号。
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本文约定 Fisher 信息矩阵使用 $\mathcal I$，Jacobian 矩阵保留 $\mathbf J$。
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本文约定 \gls{fim}使用 $\mathcal I$，Jacobian 矩阵保留 $\mathbf J$。
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\small
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@@ -459,11 +459,11 @@
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\endfoot
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\endlastfoot
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$\mathcal I$ & Fisher 信息矩阵。\\
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$\mathcal I_{\eta\eta}$、$\mathcal I_{\eta\psi}$、$\mathcal I_{\psi\psi}$ & 按主参数与干扰参数分块后的 Fisher 信息矩阵子块。块标签直接作为下标书写。\\
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$\mathcal I$ & \gls{fim}。\\
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$\mathcal I_{\eta\eta}$、$\mathcal I_{\eta\psi}$、$\mathcal I_{\psi\psi}$ & 按主参数与干扰参数分块后的 \gls{fim}子块。块标签直接作为下标书写。\\
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$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ & 消去干扰参数后的 \gls{efim}。\\
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$\mathbf C$ & \gls{crb} 协方差矩阵，通常为 Fisher 信息矩阵或 \gls{efim} 的逆。\\
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$\mathbf J$ & Jacobian 矩阵或导数矩阵，不再用于表示 Fisher 信息矩阵。\\
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$\mathbf C$ & \gls{crb} 协方差矩阵，通常为 \gls{fim}或 \gls{efim} 的逆。\\
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$\mathbf J$ & Jacobian 矩阵或导数矩阵，不再用于表示 \gls{fim}。\\
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$\boldsymbol\psi$ & 通用干扰参数向量。 在不同上下文中，它可包含信源复包络、复干扰系数、相位、Doppler rate 或噪声方差。\\
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$\boldsymbol\psi_\mu$ & 只影响均值向量的干扰参数子集。\gls{crb} 附录中若噪声方差与均值参数 Fisher 块解耦，则 Schur 补通常只显式保留 $\boldsymbol\psi_\mu$。\\
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$\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、$\{\chi_\ell\}$、$\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 与 $\{\sigma_\ell\}$。\\
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@@ -566,7 +566,7 @@
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5 & Doppler 与 Doppler rate 统一使用 $\nu$ 与 $\dot\nu$；正文估计参数默认是归一化角频率量。若必须写物理 Hz 单位，使用 $\nu^{\mathrm{Hz}}$。全文使用 $\nu$ 体系。\\
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6 & 参考星与参考时刻是两个不同概念；$\mathrm{ref}$ 下标只表示参考星链路，参考时刻应通过 $t=0$、$\tau_0=0$ 或文字说明表达。\\
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7 & 连续相位模型中的公共相位 $\chi_\ell$ 与独立相位模型中的块相位 $\vartheta_{\ell,p}$ 不能混用。\\
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8 & Fisher 信息矩阵使用 $\mathcal I$，其分块下标直接书写，例如 $\mathcal I_{\eta\psi}$；$\mathbf J$ 保留给 Jacobian 或导数矩阵。\\
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8 & \gls{fim}使用 $\mathcal I$，其分块下标直接书写，例如 $\mathcal I_{\eta\psi}$；$\mathbf J$ 保留给 Jacobian 或导数矩阵。\\
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9 & 投影算子使用 $\mathcal P$，例如 $\mathcal P_{\mathbf A}^{\perp}$。\\
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10 & relaxed continuous-phase 相关目标、残差和复增益应保留上标 $\mathrm{cp,rel}$，避免与 structured CP 或 IP 混淆。\\
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11 & \gls{crb} 协方差矩阵保留 $\mathbf C$；空时导向矩阵不再使用 $\mathbf C$，统一写为 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$。\\
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@@ -7,7 +7,7 @@
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\subsection{确定信号 DoA CRB}
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\label{sec:det_doa_crb}
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa} 模型。根据 \gls{fim} 的定义 $\eqref{eq:fisher_element}$，需要先求出对数似然函数 $\eqref{eq:det_ml_log_likelihood}$ 对各类未知量的一阶偏导，再构造 Fisher 信息矩阵并通过 Schur 补消去确定信号快拍等干扰参数。
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列确定信号 \gls{doa} 模型。根据 \gls{fim} 的定义 $\eqref{eq:fisher_element}$，需要先求出对数似然函数 $\eqref{eq:det_ml_log_likelihood}$ 对各类未知量的一阶偏导，再构造 \gls{fim}并通过 Schur 补消去确定信号快拍等干扰参数。
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\subsubsection{一阶偏导求取}
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@@ -843,7 +843,7 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
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\subsubsection{\texorpdfstring{\gls{efim} 求取}{EFIM 求取}}
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下面先给出每个信源对应一个标量角参数 $\theta_k$ 的标准 stochastic \gls{crb} 形式。若某个信源使用二维或更高维方向参数，只需将下文的单索引 $k$ 扩展为参数索引 $(k,r)$，并把 $\mathbf d_k$ 替换为 $\partial\mathbf a(\bm\theta_k)/\partial[\bm\theta_k]_r$；Fisher 信息矩阵的元素级表达保持相同。
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下面先给出每个信源对应一个标量角参数 $\theta_k$ 的标准 stochastic \gls{crb} 形式。若某个信源使用二维或更高维方向参数，只需将下文的单索引 $k$ 扩展为参数索引 $(k,r)$，并把 $\mathbf d_k$ 替换为 $\partial\mathbf a(\bm\theta_k)/\partial[\bm\theta_k]_r$；\gls{fim}的元素级表达保持相同。
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接收信号协方差矩阵对角度的一阶偏导为
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@@ -3,7 +3,7 @@
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本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线（沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节的模型），E.2 给出多用户扩展（沿用第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的模型）。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架，差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。
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本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 Fisher 信息矩阵，$\mathbf I$ 表示单位阵，$\mathcal P$ 表示投影矩阵。
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本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 \gls{fim}，$\mathbf I$ 表示单位阵，$\mathcal P$ 表示投影矩阵。
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正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 \gls{efim} 时，只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数；噪声方差只进入协方差，并与均值参数 Fisher 块解耦，因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。
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\subsection{单用户多星 CRB}
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@@ -129,7 +129,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig
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\in \mathbb R^{2L+3}.
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\end{equation}
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由于当前均值参数仅通过均值项 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)$ 进入，而协方差矩阵 $\mathbf R_n$ 与 $\boldsymbol\kappa$ 无关，由复 Gauss 模型的 Slepian--Bangs 公式~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,vantreesOptimumArrayProcessing2002}，对任意两个实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素满足
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由于当前均值参数仅通过均值项 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)$ 进入，而协方差矩阵 $\mathbf R_n$ 与 $\boldsymbol\kappa$ 无关，由复 Gauss 模型的 Slepian--Bangs 公式~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,vantreesOptimumArrayProcessing2002}，对任意两个实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，\gls{fim}元素满足
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\begin{equation}
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[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
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@@ -421,7 +421,7 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
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\label{eq:A6_Jpsi}
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\end{equation}
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由于不同卫星噪声相互独立，总 Fisher 信息矩阵可按卫星求和。记总 Fisher 信息矩阵关于 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\zeta})$ 的分块形式为
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由于不同卫星噪声相互独立，总 \gls{fim}可按卫星求和。记总 \gls{fim}关于 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\zeta})$ 的分块形式为
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\begin{equation}
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\mathcal I(\boldsymbol\kappa)
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@@ -700,7 +700,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
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\subsubsection{Fisher 信息矩阵分块与 Schur 补}
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按各星条件独立性，Fisher 信息矩阵分块同 \eqref{eq:A6_Itt}--\eqref{eq:A6_Ibb}，只是块尺寸调整为 $\mathcal I_{\eta\eta}\in\mathbb R^{3K\times 3K}$、$\mathcal I_{\psi\psi}\in\mathbb R^{2LK\times 2LK}$（块对角，每星 $2K\times 2K$ 块）：
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按各星条件独立性，\gls{fim}分块同 \eqref{eq:A6_Itt}--\eqref{eq:A6_Ibb}，只是块尺寸调整为 $\mathcal I_{\eta\eta}\in\mathbb R^{3K\times 3K}$、$\mathcal I_{\psi\psi}\in\mathbb R^{2LK\times 2LK}$（块对角，每星 $2K\times 2K$ 块）：
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\eta\eta}
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@@ -34,7 +34,7 @@
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参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，仅 $L-1$ 个非参考星贡献 $\delta_\ell$ 自由度。
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按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的 Slepian--Bangs 公式，各星条件独立的圆对称复高斯模型下 Fisher 信息矩阵元素为
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按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的 Slepian--Bangs 公式，各星条件独立的圆对称复高斯模型下 \gls{fim}元素为
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\begin{equation}
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\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}})\big]_{ij}
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@@ -194,7 +194,7 @@
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\end{equation}
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其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_\ell$。
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由于这里所有待估参数仅通过均值向量进入，而 $\mathbf R_n$ 与这些参数无关，因此对任意实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
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由于这里所有待估参数仅通过均值向量进入，而 $\mathbf R_n$ 与这些参数无关，因此对任意实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，\gls{fim}元素统一写为
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\begin{equation}
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[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
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@@ -648,7 +648,7 @@
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\subsubsection{EFIM 病态与 DoA--Doppler 耦合的投影机制}
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\label{subsec:A7_efimIllConditioning}
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式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 与式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 都是对完整 Fisher 信息矩阵中的
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式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 与式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 都是对完整 \gls{fim}中的
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干扰参数执行 Schur 补后得到的 \gls{efim}。本小节给出一个与具体 CP/IP 模型无关的局部线性解释，
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用于说明多星场景中角度 \gls{crb} 显著改善但 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 边际 \gls{crb} 改善有限、同时 \gls{efim} 条件数
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变大的原因。
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@@ -1048,7 +1048,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
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上面的推导默认 $\{\sigma_\ell\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_\ell\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有
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上面的推导默认 $\{\sigma_\ell\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_\ell\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 \gls{fim}中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有
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\begin{equation}
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\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
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@@ -1153,7 +1153,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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p=0,\ldots,P-1.
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\end{equation}
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正文 \gls{mle} 中可直接把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 作为自由复增益消元；本附录为了构造实参数 Fisher 信息矩阵，将其写作极坐标形式
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正文 \gls{mle} 中可直接把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 作为自由复增益消元；本附录为了构造实参数 \gls{fim}，将其写作极坐标形式
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\begin{equation}
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\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
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@@ -1299,7 +1299,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_\ell\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。
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对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
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对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，\gls{fim}元素统一写为
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\begin{equation}
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[\mathcal I(\boldsymbol\kappa^{\mathrm{ip}})]_{ij}
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@@ -1452,7 +1452,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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\subsubsection{与 A7 中 relaxed 连续相位结果的关系}
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式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 Fisher 信息矩阵的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed 连续相位模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}：
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式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 \gls{fim}的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed 连续相位模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}：
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\begin{itemize}
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\item \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是连续相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性；
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\item 本附录使用的是独立相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。
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@@ -1496,7 +1496,7 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合
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\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
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若进一步将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有
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若进一步将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 \gls{fim}中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有
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\begin{equation}
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\big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
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@@ -1504,6 +1504,6 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合
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\frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}.
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\end{equation}
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因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。
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因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 \gls{fim}中附加一个与其他参数解耦的对角块。
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至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
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@@ -150,7 +150,7 @@
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\big]^\Tran,
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\end{equation}
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其中 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 为各 $\zeta_{\ell,k}$ 的实部/虚部堆叠（噪声方差仅进入协方差、与均值参数解耦，下同\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}）。Fisher 信息矩阵按 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 分块为
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其中 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 为各 $\zeta_{\ell,k}$ 的实部/虚部堆叠（噪声方差仅进入协方差、与均值参数解耦，下同\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}）。\gls{fim}按 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 分块为
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\begin{equation}
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\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}})
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Reference in New Issue
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