content(symbol,app-A): 收尾 stat 退化引用归裸 \eta,A 合并 \eta 条目

多用户/时间戳侧的 K=1 退化引用(sec4:117、F 的 minimal case)里的
\eta_{stat} 也归为裸 \eta,至此"裸 \eta = 3 维角+Doppler 主参数"全文统一。
F 的 \mathcal I_e^{(stat)}(静态基线 vs 时间戳误差 EFIM 的对照上标)保留。
符号索引 A 把 \eta_{stat}/\eta_{dyn} 两条目并入通用 \eta(补 3 维形式),
\eta_{mu} 的退化引用改裸 \eta;\eta_{mu}/\eta_\tau 等异维参数仍带标签。
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2026-06-16 16:59:07 +08:00
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@@ -283,12 +283,10 @@
$f_{\tau,\ell}(\cdot)$ & 由全局 \gls{doa} 与参考星链路时延诱导得到第 $\ell$ 条链路时延的几何映射。 该符号属于参考星参数化,而不是一般信号符号。\\
$\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ & 第 $\ell$ 条链路相对于参考星链路的归一化 Doppler 偏差。\\
$\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ & 第 $\ell$ 条链路相对于参考星链路的归一化 Doppler-rate 偏差。\\
$\boldsymbol\eta$ & 将一个模型中的所有待估计主参数堆叠得到的通用参数向量。 本文用 $\boldsymbol\eta$ 表示估计参数集合,避免与一般 \gls{doa} 参数 $\bm\theta_k$ 混淆。\\
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ & 静态多星 \gls{doa}--Doppler 主参数,统一写为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。\\
$\boldsymbol\eta$ & 将一个模型中的所有待估计主参数堆叠得到的通用参数向量,避免与一般 \gls{doa} 参数 $\bm\theta_k$ 混淆。多星静态与动态多帧主线统一写为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^3$(动态多帧情形 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧)。\\
$\boldsymbol\eta_{\tau}$ & \gls{doa}--Doppler--delay 扩展模型主参数,可写为 $\boldsymbol\eta_{\tau}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。\\
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ & 动态多帧模型中作为主估计目标的参数,默认与 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 相同;$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。\\
$\nu_{\mathrm{ref},k}$ & 多用户场景中第 $k$ 个用户的参考星归一化 Doppler;$K=1$ 时退化为 $\nu_{\mathrm{ref}}$。\\
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ & 多用户多星静态主参数,定义为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=[\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{3K}$;$K=1$ 时退化为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$。下标 $\mathrm{mu}$ 表示 multi-user。\\
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ & 多用户多星静态主参数,定义为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=[\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{3K}$;$K=1$ 时退化为 $\boldsymbol\eta$。下标 $\mathrm{mu}$ 表示 multi-user。\\
$\boldsymbol\delta$ & 部分相干观测模型中非参考星的时间戳误差堆叠向量,$\boldsymbol\delta=[\delta_\ell]_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}\in\mathbb R^{L-1}$;作为干扰参数处理。\\
$\boldsymbol\kappa$ & 完整实参数向量,专用于把主参数 $\boldsymbol\eta$ 与干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 一起堆叠的场合,例如 $\boldsymbol\kappa=[\boldsymbol\eta^\Tran,\boldsymbol\psi^\Tran]^\Tran$。全文不再用 $\boldsymbol\eta$ 表示完整参数向量。\\
\end{longtable}
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@@ -185,7 +185,7 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性
\subsection{特殊情形:\texorpdfstring{$K=1$, $L=2$}{K=1, L=2} 解析推导}
\label{subsec:F4_K1L2}
最简非平凡情形:单用户($K=1$)、双星($L=2$,参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$、非参考星 $\ell=1$、唯一时间戳误差 $\delta_1$)。主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^3$,干扰参数包含 $\delta_1$ 与两颗星的复增益、噪声方差。
最简非平凡情形:单用户($K=1$)、双星($L=2$,参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$、非参考星 $\ell=1$、唯一时间戳误差 $\delta_1$)。主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^3$,干扰参数包含 $\delta_1$ 与两颗星的复增益、噪声方差。
\paragraph{投影简化}
单用户下每颗卫星 $\mathbf G_\ell$ 退化为单列 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$,复增益投影 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 退化为 $\mathbf g_\ell\mathbf g_\ell^\Herm/\|\mathbf g_\ell\|^2$,与 \S\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的单用户基线一致。\eqref{eq:F2_after_psi} 中
@@ -193,7 +193,7 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性
\begin{equation}
\mathcal I_{\eta\eta}'
=
\mathcal I_{\mathrm e}^{(\mathrm{stat})}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
\mathcal I_{\mathrm e}^{(\mathrm{stat})}(\boldsymbol\eta)
=
\frac{2|\zeta_0|^2}{\sigma_0}
\Re\big\{\mathbf D_0^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_0}^\perp\mathbf D_0\big\}
@@ -231,7 +231,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量,\eqref{eq:F2_jdelta} 中
其中 $\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp=\mathbf I_T-\mathbf q_1\mathbf q_1^\Herm/\|\mathbf q_1\|^2$。化简利用了 Kronecker 内积关系 $(\mathbf u_1\otimes\mathbf v_1)^\Herm(\mathbf u_2\otimes\mathbf v_2)=(\mathbf u_1^\Herm\mathbf u_2)(\mathbf v_1^\Herm\mathbf v_2)$,并把空间部分因式 $\|\mathbf a_1\|^2$ 提出。
\paragraph{交叉项与 EFIM 闭式}
对 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\delta_1)$ 的交叉项类似可写为
对 $(\boldsymbol\eta,\delta_1)$ 的交叉项类似可写为
%
\begin{equation}
\mathbf v'_{\eta\delta,1}
@@ -248,7 +248,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量,\eqref{eq:F2_jdelta} 中
%
\begin{equation}
\label{eq:F4_efim_K1L2}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})\bigg|_{K=1,L=2}
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\bigg|_{K=1,L=2}
=
\mathcal I_{\eta\eta}'
-
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@@ -114,7 +114,7 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$,$\boldsym
\Big]^\Tran.
\end{equation}
%
当 $K=1$ 时 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 退化为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$,对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节。
当 $K=1$ 时 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 退化为 $\boldsymbol\eta$,对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节。
\subsection{联合似然与集中似然}