content(symbol): 噪声方差全文统一记为 \sigma（去 n 与 ^2）
B:10 早已声明"\sigma 表示方差"，sec1/D 遵守，多星侧却用 \sigma_{n,\ell}^2
偏离。统一回归该约定：\sigma_{n,\ell}^2->\sigma_\ell、\sigma_n^2->\sigma
（去 n 与 ^2）；推导中的方差平方 \sigma_{n,\ell}^4->\sigma_\ell^2；白化
标准差 1/\sigma_{n,\ell}->1/\sqrt{\sigma_\ell}（E:765）；E 共同方差情形裸
\sigma^2->\sigma。D 里 \sigma=方差的幂次 \sigma^2/\sigma^4 本就正确、保留。
清理替换产生的循环定义（sec1/D）。如此推导上标即方差的真实幂次，不与
"方差自带 ^2"冲突。
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@@ -24,9 +24,9 @@
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\begin{enumerate}
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\item 噪声为加性噪声，并与信源相互独立。
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\item 单阵列基础模型中，噪声通常取为空间白、时间白、零均值圆对称复高斯噪声。
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\item 噪声方差统一记为 $\sigma_n^2$；多阵列或多卫星模型写为 $\sigma_{n,\ell}^2$。
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\item 多阵列或多卫星模型中，允许不同阵列或不同卫星具有不同噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$，但同一阵列或同一卫星在一个短观测块或短观测窗口内保持不变。
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\item 典型噪声向量写为 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_n^2\mathbf I_M)$、$\mathbf n_{\ell,t}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$ 或 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。
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\item 噪声方差统一记为 $\sigma$；多阵列或多卫星模型写为 $\sigma_\ell$。
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\item 多阵列或多卫星模型中，允许不同阵列或不同卫星具有不同噪声方差 $\sigma_\ell$，但同一阵列或同一卫星在一个短观测块或短观测窗口内保持不变。
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\item 典型噪声向量写为 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$、$\mathbf n_{\ell,t}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell})$ 或 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell})$。
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\end{enumerate}
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\item \textbf{阵列假设}
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@@ -468,8 +468,8 @@
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$\mathbf J$ & Jacobian 矩阵或导数矩阵，不再用于表示 Fisher 信息矩阵。\\
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$\boldsymbol\psi$ & 通用干扰参数向量。 在不同上下文中，它可包含信源复包络、复干扰系数、相位、Doppler rate 或噪声方差。\\
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$\boldsymbol\psi_\mu$ & 只影响均值向量的干扰参数子集。\gls{crb} 附录中若噪声方差与均值参数 Fisher 块解耦，则 Schur 补通常只显式保留 $\boldsymbol\psi_\mu$。\\
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$\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、$\{\chi_\ell\}$、$\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 与 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$。\\
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$\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、自由复增益 $\{\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$ 或其等价极坐标参数 $\{\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$，以及 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$。\\
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||||
$\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、$\{\chi_\ell\}$、$\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 与 $\{\sigma_\ell\}$。\\
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||||
$\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、自由复增益 $\{\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$ 或其等价极坐标参数 $\{\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$，以及 $\{\sigma_\ell\}$。\\
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$\mathcal P_{\mathbf B}$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}$ & 到矩阵 $\mathbf B$ 列空间及其正交补的投影算子，定义为 $\mathcal P_{\mathbf B}=\mathbf B(\mathbf B^\Herm\mathbf B)^{-1}\mathbf B^\Herm$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}=\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf B}$。当 $\mathbf B=\mathbf A$ 时得到空间导向矩阵投影；当 $\mathbf B=\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 时得到空时导向矩阵投影。\\
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$\mathbf R$ 或 $\mathbf R_y$ & 随机信号模型中的观测协方差矩阵。\\
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$\mathbf R_x$ & 随机信号模型中的信源协方差矩阵。\\
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@@ -181,7 +181,7 @@ e^{-j 2\pi \frac{d}{\lambda_{\mathrm{c}}}(M-1)\sin\theta_k}
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%
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where $d$ denotes the inter-element spacing and $\lambda_{\mathrm{c}}$ is the carrier wavelength.
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Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and that the noise is spatially white with variance $\sigma_n^2$, the array covariance matrix is
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Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and that the noise is spatially white with variance $\sigma$, the array covariance matrix is
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%
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\begin{equation}
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\mathbf{R}_y
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||||
@@ -190,7 +190,7 @@ Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and that the noise is
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=
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||||
\mathbf{A}(\boldsymbol{\theta}) \mathbf{R}_s \mathbf{A}^{\Herm}(\boldsymbol{\theta})
|
||||
+
|
||||
\sigma_n^2 \mathbf{I}_M,
|
||||
\sigma \mathbf{I}_M,
|
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\label{eq:music_covariance}
|
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\end{equation}
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%
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@@ -543,7 +543,7 @@ where $\mathbf{n}_{\ell} \triangleq \vect(\mathbf{N}_{\ell})$ and
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%
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is the spatio-temporal steering vector, with $\otimes$ denoting the Kronecker product. Hence, the joint angle-Doppler estimation problem can be recast as a standard subspace estimation problem in the augmented spatio-temporal domain.
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Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and the noise is spatially and temporally white with variance $\sigma_n^2$, the covariance matrix of $\mathbf{y}_{\ell}$ is given by
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Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and the noise is spatially and temporally white with variance $\sigma$, the covariance matrix of $\mathbf{y}_{\ell}$ is given by
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%
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\begin{equation}
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||||
\mathbf{R}_y
|
||||
@@ -552,7 +552,7 @@ Assuming that the source signals are mutually uncorrelated and the noise is spat
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||||
=
|
||||
\mathbf{B}_{\mathrm{st}}\mathbf{R}_{\zeta}\mathbf{B}_{\mathrm{st}}^\Herm
|
||||
+
|
||||
\sigma_n^2 \mathbf{I}_{MT},
|
||||
\sigma \mathbf{I}_{MT},
|
||||
\label{eq:covariance_st}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
|
||||
@@ -127,7 +127,7 @@
|
||||
\vspace{-1em}
|
||||
%
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\begin{equation*}
|
||||
\mathbb{E} \left[ \mathbf{n}^\Herm_t \mathbf{n}_t \right] = M \sigma_n^2 = M \sigma.
|
||||
\mathbb{E} \left[ \mathbf{n}^\Herm_t \mathbf{n}_t \right] = M \sigma.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
%
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||||
\begin{equation*}
|
||||
@@ -432,7 +432,7 @@
|
||||
\tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}),
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
其中 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。因此
|
||||
其中 $\sigma$ 为噪声方差。因此
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||||
%
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||||
\begin{equation}
|
||||
\tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}\big(\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa),\sigma\mathbf I_{MT}\big),
|
||||
@@ -715,7 +715,7 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
%
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||||
其中 $\boldsymbol\theta$ 为待估 \gls{doa} 参数向量。严格地说，$\mathbf R_x=\mathbf R_x^\Herm$ 应采用非冗余实参数化；为避免引入额外记号，下文仅用 $\boldsymbol\psi$ 表示信源协方差与噪声方差组成的干扰参数集合，$\sigma \triangleq \sigma_n^2$ 为噪声方差。
|
||||
其中 $\boldsymbol\theta$ 为待估 \gls{doa} 参数向量。严格地说，$\mathbf R_x=\mathbf R_x^\Herm$ 应采用非冗余实参数化；为避免引入额外记号，下文仅用 $\boldsymbol\psi$ 表示信源协方差与噪声方差组成的干扰参数集合，$\sigma$ 为噪声方差。
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||||
由 $\eqref{eq:schur_complement}$ 的 Schur 补可得 \gls{doa} 的 \gls{efim} 为
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%
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||||
\begin{equation*}
|
||||
|
||||
@@ -37,7 +37,7 @@
|
||||
+
|
||||
\tilde{\mathbf n}_\ell,
|
||||
\qquad
|
||||
\tilde{\mathbf n}_\ell \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2 \mathbf I_{M_\ell T}),
|
||||
\tilde{\mathbf n}_\ell \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell \mathbf I_{M_\ell T}),
|
||||
\quad \ell=0,1,\ldots,L-1,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
@@ -50,7 +50,7 @@
|
||||
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 1},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
$\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sigma_{n,\ell}^2$ 为第 $\ell$ 颗卫星对应的噪声方差。
|
||||
$\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sigma_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星对应的噪声方差。
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||||
|
||||
将所有卫星的观测联合堆叠，定义
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%
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@@ -95,9 +95,9 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig
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||||
=
|
||||
\operatorname{blkdiag}
|
||||
\big(
|
||||
\sigma_{n,0}^2 \mathbf I_{M_0 T},
|
||||
\sigma_0 \mathbf I_{M_0 T},
|
||||
\ldots,
|
||||
\sigma_{n,L-1}^2 \mathbf I_{M_{L-1} T}
|
||||
\sigma_{L-1} \mathbf I_{M_{L-1} T}
|
||||
\big).
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
@@ -438,7 +438,7 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}
|
||||
=
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{2}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\left\{
|
||||
\mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||||
\right\},
|
||||
@@ -448,9 +448,9 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
|
||||
\mathcal I_{\eta\psi}
|
||||
=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\dfrac{2}{\sigma_{n,0}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\}
|
||||
\dfrac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\}
|
||||
& \cdots &
|
||||
\dfrac{2}{\sigma_{n,L-1}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
|
||||
\dfrac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
|
||||
\end{bmatrix},
|
||||
\label{eq:A6_Itb}
|
||||
\end{equation}
|
||||
@@ -459,9 +459,9 @@ $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
|
||||
=
|
||||
\operatorname{blkdiag}
|
||||
\left(
|
||||
\frac{2}{\sigma_{n,0}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\},
|
||||
\frac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\},
|
||||
\ldots,
|
||||
\frac{2}{\sigma_{n,L-1}^2}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
|
||||
\frac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
|
||||
\right).
|
||||
\label{eq:A6_Ibb}
|
||||
\end{equation}
|
||||
@@ -501,7 +501,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
|
||||
=
|
||||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\left\{
|
||||
\mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}
|
||||
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
|
||||
@@ -516,7 +516,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
|
||||
=
|
||||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\left\{
|
||||
\mathbf D_\ell^{\Herm}
|
||||
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
|
||||
@@ -589,11 +589,11 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
|
||||
\subsubsection{备注}
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||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_{n,\ell}^2=\sigma^2$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为
|
||||
\item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_\ell=\sigma$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
|
||||
=
|
||||
\frac{2}{\sigma^2}
|
||||
\frac{2}{\sigma}
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
|\zeta_\ell|^2
|
||||
\Re\left\{
|
||||
@@ -601,14 +601,14 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
|
||||
\right\}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_{n,\ell}^2$，则有
|
||||
\item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_\ell$，则有
|
||||
\begin{equation}
|
||||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
|
||||
=
|
||||
\frac{M_\ell T}{\sigma_{n,\ell}^4},
|
||||
\frac{M_\ell T}{\sigma_\ell^2},
|
||||
\qquad
|
||||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_{n,\ell}^2,i}=0,
|
||||
\quad i\neq \sigma_{n,\ell}^2,
|
||||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{stat}})]_{\sigma_\ell,i}=0,
|
||||
\quad i\neq \sigma_\ell,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 的 \gls{efim}。
|
||||
@@ -706,7 +706,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}
|
||||
=
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{2}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathbf J_{\eta,\ell}\big\}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
@@ -729,7 +729,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||||
=
|
||||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\big\{
|
||||
\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
|
||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||||
@@ -744,7 +744,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
|
||||
\big[\mathcal I_{\mathrm e}\big]_{kk'}
|
||||
=
|
||||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\Big\{
|
||||
\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}\,
|
||||
\mathbf D_{\ell,k}^\Herm
|
||||
@@ -762,7 +762,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\eta,\ell}
|
||||
\triangleq
|
||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
|
||||
\frac{1}{\sqrt{\sigma_\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。
|
||||
|
||||
+10
-10
@@ -40,7 +40,7 @@
|
||||
\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{te}})\big]_{ij}
|
||||
=
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{2}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\left\{
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\kappa_i}
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\kappa_j}
|
||||
@@ -65,7 +65,7 @@
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\big[\mathcal I_{\delta\delta}\big]_{\ell\ell'}
|
||||
=
|
||||
\frac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{2}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\left\{
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\delta_\ell}
|
||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell}
|
||||
@@ -107,7 +107,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
\mathcal I_{\eta\eta}'
|
||||
&=
|
||||
2\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
2\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\left\{
|
||||
\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
|
||||
\big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\big)
|
||||
@@ -116,7 +116,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
|
||||
\mathcal I_{\delta\delta}'
|
||||
&=
|
||||
\operatorname{diag}\Big(
|
||||
\tfrac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\tfrac{2}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\big\{\mathbf j_{\delta,\ell}^\Herm
|
||||
(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell})
|
||||
\mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0}
|
||||
@@ -125,7 +125,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
|
||||
&=
|
||||
\begin{bmatrix}
|
||||
\cdots\quad
|
||||
\tfrac{2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\tfrac{2}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
|
||||
(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell})\mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0}
|
||||
\quad\cdots
|
||||
@@ -173,7 +173,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
|
||||
|
||||
大误差区下 \eqref{eq:F2_efim_final} 的一阶展开失效。此时把 \gls{efim} 视为关于 $\boldsymbol\delta$ 真值的函数，按下列流程逐场景数值评估：
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_{n,\ell}^2$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$；
|
||||
\item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_\ell$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$；
|
||||
\item 对每颗卫星 $\ell$，按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\partial/\partial\delta_\ell$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似，而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$；
|
||||
\item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按 \S\ref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$；
|
||||
\item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。
|
||||
@@ -195,10 +195,10 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性
|
||||
=
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{(\mathrm{stat})}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}})
|
||||
=
|
||||
\frac{2|\zeta_0|^2}{\sigma_{n,0}^2}
|
||||
\frac{2|\zeta_0|^2}{\sigma_0}
|
||||
\Re\big\{\mathbf D_0^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_0}^\perp\mathbf D_0\big\}
|
||||
+
|
||||
\frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_{n,1}^2}
|
||||
\frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_1}
|
||||
\Re\big\{\mathbf D_1^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_1}^\perp\mathbf D_1\big\}\bigg|_{\delta_1=0},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
@@ -222,7 +222,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\delta\delta}'
|
||||
=
|
||||
\frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_{n,1}^2}
|
||||
\frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_1}
|
||||
\big\|\mathbf a_1(\boldsymbol\xi)\big\|_2^2
|
||||
\cdot
|
||||
\Re\big\{(\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp\dot{\mathbf q}_1^{\,\mathrm{te}}\big\},
|
||||
@@ -236,7 +236,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf v'_{\eta\delta,1}
|
||||
=
|
||||
\frac{2}{\sigma_{n,1}^2}
|
||||
\frac{2}{\sigma_1}
|
||||
\Re\Big\{
|
||||
\zeta_1^*\mathbf D_1^\Herm
|
||||
\big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf g_1}\big)
|
||||
|
||||
+16
-16
@@ -188,12 +188,12 @@
|
||||
=
|
||||
\operatorname{blkdiag}
|
||||
\Big(
|
||||
\{\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}\}_{(\ell,p)\in\mathcal B}
|
||||
\{\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}\}_{(\ell,p)\in\mathcal B}
|
||||
\Big),
|
||||
\label{eq:A7_Rn_cp_stack}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_{n,\ell}^2$。
|
||||
其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_\ell$。
|
||||
由于这里所有待估参数仅通过均值向量进入，而 $\mathbf R_n$ 与这些参数无关，因此对任意实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
@@ -218,7 +218,7 @@
|
||||
\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
|
||||
+ \tilde{\mathbf n}_{\ell,p},
|
||||
\qquad
|
||||
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}).
|
||||
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}).
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
记
|
||||
@@ -575,7 +575,7 @@
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||||
=
|
||||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1}
|
||||
\frac{|\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}|^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{|\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}|^2}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\left\{
|
||||
\big(\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}\big)^{\Herm}
|
||||
\mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}
|
||||
@@ -1048,15 +1048,15 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
|
||||
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
|
||||
|
||||
上面的推导默认 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有
|
||||
上面的推导默认 $\{\sigma_\ell\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_\ell\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
|
||||
=
|
||||
\frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}.
|
||||
\frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。
|
||||
因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量都只会在 \gls{fim} 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。
|
||||
|
||||
因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与 \S\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。
|
||||
|
||||
@@ -1147,7 +1147,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
其中
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}),
|
||||
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}),
|
||||
\qquad
|
||||
\ell=0,\ldots,L-1,\qquad
|
||||
p=0,\ldots,P-1.
|
||||
@@ -1297,7 +1297,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\end{bmatrix}^{\Tran}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。
|
||||
为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_\ell\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。
|
||||
|
||||
对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
|
||||
%
|
||||
@@ -1360,7 +1360,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
|
||||
=
|
||||
2\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
2\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\left\{
|
||||
\big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm}
|
||||
\mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
|
||||
@@ -1393,7 +1393,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
|
||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
|
||||
=
|
||||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1}
|
||||
\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\left\{
|
||||
\big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm}
|
||||
\mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
|
||||
@@ -1496,14 +1496,14 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合
|
||||
|
||||
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
|
||||
|
||||
若进一步将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有
|
||||
若进一步将 $\{\sigma_\ell\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
|
||||
=
|
||||
\frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}.
|
||||
\frac{M_\ell P T}{\sigma_\ell^2}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
因此，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。
|
||||
因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。
|
||||
|
||||
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
|
||||
@@ -55,7 +55,7 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
|
||||
=2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
=2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
|
||||
\Re\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{4\times4}.
|
||||
\label{eq:H_efim}
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
@@ -37,7 +37,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为
|
||||
\in \mathbb C^{M\times K}
|
||||
$，其中 $\mathbf a(\bm{\theta}_k)$ 为第 $k$ 个信源对应的导向矢量；
|
||||
\item 信源快拍 $\mathbf x_t=[x_1(t),\ldots,x_K(t)]^\Tran\in\mathbb C^{K\times 1}$，作为确定性未知量；
|
||||
\item 噪声向量 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_n^2\mathbf I_M)$。
|
||||
\item 噪声向量 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$，$\sigma$ 为噪声方差。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
将所有快拍按列堆叠得到矩阵形式
|
||||
@@ -57,7 +57,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为
|
||||
\left[\bm\theta_1^\Tran,\ldots,\bm\theta_K^\Tran\right]^\Tran,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
%
|
||||
干扰参数为信源快拍 $\{\mathbf x_t\}$ 与噪声方差 $\sigma_n^2$。
|
||||
干扰参数为信源快拍 $\{\mathbf x_t\}$ 与噪声方差 $\sigma$。
|
||||
|
||||
\subsection{阵列模型：ULA 与 UPA}
|
||||
\label{subsec:single_arr_array_model}
|
||||
@@ -124,7 +124,7 @@ $M$ 元阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量记为
|
||||
|
||||
\subsection{对数似然与确定最大似然准则}
|
||||
|
||||
记 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。由 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$ 及 $\mathbf x_t$ 的确定性假设，有 $\mathbf y_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t,\sigma\mathbf I_M)$。各快拍独立，对数似然为
|
||||
由 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$ 及 $\mathbf x_t$ 的确定性假设，有 $\mathbf y_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf x_t,\sigma\mathbf I_M)$。各快拍独立，对数似然为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:det_ml_log_likelihood}
|
||||
|
||||
@@ -145,7 +145,7 @@
|
||||
+
|
||||
\mathbf n_\ell(t),
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}),
|
||||
\mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}),
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\triangleq \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。
|
||||
@@ -184,7 +184,7 @@
|
||||
+
|
||||
\tilde{\mathbf n}_\ell,
|
||||
\qquad
|
||||
\tilde{\mathbf n}_\ell\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}).
|
||||
\tilde{\mathbf n}_\ell\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}).
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
本节的干扰参数为
|
||||
@@ -194,7 +194,7 @@
|
||||
=
|
||||
\Big[
|
||||
\{\zeta_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
|
||||
\{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\Big]^\Tran.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
@@ -207,9 +207,9 @@
|
||||
=
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\left[
|
||||
M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2
|
||||
M_\ell T\log\sigma_\ell
|
||||
+
|
||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\left\|
|
||||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||||
-
|
||||
@@ -218,7 +218,7 @@
|
||||
\right].
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
对干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_{n,\ell}^2$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为
|
||||
对干扰参数 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_\ell$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}}
|
||||
@@ -236,14 +236,14 @@
|
||||
{\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
若实际中 $\sigma_{n,\ell}^2$ 已知或由预处理获得，可退化为加权集中似然形式
|
||||
若实际中 $\sigma_\ell$ 已知或由预处理获得，可退化为加权集中似然形式
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}}
|
||||
=
|
||||
\arg\max_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2}
|
||||
{\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
@@ -32,7 +32,7 @@
|
||||
+
|
||||
\mathbf n_\ell(t),
|
||||
\qquad
|
||||
\mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}).
|
||||
\mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}).
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $s_k(t)$ 为第 $k$ 个用户的已知导频，可逐用户彼此不同；噪声仍假设星间异方差、星内同方差。
|
||||
@@ -110,7 +110,7 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
|
||||
=
|
||||
\Big[
|
||||
\{\zeta_{\ell,k}\}_{\ell,k},
|
||||
\{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\Big]^\Tran.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
@@ -125,9 +125,9 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
|
||||
=
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\left[
|
||||
M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2
|
||||
M_\ell T\log\sigma_\ell
|
||||
+
|
||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\left\|
|
||||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||||
-
|
||||
@@ -146,7 +146,7 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
|
||||
\tilde{\mathbf y}_\ell.
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
代回并再对 $\sigma_{n,\ell}^2$ 轮廓化（与第~\ref{sec:det_doa_est} 节完全平行），得到多用户集中似然准则
|
||||
代回并再对 $\sigma_\ell$ 轮廓化（与第~\ref{sec:det_doa_est} 节完全平行），得到多用户集中似然准则
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:sec4_concentrated}
|
||||
@@ -172,7 +172,7 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
|
||||
=
|
||||
\arg\max_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm
|
||||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}
|
||||
\tilde{\mathbf y}_\ell.
|
||||
|
||||
@@ -113,7 +113,7 @@
|
||||
\Big[
|
||||
\boldsymbol\delta^\Tran,
|
||||
\big\{\zeta_{\ell,k}\big\}_{\ell,k},
|
||||
\big\{\sigma_{n,\ell}^2\big\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\big\{\sigma_\ell\big\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\Big]^\Tran,
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
@@ -124,9 +124,9 @@
|
||||
=
|
||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||||
\left[
|
||||
M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2
|
||||
M_\ell T\log\sigma_\ell
|
||||
+
|
||||
\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||||
\sum_{t=0}^{T-1}
|
||||
\left\|
|
||||
\mathbf y_\ell(t)
|
||||
@@ -136,7 +136,7 @@
|
||||
\right]
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
关于 $(\boldsymbol\zeta,\sigma_{n,\ell}^2)$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节平行，差别仅在 $\mathbf g_{\ell,k}$ 现在依赖 $\delta_\ell$。
|
||||
关于 $(\boldsymbol\zeta,\sigma_\ell)$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节平行，差别仅在 $\mathbf g_{\ell,k}$ 现在依赖 $\delta_\ell$。
|
||||
|
||||
记完整实参数向量
|
||||
%
|
||||
|
||||
@@ -62,7 +62,7 @@
|
||||
\mathbf n_{\ell,p}(t),
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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其中 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。
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其中 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell})$。
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$\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由同一颗卫星的不同帧共享——这是 CP 模型相比静态模型的核心新结构：它把 $L\times P$ 个块复增益的自由度从 ``$LP$ 个独立复数'' 压回为 ``$L$ 个公共相位 + $LP$ 个非负实幅度''，从而显式利用跨帧绝对时间信息。
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定义 CP 模板与空时模板
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@@ -149,7 +149,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
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\dot\nu_{\mathrm{ref}},
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\{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
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\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}_{\ell,p},
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\{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}
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\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}
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\Big]^\Tran.
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\end{equation}
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@@ -158,9 +158,9 @@ CP 模型的干扰参数向量为
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\begin{equation}
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\mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}})
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=
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\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log\sigma_{n,\ell}^2
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\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log\sigma_\ell
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+
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||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
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||||
\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{1}{\sigma_\ell}
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\sum_{p=0}^{P-1}
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\left\|
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\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
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@@ -171,7 +171,7 @@ CP 模型的干扰参数向量为
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\right\|_{\mathrm{F}}^2.
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\end{equation}
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依次对 $\sigma_{n,\ell}^2$ 做轮廓化、对非负幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 做正部最小二乘消元后，结构化 CP 集中似然估计准则可写为
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依次对 $\sigma_\ell$ 做轮廓化、对非负幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 做正部最小二乘消元后，结构化 CP 集中似然估计准则可写为
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%
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\begin{equation}
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\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn}}
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@@ -67,7 +67,7 @@
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%
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\begin{equation}
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\mathbf y_\ell(t)=\zeta_\ell\,\mathbf a_\ell(\mathbf p)\,s(t)\,e^{j\nu_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})t}+\mathbf n_\ell(t),
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\qquad \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}).
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\qquad \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}).
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\end{equation}
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时间模板 $\mathbf q_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 与空时模板 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$ 按相同方式定义。主参数为
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@@ -77,7 +77,7 @@
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=\begin{bmatrix}\mathbf p\\\nu_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}\in\mathbb R^4,
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\end{equation}
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干扰参数仍为各星复增益与噪声方差 $\{\zeta_\ell,\sigma_{n,\ell}^2\}$。由于似然以及对 $\zeta_\ell$、$\sigma_{n,\ell}^2$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节逐字平行（只是 $\mathbf g_\ell$ 现在依赖 $\mathbf p$），集中似然准则直接写为
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干扰参数仍为各星复增益与噪声方差 $\{\zeta_\ell,\sigma_\ell\}$。由于似然以及对 $\zeta_\ell$、$\sigma_\ell$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节逐字平行（只是 $\mathbf g_\ell$ 现在依赖 $\mathbf p$），集中似然准则直接写为
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%
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\begin{equation}
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\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{pos}}
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Reference in New Issue
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