fix(ref): 正文小节引用统一为「第 X.Y 小节」,弃用 \S
原先小节引用分裂为两种:\S\ref(§ X.Y,9 处)与 第~\ref{} 小节
(第 X.Y 小节,约 16 处),E:4 甚至同行把 sec4 既写「第 4 节」又写
「§4」。统一为纯中文「第 N 节 / 第 X.Y 小节」,与节引用一致、行文不夹
西文 §。把 10 处 \S\ref 改为 第~\ref{} 小节(区间 第~\ref{A}--\ref{B}
小节;E:4 指向 sec4 的一处改 第~\ref{} 节)。附录引用已由 \appref
统一为「附录 X[.Y]」,不在此列。
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@@ -693,7 +693,7 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta
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\subsection{随机信号 DoA CRB(对照支线)}
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\label{sec:sto_doa_crb}
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节末尾 \S\ref{subsec:sml_contrast} 的随机信号 \gls{doa} 对照支线。由\appref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知,零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为
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本附录对应第~\ref{sec:det_doa_est} 节末尾第~\ref{subsec:sml_contrast} 小节的随机信号 \gls{doa} 对照支线。由\appref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知,零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为
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\begin{equation}
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[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
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@@ -702,7 +702,7 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta
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\right]\right\}.
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\end{equation}
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因此可以通过类似\appref{sec:det_doa_crb} 的方式,按照 \S\ref{subsec:sml_contrast} 中给出的随机信号建模方式,求出接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 对各个参量的一阶导数,构建 \gls{fim}。
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因此可以通过类似\appref{sec:det_doa_crb} 的方式,按照第~\ref{subsec:sml_contrast} 小节中给出的随机信号建模方式,求出接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 对各个参量的一阶导数,构建 \gls{fim}。
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随机信号 \gls{doa} 估计问题的参数向量可以写为
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\begin{equation*}
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@@ -1,7 +1,7 @@
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\section{多星静态模型 CRB}
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\label{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}
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本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线(沿用 \S\ref{subsec:staticBlockModel} 模型),E.2 给出多用户扩展(沿用 \S\ref{sec:multiSatMultiUser} 模型)。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架,差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。
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本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线(沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节的模型),E.2 给出多用户扩展(沿用第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的模型)。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架,差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。
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本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 Fisher 信息矩阵,$\mathbf I$ 表示单位阵,$\mathcal P$ 表示投影矩阵。
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正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 \gls{efim} 时,只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数;噪声方差只进入协方差,并与均值参数 Fisher 块解耦,因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。
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@@ -767,7 +767,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
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\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩,即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。
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正文 \S\ref{subsec:userSeparability} 给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可由此式严格化:当某对 $(k,k')$ 满足
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正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可由此式严格化:当某对 $(k,k')$ 满足
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\begin{equation}
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\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k}
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@@ -2,7 +2,7 @@
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\label{sec:timestampErrCrb}
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本附录沿用正文第~\ref{sec:timestampError} 节的部分相干观测模型,补充关于主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$ 的 \gls{efim} 分块结构、Schur complement 消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架,以及 $K=1, L=2$ 最简情形的解析推导。
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小误差区与大误差区的划分仍按正文 \S\ref{subsec:timestampApplicability} 的定义;下文若无特别说明,默认在小误差区作 Taylor 展开。
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小误差区与大误差区的划分仍按正文第~\ref{subsec:timestampApplicability} 小节的定义;下文若无特别说明,默认在小误差区作 Taylor 展开。
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\subsection{Fisher 信息矩阵分块结构}
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\label{subsec:F1_fimBlockStruct}
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@@ -4,7 +4,7 @@
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第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的根本限制在于:单阵列只有单一孔径,\gls{doa} 估计精度的尺度由该孔径决定(孔径越大、\gls{doa} 的 \gls{crb} 越低;超分辨算法可突破经典瑞利分辨极限,但其精度仍受该 \gls{crb} 约束),单链路 Doppler 只提供一个标量约束。
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当 $L$ 颗卫星从不同轨道位置同时观测同一用户时,几何多样性给出了新的信息维度。以 $\ell$ 索引卫星/链路,同一用户信号在第 $\ell$ 条链路上的 Doppler 记为 $\nu_\ell$(不同于第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节按信源索引、各自独立的 $\nu_k$)。但若把这 $L$ 个 $\nu_\ell$ 都视为独立参数,主参数维度会从 $2$ 膨胀到 $2+L$,无谓地放大搜索空间。
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本节的关键观察是:这 $L$ 个链路 Doppler 受卫星轨道几何约束(\gls{leo} 链路的 Doppler 由轨道相对运动决定,参见~\cite{aliDopplerCharacterizationLEO1998}),并\emph{不}独立——一旦给定全局方向 $\boldsymbol\xi$ 和任意一条参考链路上的 $\nu_{\mathrm{ref}}$,其余链路的 $\nu_\ell$ 由已知几何唯一诱导。
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\emph{参考星参数化}正是利用这一约束把主参数维度压回 $3$ 维的工具。下面先建立全局/局部几何映射与参考星参数化(\S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization}),再给出多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合似然与集中似然准则;详细 \gls{crb} 与 \gls{fim} 推导见\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。本节限定单用户($K=1$)作为多星静态基线,多用户($K\ge1$)推广见第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节。
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\emph{参考星参数化}正是利用这一约束把主参数维度压回 $3$ 维的工具。下面先建立全局/局部几何映射与参考星参数化(第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\ref{subsec:refSatParameterization} 小节),再给出多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合似然与集中似然准则;详细 \gls{crb} 与 \gls{fim} 推导见\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。本节限定单用户($K=1$)作为多星静态基线,多用户($K\ge1$)推广见第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节。
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\subsection{全局/局部 DoA 映射}
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\label{subsec:globalLocalDoaMap}
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@@ -7,7 +7,7 @@
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\subsection{多用户信号模型}
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\label{subsec:multiUserSignalModel}
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设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频,第 $k$ 个用户的全局 \gls{doa} 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$,对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization} 的全局/局部映射与参考星参数化,第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$,其链路 Doppler 由几何映射给出
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设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频,第 $k$ 个用户的全局 \gls{doa} 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$,对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的全局/局部映射与参考星参数化,第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$,其链路 Doppler 由几何映射给出
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\begin{equation}
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\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
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@@ -8,7 +8,7 @@
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\subsection{时间索引与参考星 Doppler rate}
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设观测窗口含 $P$ 帧,帧索引 $p=0,\ldots,P-1$,单帧采样点数为 $T$,帧内局部索引 $t=0,\ldots,T-1$,第 $p$ 帧起始点的离散偏移记为 $\tau_p$,约定 $\tau_0=0$,全局时间索引 $t_{p,t}\triangleq\tau_p+t$。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 的全局/局部映射 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$,并将其视为在整个短观测窗口内保持不变。
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设观测窗口含 $P$ 帧,帧索引 $p=0,\ldots,P-1$,单帧采样点数为 $T$,帧内局部索引 $t=0,\ldots,T-1$,第 $p$ 帧起始点的离散偏移记为 $\tau_p$,约定 $\tau_0=0$,全局时间索引 $t_{p,t}\triangleq\tau_p+t$。沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的全局/局部映射 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$,并将其视为在整个短观测窗口内保持不变。
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参考链路上的归一化 Doppler 与 Doppler rate 分别定义为 $\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$。其余卫星按
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@@ -22,7 +22,7 @@
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\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
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\end{equation}
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由已知几何唯一诱导,沿用 \S\ref{subsec:refSatParameterization} 的参考星参数化。
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由已知几何唯一诱导,沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化。
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\subsection{连续相位多帧信号模型(CP)}
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\label{subsec:dynamicCpModel}
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Reference in New Issue
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