fix(symbol): 清理符号索引死符号与附录 D 局部系数
删除符号索引中正文从未使用的 D_t(ν)(DoA--Doppler 相位对角阵),
实际推导用的是 q_k 的导数 q̇_k 与 T_d。
为带时延下标 τ 的预留符号(τ_ell、τ_ref、f_{τ,ℓ}、η_τ、E_{τ,ℓ})
补一句说明,标明属 DoA--Doppler--delay 扩展、正文未展开,
与波束成形符号同为预留命名空间。
附录 D 随机信号支线的投影系数原记 β_k,与全局俯仰角 β 抵触,
改为局部记号 c_k。
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@@ -195,6 +195,7 @@
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本文统一使用 $\nu$ 表示 Doppler 参数;理论推导和似然函数中的 $\nu$ 默认表示离散归一化角 Doppler,单位为 rad/sample。
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本文统一使用 $\nu$ 表示 Doppler 参数;理论推导和似然函数中的 $\nu$ 默认表示离散归一化角 Doppler,单位为 rad/sample。
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若必须给出物理 Hz 单位,应显式写为 $\nu^{\mathrm{Hz}}$,避免与归一化模型参数混淆。
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若必须给出物理 Hz 单位,应显式写为 $\nu^{\mathrm{Hz}}$,避免与归一化模型参数混淆。
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相关符号汇总于表~\ref{tab:signalDopplerDelayNotation}。
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相关符号汇总于表~\ref{tab:signalDopplerDelayNotation}。
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其中带时延下标 $\tau$ 的符号($\tau_\ell$、$\tau_{\mathrm{ref}}$、$f_{\tau,\ell}$、$\boldsymbol\eta_\tau$、$\mathcal E_{\tau,\ell}$)为 DoA--Doppler--delay 扩展预留,本版本正文不展开,与 \S\ref{subsec:beamformingSymbols} 的波束成形符号同属预留命名空间。
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@@ -229,7 +230,6 @@
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$\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ & 第 $\ell$ 条链路的物理 Doppler,单位为 Hz;仅在需要物理单位解释时使用。\\
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$\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ & 第 $\ell$ 条链路的物理 Doppler,单位为 Hz;仅在需要物理单位解释时使用。\\
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$\dot\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ & 第 $\ell$ 条链路的物理 Doppler rate,单位为 Hz/s;仅在需要物理单位解释时使用。\\
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$\dot\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ & 第 $\ell$ 条链路的物理 Doppler rate,单位为 Hz/s;仅在需要物理单位解释时使用。\\
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$\boldsymbol\nu=[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran$ & 单阵列 DoA--Doppler 模型中所有信源归一化角 Doppler 的集合。\\
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$\boldsymbol\nu=[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran$ & 单阵列 DoA--Doppler 模型中所有信源归一化角 Doppler 的集合。\\
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$\mathbf D_t(\boldsymbol\nu)$ & 单阵列 DoA--Doppler 模型中的 Doppler 相位对角矩阵。\\
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$\tau_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路上的离散时延。 若它由参考星时延诱导得到,应在参考星参数化中说明其映射。\\
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$\tau_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路上的离散时延。 若它由参考星时延诱导得到,应在参考星参数化中说明其映射。\\
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$\delta_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星相对参考星的时间戳误差,单位为采样点数;参考星 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$,其余作为部分相干观测模型中的干扰参数。\\
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$\delta_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星相对参考星的时间戳误差,单位为采样点数;参考星 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$,其余作为部分相干观测模型中的干扰参数。\\
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$\delta\tau_\ell$ & 与 $\delta_\ell$ 对应的物理时间误差(秒),$\delta_\ell=\delta\tau_\ell/T_{\mathrm{s}}$。\\
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$\delta\tau_\ell$ & 与 $\delta_\ell$ 对应的物理时间误差(秒),$\delta_\ell=\delta\tau_\ell/T_{\mathrm{s}}$。\\
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@@ -839,16 +839,16 @@ Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
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\label{eq:steering_vec_diff_orth_decompose}
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\label{eq:steering_vec_diff_orth_decompose}
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\mathbf{d}_k
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\mathbf{d}_k
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= \mathcal{P}_\mathbf{A} \mathbf{d}_k + \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k
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= \mathcal{P}_\mathbf{A} \mathbf{d}_k + \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k
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= \mathbf{A} \beta_k + \mathbf{d}_k^\perp,
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= \mathbf{A} \mathbf c_k + \mathbf{d}_k^\perp,
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\end{equation}
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\end{equation}
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其中 $\beta_k \triangleq \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{d}_k$,$\mathbf{d}_k^\perp = \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k$。
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其中 $\mathbf c_k \triangleq \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{d}_k$,$\mathbf{d}_k^\perp = \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k$。
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将 $\eqref{eq:steering_vec_diff_orth_decompose}$ 代入 $\eqref{eq:par_recv_cov_angle}$,有
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将 $\eqref{eq:steering_vec_diff_orth_decompose}$ 代入 $\eqref{eq:par_recv_cov_angle}$,有
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\begin{equation}
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\mathbf{R}_{\theta_k}
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\mathbf{R}_{\theta_k}
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= \underset{\in \mathrm{span}\{ \mathbf{A}(\ \cdot \ )\mathbf{A}^\Herm \} \subset \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}}{\underbrace{\mathbf{A} \left( \beta_k \mathbf r_{x,k}^\Herm + \mathbf r_{x,k} \beta_k^\Herm \right) \mathbf{A}^\Herm}}
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= \underset{\in \mathrm{span}\{ \mathbf{A}(\ \cdot \ )\mathbf{A}^\Herm \} \subset \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}}{\underbrace{\mathbf{A} \left( \mathbf c_k \mathbf r_{x,k}^\Herm + \mathbf r_{x,k} \mathbf c_k^\Herm \right) \mathbf{A}^\Herm}}
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+
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+
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\underset{\triangleq \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}}}{\underbrace{\mathbf{d}_k^\perp \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \left( \mathbf{d}_k^\perp \right)^\Herm}},
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\underset{\triangleq \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}}}{\underbrace{\mathbf{d}_k^\perp \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \left( \mathbf{d}_k^\perp \right)^\Herm}},
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\end{equation}
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\end{equation}
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Reference in New Issue
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