fix(app-D): CRB 推导去第一人称,统一教材体
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其中 $\text{CRB}(\sigma) = \dfrac{\sigma^2}{MT}$,$\mathbf{H} = \dfrac{2}{\sigma}\mathbf{A}^\Herm \mathbf{A}$,$\bm{\Delta}_t = \dfrac{2}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t$,$\mathcal{I}_{\theta\theta} = \dfrac{2}{\sigma}\displaystyle\sum_{t=1}^T \Re\left[ \mathbf{X}_t^\Herm \mathbf{D}^\Herm \mathbf{D} \mathbf{X}_t \right]$。注意到,由于噪声方差和其他各参量的联合二阶偏导数为零,因此噪声方差这个参量不会通过 Schur 补影响 $\bm{\theta}$,也即可以只考虑除噪声方差之外的参量构成的 \gls{fim}。
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我们的目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$,得到关于 $\bm\theta$ 的等效 Fisher 信息矩阵;随后对该等效 Fisher 信息矩阵求逆,得到 $\bm\theta$ 的 CRB 协方差矩阵。将上式按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块,对应的 \gls{fim} 子块为
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目标是通过 Schur 补消去确定信号快拍 $\{\mathbf x_t\}_{t=1}^T$,得到关于 $\bm\theta$ 的等效 Fisher 信息矩阵;随后对该等效 Fisher 信息矩阵求逆,得到 $\bm\theta$ 的 CRB 协方差矩阵。将上式按 $(\bm\theta,\{\mathbf x_t\})$ 重新分块,对应的 \gls{fim} 子块为
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\begin{equation*}
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\mathcal{I}_{\psi\psi}=\left[ \begin{array}{c:c:c}
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@@ -352,7 +352,7 @@
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\end{array} \right].
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\end{equation*}
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因此,我们有
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因此有
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\begin{align}
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\mathrm{CRB}^{-1}(\bm{\theta}) = \mathcal{I}_{\theta\theta}-\mathcal{I}_{\theta\psi}\mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1}\mathcal{I}_{\psi\theta}
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