content(app-E): 新增经纬度与全局方向界的对应推导

用实化干扰切空间统一 CP/IP 的 Schur 补与秩判据，明确放松 CP 与 IP 的等价条件。

补充传播方向符号、固定方向 rate 映射、参数单位及球面局部误差度量。

AGENTS.md

@@ -10,6 +10,16 @@ LaTeX 学习笔记：相控阵 DoA + Doppler 估计与 CRB 推导。作者 Josh
 - 图片：`fig/`
 - `archive/`：主线之外的历史草稿，仅供查阅，不参与 `\input`。`/archive/` 在 .gitignore 里只是阻止新草稿意外被追踪，已追踪的旧稿继续保留版本史。
 
+## Codex 工作任务
+
+本文件是本仓库面向 Codex 的工作契约。每次开始任务时，先读取本文件并核对当前工作树；以下顺序定义我的默认工作任务：
+
+1. **确认范围与依据**：工作主体限定为本仓库内学习笔记的建模、推导、LaTeX 源文件、文献和图表任务。涉及三仓协同时，仅按下方 `COORDINATION.md` 接口读取必要的共识与 inbox，或写入协议允许的回灌消息，不把其他仓库的局部实现直接当成本仓事实。
+2. **维护通用推导**：围绕联合似然、EFIM/MCRB、可辨识性、聚合族闭式等主题，补全或修正可复用、参数化的模型与推导；把论文专属叙事留在协同文件和研究计划中，不带入正文。
+3. **保持证据边界**：以现有源文件、SPEC 和已验证结果为依据，不编造公式、文献结论或实验结果。推导尚未完成时在对应 `.tex` 文件保留 `% TODO:`，不在本文件写临时占位说明。
+4. **遵守编辑约束**：沿用本文件规定的符号、公式、交叉引用、中文 LaTeX 排版和章节递进规则；删除或重命名文件时保留 Git 历史，并保留与任务无关的用户改动。
+5. **验证并交付**：涉及 `.tex` 的改动完成后按下方 LaTeX 约束编译并检查日志；交付时说明实际改动和验证结果。除非用户另有要求，不推送、创建分支或越过协同接口修改其他仓库。
+
 ---
 
 # 三仓协同（COORDINATION.md 接口）
@@ -41,7 +51,7 @@ doa\_doppler\_est **不是为某篇论文构建的**，而是同一套 DoA 估
 - **单模型推导段用裸主参数符号**：节内只涉及一个模型时，主参数/干扰参数/似然记作裸 $\boldsymbol\eta/\boldsymbol\psi/\boldsymbol\kappa/\mathcal L$，不挂模型下标（stat/dyn/pos/mu/cp/ip 等）；模型下标只在跨模型对照叙述处临时挂回。简单等式对照（如两模型主参数相同）用散文或 `\eqref{}` 引用，不并置双下标。完整带标签定义集中在符号索引 A。
 - **不创造元章节**："放置规则"、"阅读路线图"等元信息不进正文，归入前言或本文件。
 - **语言**：中文为主；公式、符号、文件路径、命令用英文。
-- **推导卡壳留 `% TODO:` 注释**，不编造 placeholder 文字。具体推导待办放在 .tex 源文件里，不进 CLAUDE.md。
+- **推导卡壳留 `% TODO:` 注释**，不编造 placeholder 文字。具体推导待办放在 .tex 源文件里，不进 `AGENTS.md`。
 
 ---
 
@@ -83,7 +93,7 @@ doa\_doppler\_est **不是为某篇论文构建的**，而是同一套 DoA 估
 | `struct` | 文件移动/合并/拆分、`\input` 顺序调整 |
 | `content` | 实质性内容：新增/改写推导、过渡段、文献、图表 |
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-| `meta` | 元文件：CLAUDE.md、.gitignore、.gitattributes |
+| `meta` | 元文件：AGENTS.md、.gitignore、.gitattributes |
 
 ## scope（细分维度）
 

parts/A-symbolIndex.tex

@@ -172,6 +172,9 @@
   $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$ & 第 $k$ 个用户或信源的全局 \gls{doa}；单用户主线中通常省略下标 $k$。\\
   $\mathbf u(\boldsymbol\xi)\in\mathbb R^{3}$ & 全局坐标系下由 $\boldsymbol\xi$ 确定的单位方向向量。\\
   $\mathbf s_\ell\in\mathbb R^{3}$ 和 $\mathbf v_\ell\in\mathbb R^{3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的全局位置向量和速度向量。\\
+  $\boldsymbol\omega_{\mathrm E}\in\mathbb R^3$ & 地球自转角速度向量，在 \gls{eci} 坐标系中表示。\\
+  $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\triangleq[\boldsymbol\omega_{\mathrm E}]_\times\in\mathbb R^{3\times3}$ & 地球自转向量的反对称矩阵，满足 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf x=\boldsymbol\omega_{\mathrm E}\times\mathbf x$。\\
+  $\mathbf v_u(\mathbf p)\in\mathbb R^3$ & 地固静止用户在参考时刻的 ECI 瞬时速度，定义为 $\mathbf v_u(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$；静态位置模型不将其作为独立待估参数。\\
   $\mathbf e_{1,\ell}$、$\mathbf e_{2,\ell}$、$\mathbf e_{3,\ell}$ & 第 $\ell$ 颗卫星的本地阵列坐标基。\\
   $\boldsymbol{\Omega}_\ell\in\mathbb R^{3\times3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星从本地坐标系到全局坐标系的旋转矩阵。因此 $\boldsymbol{\Omega}_\ell^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi)$ 给出全局方向在该卫星本地坐标系下的表达。（注：原符号 $\mathbf{Q}_\ell$ 已改为 $\boldsymbol{\Omega}_\ell$，$\mathbf{Q}$ 保留给波束成形章节的人工噪声协方差矩阵。）\\
   $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}\in\mathbb R^{3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的单位来向向量。\\
@@ -195,7 +198,7 @@
 
 本文统一使用 $\nu$ 表示 Doppler 参数；理论推导和似然函数中的 $\nu$ 默认表示离散归一化角 Doppler，单位为 rad/sample。
 若必须给出物理 Hz 单位，应显式写为 $\nu^{\mathrm{Hz}}$，避免与归一化模型参数混淆。
-下标区分两类 Doppler：$\nu_k$ 为单阵列多信源场景中第 $k$ 个信源的独立 Doppler（$K$ 个自由待估量）；$\nu_\ell$ 为多星单用户场景中第 $\ell$ 条链路的 Doppler，由参考链路 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 经几何映射 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 诱导，仅 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为自由标量。
+下标区分两类 Doppler：$\nu_k$ 为单阵列多信源场景中第 $k$ 个信源的独立 Doppler（$K$ 个自由待估量）；$\nu_\ell$ 为多星单用户场景中第 $\ell$ 条链路的 Doppler，由参考链路 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 经几何映射诱导，仅 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为自由标量。全局方向模型使用 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$，位置模型使用 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$。
 相关符号汇总于表~\ref{tab:signalDopplerDelayNotation}。
 其中带时延下标 $\tau$ 的符号 $\tau_\ell$、$\tau_{\mathrm{ref}}$、$\Delta\tau_\ell$、$\mathcal E_{\tau,\ell}$ 在第~\ref{sec:userPositioning} 节的位置模型中激活，携带传播时延（\gls{tdoa}）通道；其纯方向参数化形式 $f_{\tau,\ell}$、$\boldsymbol\eta_\tau$ 仍作预留。
 
@@ -229,7 +232,13 @@
   $s_p(t)$ & 多帧模型中第 $p$ 帧使用的已知训练序列。\\
   $\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化角 Doppler，单位为 rad/sample。\\
   $\dot\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler rate，单位为 rad/sample$^2$。\\
+  $\ddot\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler-rate 导数，单位为 rad/sample$^3$；仅用于短窗口近似的高阶误差判据。\\
   $\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ & 第 $\ell$ 条链路的物理 Doppler，单位为 Hz；仅在需要物理单位解释时使用。\\
+  $\Delta f_\ell(\boldsymbol\xi)$、$\Delta f_\ell(\mathbf p)$ & 分别为远场全局方向模型、有限距离位置模型中第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的物理 FDOA，单位为 Hz。\\
+  $\epsilon_D$ & 公共传播方向模型的 Doppler 投影符号，取 $-1$；约定见 \eqref{eq:sec3_propagation_steering}。\\
+  $f_\ell,\dot f_\ell$ & 多帧模型的物理 Doppler（Hz）及对物理时间的导数（Hz/s）；$f_\ell$ 与 $\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ 同义。\\
+  $\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}$ & 参考时刻的卫星轨道加速度（m/s$^2$），区别于阵列导向矢量 $\mathbf a_\ell$。\\
+  $t_{\mathrm{ref}}$ & 多帧观测首帧首采样点的物理参考时刻。\\
   $\boldsymbol\nu=[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran$ & 单阵列 \gls{doa}--Doppler 模型中所有信源归一化角 Doppler 的集合。\\
   $\tau_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路上的离散时延。 若它由参考星时延诱导得到，应在参考星参数化中说明其映射。\\
   $\delta_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星相对参考星的时间戳误差，单位为采样点数；参考星 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，其余作为部分相干观测模型中的干扰参数。\\
@@ -240,7 +249,9 @@
 物理 Doppler 与归一化角 Doppler 的关系统一写为
 %
 \begin{equation}
-  \nu = 2\pi\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}.
+  \nu = 2\pi\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}},
+  \qquad
+  \dot\nu=2\pi T_{\mathrm s}^{2}\frac{\mathrm d\nu^{\mathrm{Hz}}}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}.
 \end{equation}
 %
 因此，正文估计参数默认使用 $(\nu,\dot\nu)$，而 $\nu^{\mathrm{Hz}}$ 仅用于物理单位解释。
@@ -287,6 +298,7 @@
   $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ & 第 $\ell$ 条链路相对参考链路的差分传播时延（\gls{tdoa}），由 $\|\mathbf p-\mathbf s_\ell\|_2-\|\mathbf p-\mathbf s_{\ell_{\mathrm{ref}}}\|_2$ 归一化到采样点得到，只由几何决定；$\Delta\tau_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。见第~\ref{subsec:delayPositionInduced} 小节。\\
   $\boldsymbol\eta$ & 将一个模型中的所有待估计主参数堆叠得到的通用参数向量，避免与一般 \gls{doa} 参数 $\bm\theta_k$ 混淆。多星静态与动态多帧主线统一写为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^3$（动态多帧情形 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧）。\\
   $\boldsymbol\eta_{\tau}$ & \gls{doa}--Doppler--delay 扩展模型主参数，可写为 $\boldsymbol\eta_{\tau}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。\\
+  $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}$ & 多星位置模型主参数，定义为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^5$；其中 $\mathbf v_u(\mathbf p)$ 由地固状态确定而非独立参数。\\
   $\nu_{\mathrm{ref},k}$ & 多用户场景中第 $k$ 个用户的参考星归一化 Doppler；$K=1$ 时退化为 $\nu_{\mathrm{ref}}$。\\
   $\tau_{\mathrm{ref},k}$ & 多用户位置模型中第 $k$ 个用户的参考链路总时延自由标量，吸收该用户未知发射时刻；$K=1$ 时退化为 $\tau_{\mathrm{ref}}$。\\
   $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ & 多用户多星静态主参数，定义为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=[\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{3K}$；$K=1$ 时退化为 $\boldsymbol\eta$。下标 $\mathrm{mu}$ 表示 multi-user。\\

parts/E-multiSatStaticCrb.tex

@@ -321,7 +321,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig
 %
 其中 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_domega}；其角度部分记 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\,\left(\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}\right)\in\mathbb C^{T\times2}$，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1$ 即 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}$。
 
-对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\mathbf q_\ell$ 不依赖角度，其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为
+对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$，而 $\mathbf q_\ell$ 通过 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 依赖角度；其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为
 %
 \begin{equation}
   \mathbf D_\ell
@@ -575,6 +575,109 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
 
 至此，单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应：正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然，本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。
 
+\subsubsection{已知高度下的经纬度参数化与方向 CRB}
+\label{subsec:A6_latlon_crb}
+
+前述模型以公共全局方向为未知量。本小节引入已知高度的地表位置映射，比较同一观测模型的坐标变换与有限距离下的逐星视线模型。保持单用户、单观测块、已对齐导频和各星独立未知复增益；几何信息仅通过阵列方向与差分 Doppler 进入，时延通道留在\appref{sec:userPositionCrb}。
+
+记经纬度为 $\boldsymbol\vartheta=[\lambda_{\mathrm g},\varphi_{\mathrm g}]^\Tran$，依次为经度和纬度，均以弧度计。给定高度 $h_0$、地表模型及参考时刻的地固系到惯性系旋转 $\mathbf R_0$，定义
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf p(\boldsymbol\vartheta)=\mathbf R_0\mathbf p_{\mathrm E}(\boldsymbol\vartheta,h_0),
+  \qquad
+  \mathbf P=\frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}\in\mathbb R^{3\times2}.
+  \label{eq:A6_latlon_surface}
+\end{equation}
+%
+这里 $\mathbf p_{\mathrm E}$ 是选定地表的地固坐标映射；椭球模型采用大地纬度及相应高度定义。作为球面特例，令地球半径为 $R_{\mathrm E}$，则
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf p_{\mathrm E}=(R_{\mathrm E}+h_0)
+  \begin{bmatrix}
+    \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\
+    \cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\
+    \sin\varphi_{\mathrm g}
+  \end{bmatrix},\qquad
+  \mathbf P=\mathbf R_0(R_{\mathrm E}+h_0)
+  \begin{bmatrix}
+    -\cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\
+    \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\
+    0 & \cos\varphi_{\mathrm g}
+  \end{bmatrix}.
+  \label{eq:A6_latlon_sphere}
+\end{equation}
+
+为保持与全局方向模型相同的传播约定，定义源到接收星的单位方向 $\mathbf w_\ell=(\mathbf s_\ell-\mathbf p)/r_\ell$，其中 $r_\ell=\|\mathbf s_\ell-\mathbf p\|_2$。它与\appref{sec:userPositionCrb} 的星到用户视线互为相反数。由单位向量求导得到
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf W_\ell\triangleq\frac{\partial\mathbf w_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+  =-\frac{1}{r_\ell}(\mathbf I_3-\mathbf w_\ell\mathbf w_\ell^\Tran)\mathbf P,
+  \qquad
+  \frac{\partial\mathbf w_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+  =\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell.
+  \label{eq:A6_latlon_los_jac}
+\end{equation}
+%
+采用 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 的负空间指数时，第 $m$ 个阵元的角度链式导数为
+%
+\begin{equation}
+  \frac{\partial[\mathbf a_\ell]_m}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+  =-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}[\mathbf a_\ell]_m
+  (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell.
+  \label{eq:A6_latlon_steering_jac}
+\end{equation}
+%
+对地固静止用户，参考时刻的惯性速度为 $\mathbf v_u=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$，其中 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$ 表示地球自转角速度的叉乘矩阵。定义几何链路频移 $b_\ell=-(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf w_\ell/\lambda_{\mathrm c}$，其导数与参考星差分为
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    \mathbf b_{\ell,\vartheta}
+    &\triangleq\frac{\partial b_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+    =\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}\left[
+      -(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf W_\ell
+      +\mathbf w_\ell^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf P\right],\\
+    \nu_\ell&=\nu_{\mathrm{ref}}+2\pi T_{\mathrm s}(b_\ell-b_{\ell_{\mathrm{ref}}}),\qquad
+    \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+    =2\pi T_{\mathrm s}(\mathbf b_{\ell,\vartheta}-\mathbf b_{\ell_{\mathrm{ref}},\vartheta}).
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A6_latlon_doppler_jac}
+\end{equation}
+%
+参考 Doppler 仍为自由参数；地固用户速度的跨链路差分由几何保留。令本小节主参数为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\vartheta^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，按 \eqref{eq:A6_Dl} 的 Kronecker 链式法则组装 $\mathbf D_\ell=\partial\mathbf g_\ell/\partial\boldsymbol\eta^\Tran$，代入 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 即得经纬度与参考 Doppler 的联合 \gls{efim}。其满秩时取逆，角度子块即经纬度 \gls{crb}；若仅保留经纬度为目标，则先对参考 Doppler 取 Schur 补。已知高度通过 \eqref{eq:A6_latlon_surface} 限制参数切空间，高度未知时须增加高度列并按目标选择保留或消元。
+
+\paragraph{同一模型的坐标不变性}
+若同一个均值、噪声及干扰参数模型同时以 $\boldsymbol\xi$ 和 $\boldsymbol\vartheta$ 表示，且 $\boldsymbol\xi=h(\boldsymbol\vartheta)$ 在工作点局部可逆，记 $\mathbf H=\partial\boldsymbol\xi/\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran$、$\mathbf T=\operatorname{diag}(\mathbf H,1)$。由得分的链式法则及相同干扰切空间消元，有
+%
+\begin{equation}
+  \mathcal I_{\mathrm e,\vartheta}=\mathbf T^\Tran\mathcal I_{\mathrm e,\xi}\mathbf T,
+  \qquad
+  \mathbf C_\xi=\mathbf T\mathbf C_\vartheta\mathbf T^\Tran,
+  \qquad \mathbf C=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}.
+  \label{eq:A6_latlon_reparameterization}
+\end{equation}
+%
+此处下标仅区分两套坐标中的联合矩阵。相同物理量的局部无偏界在变换后相同。另一种等价比较是：在有限距离模型中，用参考星视线与已知地表的局部唯一、横截交点来定义方向坐标，再由该交点生成所有卫星的视线；此时仍满足 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization}。地平线切点、多交点分支及角坐标极点需要另选局部参数图。
+
+\paragraph{公共方向近似与比较指标}
+公共方向模型令各星共享 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；有限距离模型则使用 \eqref{eq:A6_latlon_los_jac} 中逐星不同的 $\mathbf w_\ell$ 和 $\mathbf W_\ell$。二者一般不是 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization} 所描述的同一模型换坐标。比较时须统一观测通道、已知高度条件、参考时刻、噪声、干扰参数与输出物理量。若经纬度协方差界的角度块为 $\mathbf C_{\vartheta\vartheta}$，则局部位置均方误差界与参考星方向夹角均方误差界分别为
+%
+\begin{equation}
+  B_{\mathrm p}=\operatorname{tr}(\mathbf P\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf P^\Tran),
+  \qquad
+  B_{\mathrm{dir,ref}}=\operatorname{tr}(\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran).
+  \label{eq:A6_latlon_metrics}
+\end{equation}
+%
+两者单位分别为长度平方与弧度平方，开方后才是均方根界。球面例子中
+%
+\begin{equation}
+  B_{\mathrm p}=(R_{\mathrm E}+h_0)^2
+  \left(\cos^2\varphi_{\mathrm g}[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{11}+[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{22}\right).
+  \label{eq:A6_latlon_sphere_metric}
+\end{equation}
+%
+公共方向的夹角界为 $\cos^2\beta[\mathbf C_{\xi\xi}]_{11}+[\mathbf C_{\xi\xi}]_{22}$。小视差使两类模型接近还需相应的投影后 Jacobian 接近；当最弱信息方向接近零时，小的信息扰动也可导致较大的逆矩阵差异。因此，公共方向与地表模型的界没有普遍的大小排序，接近程度须在统一指标及可辨识工作点上检验。
+
 \subsection{多用户多星 CRB（扩展）}
 \label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}
 
@@ -603,7 +706,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
   \in\mathbb R^{2LK}.
 \end{equation}
 %
-噪声方差参与协方差但与均值参数解耦，同 E.1 不显式出现在 Schur 补中。
+噪声方差参与协方差但与均值参数解耦，同~\ref{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb}~不显式出现在 Schur 补中。
 
 \subsubsection{多用户 Jacobian}
 
@@ -715,7 +818,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
 %
 复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。
 
-\paragraph{逐星投影之和即联合投影}
+\paragraph{独立星噪声与独立增益下的信息可加}
 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 对卫星\emph{求和}的形式并非近似，而是干扰参数块对角性的直接后果，值得单独点明：它意味着``各星先各自消干扰''与``联合消干扰''给出同一个界。各星增益与噪声相互独立，故复增益块 $\mathcal I_{\psi\psi}$ 按卫星块对角，对全体增益的联合 Schur 补\emph{逐星分解}。以 $\mathbf A_\ell$、$\mathbf B_\ell$、$\mathbf C_\ell$ 分别记第 $\ell$ 星的主参数块、主参数--增益交叉块与增益块，则 $\mathcal I_{\eta\eta}=\sum_\ell\mathbf A_\ell$、$\mathcal I_{\eta\psi}=[\mathbf B_0,\ldots,\mathbf B_{L-1}]$、$\mathcal I_{\psi\psi}=\operatorname{blkdiag}(\mathbf C_0,\ldots,\mathbf C_{L-1})$，于是
 %
 \begin{equation}
@@ -725,7 +828,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
   =\sum_\ell\big(\mathbf A_\ell-\mathbf B_\ell\mathbf C_\ell^{-1}\mathbf B_\ell^\Tran\big),
 \end{equation}
 %
-而右端每一项恰是 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的被加项 $2\sigma_\ell^{-1}\Re\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}\}$——\emph{每颗星各自消去本星增益（向 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影）所得的 \gls{efim}}。故``逐星投影之和''恒等于``联合投影''：在本模型（干扰逐星、噪声独立）下，集中式联合处理与``各星报告自身对主参数的 Fisher 贡献再相加''给出同一个界，二者无精度差。这正是``\gls{fim} 跨星可加''在界级的代数来源。
+而右端每一项恰是 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的被加项 $2\sigma_\ell^{-1}\Re\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}\}$——\emph{每颗星各自消去本星增益（向 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影）所得的 \gls{efim}}。故在本模型（干扰逐星、噪声独立）下，集中式联合处理与``各星报告完整本地 Fisher 贡献再相加''给出同一个界；这里的协作收益来自共同参数和几何多样性，不等同于跨星相干合并。若只报告压缩后的本地估计，或显式引入跨星共享的相位/增益关系，结论都需重新按相应统计量或联合干扰块计算。
 
 由此也读出\emph{何时}集中式才严格优于分布式——仅当突破上述两个前提之一：
 \begin{itemize}
@@ -736,7 +839,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
 
 \subsubsection{用户分离的可辨识性条件}
 
-\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性等价于多用户主参数得分（对数似然对参数的梯度）在复增益干扰参数得分所张子空间的正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian''
+\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性应在\emph{实参数意义}下判断：多用户主参数得分在复增益干扰参数得分所张子空间的正交补上的投影，必须对所有实参数扰动保持单射。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian''
 %
 \begin{equation}
   \bar{\mathbf J}_{\eta,\ell}
@@ -744,19 +847,49 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
   \frac{1}{\sqrt{\sigma_\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
 \end{equation}
 %
-\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化得分之间不存在跨星全局共线性''。
-
-正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可严格化为：当某对 $(k,k')$ 满足
+并定义其堆叠矩阵的实化
 %
 \begin{equation}
-  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k}
-  \approx
-  c_\ell\,
-  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k'},
-  \qquad\forall\ell,
+  \bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}
+  \triangleq
+  \begin{bmatrix}
+    \bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran & \cdots & \bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran
+  \end{bmatrix}^{\Tran},
+  \qquad
+  \bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}^{\mathbb R}
+  \triangleq
+  \begin{bmatrix}
+    \Re\{\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}\}\\
+    \Im\{\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}\}
+  \end{bmatrix}.
+  \label{eq:E2_realified_rank}
 \end{equation}
 %
-对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 \gls{efim} 块趋于秩亏，集中似然在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立）。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。
+则
+%
+\begin{equation}
+  \mathcal I_{\mathrm e}\ \text{非奇异}
+  \quad\Longleftrightarrow\quad
+  \operatorname{rank}\big(\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}^{\mathbb R}\big)=3K.
+  \label{eq:E2_identifiability_rank}
+\end{equation}
+%
+若每个 $\mathbf G_\ell$ 满列秩，这一条件至少要求
+$3K\le 2\sum_\ell(M_\ell T-K)$；该维数不等式只是必要条件，不能替代实化 Jacobian 的秩检验。
+
+正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——需要区分模板退化与主参数退化。若某对 $(k,k')$ 满足
+%
+\begin{equation}
+  \rho_{\ell,kk'}
+  \triangleq
+  \frac{\left|\mathbf g_{\ell,k}^{\Herm}\mathbf g_{\ell,k'}\right|}
+       {\|\mathbf g_{\ell,k}\|_2\,\|\mathbf g_{\ell,k'}\|_2}
+  \longrightarrow1,
+  \qquad\forall\ell,
+  \label{eq:E2_template_coherence}
+\end{equation}
+%
+则 $\mathbf G_\ell$ 变得病态，极限相同模板时复增益本身不可分离；但这还不是主参数 \gls{efim} 奇异的充分必要条件。主参数是否退化必须回到式~\eqref{eq:E2_identifiability_rank}，检查投影后导数列的实秩；只有当相应用户的投影导数也无法区分时，集中似然才在该方向形成平坦脊。多星几何的缓解也应表述为：只要至少一颗卫星提供使式~\eqref{eq:E2_identifiability_rank} 恢复满秩的独立投影信息，整体用户参数仍可辨识。
 
 \subsubsection{CRB 表达式}
 
@@ -798,13 +931,11 @@ E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非
   =\big(\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}\big)
    \big(\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\big),
   \qquad
-  \mathbf R_\ell\triangleq\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Q_\ell,
-  \quad
-  \mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K}],
+  r_{\ell,kk'}\triangleq\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'},
   \label{eq:E3_gram_factor}
 \end{equation}
 %
-其中 $r_{\ell,kk'}\triangleq\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}$ 为码互相关、$\mathbf R_\ell$ 为码 Gram。两个用户只要\emph{码}或\emph{空间}之一充分正交即可分离。码正交（$\mathbf R_\ell=\mathbf I$，$r_{\ell,kk'}=0$，$k\neq k'$）时 $\{\mathbf g_{\ell,k}\}$ 逐用户正交，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 逐用户作用、\eqref{eq:E2_Ieff_block} 的非对角块消失，多用户 \gls{efim} 块对角，退回第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户界。短通信导频下 $K$ 个码不可能两两正交，$r_{\ell,kk'}\neq 0$、非对角块非零，留下正比于码互相关的 \gls{mai} 耦合项。但对峰值互相关低的码（如长度 $L_c$ 的 Zadoff--Chu 码不同根，峰值互相关 $\sim 1/\sqrt{L_c}$），$\mathbf R_\ell\approx\mathbf I$，该耦合很小、界的抬升按互相关平方量级、通常可忽略——故\emph{码正交假设下的干净界即准确主线}，本小节只界定放开该假设后界的（很小的）抬升，并给出高负载病态时的替代读数。
+其中 $r_{\ell,kk'}$ 为码互相关，其排成的 $K\times K$ 码 Gram 记 $\mathbf R_\ell$（$[\mathbf R_\ell]_{kk'}=r_{\ell,kk'}$，与噪声协方差 $\mathbf R_n$ 无关）。两个用户只要\emph{码}或\emph{空间}之一充分正交即可分离。码正交（$\mathbf R_\ell=\mathbf I$，$r_{\ell,kk'}=0$，$k\neq k'$）时 $\{\mathbf g_{\ell,k}\}$ 逐用户正交，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 逐用户作用、\eqref{eq:E2_Ieff_block} 的非对角块消失，多用户 \gls{efim} 块对角，退回第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户界。短通信导频下 $K$ 个码不可能两两正交，$r_{\ell,kk'}\neq 0$、非对角块非零，留下正比于码互相关的 \gls{mai} 耦合项。但对峰值互相关低的码（如长度 $L_c$ 的 Zadoff--Chu 码不同根，峰值互相关 $\sim 1/\sqrt{L_c}$），$\mathbf R_\ell\approx\mathbf I$，该耦合很小、界的抬升按互相关平方量级、通常可忽略——故\emph{码正交假设下的干净界即准确主线}，本小节只界定放开该假设后界的（很小的）抬升，并给出高负载病态时的替代读数。
 
 \paragraph{边缘化其余用户的单用户有效界}
 把 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的 $\mathcal I_{\mathrm e}$ 按``用户 $k$''与``其余 $K-1$ 个用户''两组行列分块，记对角块 $\mathcal I_{kk}\in\mathbb R^{3\times 3}$、$\mathcal I_{\bar k\bar k}$ 与交叉块 $\mathcal I_{k\bar k}$；对其余用户取 Schur 补得用户 $k$ 的有效 \gls{efim}
@@ -837,8 +968,8 @@ E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非
 把单用户 \gls{efim} \eqref{eq:A6_Ieff_final} 在 $\mathrm{SNR}_{\ell,k}^{\mathrm{eff}}$ 处求值即得每用户的标量替代界。它刻画一个线性解相关接收机的有效信噪比（承有效干扰／有效带宽分析~\cite{tseLinearMultiuserReceivers1999}），恒可算，是 \eqref{eq:E3_effFim} 的一个便捷、一般偏松的读数（只用码域 $\mathbf R_\ell$、未计阵列的额外分离，故保守）；码正交时 $[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}=1$、无退化。
 
 \paragraph{位置与时间戳版本}
-上述结构只改变 \gls{efim} 的\emph{用户--用户块}，其余机器不变：把主参数 Jacobian 换成位置 Jacobian（\appref{sec:userPositionCrb}）即得含 \gls{mai} 的位置界，再按\appref{sec:timestampErrCrb} 对共享 $\delta_\ell$ 取 Schur 补即得时间戳误差下的 \gls{mai}-aware 位置界。码 Gram 与共享 $\delta$ 是两条独立的耦合来源，分别落在用户--用户块与跨星共享干扰块上。
+上述结构只改变 \gls{efim} 的\emph{用户--用户块}，其余机制不变：把主参数 Jacobian 换成位置 Jacobian（\appref{sec:userPositionCrb}）即得含 \gls{mai} 的位置界，再按\appref{sec:timestampErrCrb} 对共享 $\delta_\ell$ 取 Schur 补即得时间戳误差下的 \gls{mai}-aware 位置界。码 Gram 与共享 $\delta$ 是两条独立的耦合来源，分别落在用户--用户块与跨星共享干扰块上。
 
 \medskip
 
-附录 E 完成了多星静态模型从单用户、多用户到非正交码分（多址干扰）的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 \gls{efim} 在\appref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的 \gls{cp} 和 \gls{ip} \gls{crb} 在\appref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。
+\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 完成了多星静态模型从单用户、多用户到非正交码分（多址干扰）的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 \gls{efim} 在\appref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的 \gls{cp} 和 \gls{ip} \gls{crb} 在\appref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。

parts/F-multiFrameCrb.tex

@@ -33,6 +33,20 @@
 %
 并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/\gls{efim} 结构。
 
+用 K/U 分别标记参考 Doppler rate 已知/未知，三种配置均保留相同的三维主参数。在幅度严格为正的局部工作点，影响均值的干扰参数与实维数为
+%
+\begin{equation}
+  \begin{array}{c|c|c}
+    \text{配置} & \text{干扰参数} & \text{实维数}\\ \hline
+    \text{CP-K} & \{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}\} & L+LP\\
+    \text{CP-U} & \dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}\} & 1+L+LP\\
+    \text{IP-U} & \dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\vartheta_{\ell,p}\},\{\rho_{\ell,p}\} & 1+2LP
+  \end{array}
+  \label{eq:A7_parameter_dimensions}
+\end{equation}
+%
+若各星噪声方差未知，完整干扰参数另增加 $L$ 维，与均值参数 Fisher 块解耦。复增益已由幅度与相位表示，不再额外引入一组独立复路径增益；K 配置固定的是参考 rate，各星相对 rate 仍通过全局方向变化。
+
 \subsubsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号}
 
 沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的\gls{cp} 模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义\gls{cp} 模板
@@ -112,6 +126,24 @@
 %
 其中已利用正文中的几何参数化：$\dfrac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1$，$\dfrac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。
 
+对固定方向模型，角度导数可直接由 \eqref{eq:sec3_dnu_projection} 与 \eqref{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction} 给出：
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    \frac{\partial\nu_\ell}{\partial x}
+    &=\frac{2\pi T_{\mathrm s}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+      \Delta\mathbf v_\ell^\Tran\frac{\partial\mathbf u}{\partial x},\\
+    \frac{\partial\dot\nu_\ell}{\partial x}
+    &=\frac{2\pi T_{\mathrm s}^2\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+      (\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran
+      \frac{\partial\mathbf u}{\partial x},
+      \qquad x\in\{\alpha,\beta\}.
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A7_direction_doppler_derivatives}
+\end{equation}
+%
+所有角度导数以弧度为自变量，$\epsilon_D=-1$；旋转矩阵及参考时刻星历在求参数导数时保持已知。空间导数由 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 与 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 直接链式计算，可避免在局部角极点处使用 atan2/arcsin 导数。
+
 于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为
 %
 \begin{equation}
@@ -224,7 +256,7 @@
   \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},\qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}.
 \end{equation}
 %
-在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度--相位参数化在该点局部可微且相位参数可辨识；若某些块的幅度为零，则对应相位不可辨识，应在数值实现中删除该相位列或采用广义逆形式的 \gls{efim}。
+在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度参数位于非负约束的内部。同星公共相位仍可由该星其他非零幅度块提供信息，不能仅因一个块幅度为零就删除该星相位列；若该星所有块幅度均为零，其公共相位列才整体为零。零幅度边界须另行分析约束与可辨识性，不能仅靠广义逆恢复常规局部 \gls{crb}。
 则第 $(\ell,p)$ 个观测块的均值为
 %
 \begin{equation}
@@ -346,7 +378,7 @@
   \label{eq:A7_Ieff_cp}
 \end{equation}
 %
-其中 \eqref{eq:A7_Ieff_cp} 默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若由于低信噪比、零幅度块或几何退化导致干扰参数块秩亏，则数值仿真中应将 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}$ 替换为 Moore--Penrose 广义逆 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{\dagger}$，并将所得结果解释为广义 \gls{efim}。
+其中 \eqref{eq:A7_Ieff_cp} 默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若内部工作点存在冗余干扰方向，可按实切空间投影使用 Moore--Penrose 广义逆构造广义 Schur 补，见 \eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}。在正定噪声协方差下，有限信噪比降低本身不改变精确秩，数值病态须与结构性秩亏区分。从 \gls{efim} 求完整主参数的逆还须满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。
 从而其 \gls{crb} 为
 %
 \begin{equation}
@@ -499,7 +531,7 @@
   \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}=\zeta^{(r)}_{\ell,p}+j\zeta^{(i)}_{\ell,p}.
 \end{equation}
 %
-这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，因此该模型只是放松了块复系数结构，并未放弃跨帧\gls{cp} 模板。
+这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，但自由块复系数可以吸收每帧常相位；保留绝对时间模板不再保留结构化 \gls{cp} 的同星公共相位约束。该放松模型与 \gls{ip} 的参数对应见 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence}。
 
 令扩展参数向量为
 %
@@ -681,26 +713,43 @@
   \mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\psi}
 \end{equation}
 %
-为白化 Jacobian。则 Schur 补可写成
+为白化 Jacobian。由于主参数与干扰参数均为实参数，先定义实化矩阵
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf A\triangleq
+  \begin{bmatrix}\Re\{\bar{\mathbf J}_{\eta}\}\\\Im\{\bar{\mathbf J}_{\eta}\}\end{bmatrix},
+  \qquad
+  \mathbf B\triangleq
+  \begin{bmatrix}\Re\{\bar{\mathbf J}_{\psi}\}\\\Im\{\bar{\mathbf J}_{\psi}\}\end{bmatrix}.
+  \label{eq:A7_realified_jacobians}
+\end{equation}
+%
+完整均值参数的 Fisher 信息为 $2[\mathbf A,\mathbf B]^\Tran[\mathbf A,\mathbf B]$。对干扰参数执行 Schur 补得到
 %
 \begin{equation}
   \mathcal I_{\mathrm{e}}
   =
-  2\Re\left\{
-    \bar{\mathbf J}_{\eta}^{\Herm}
-    \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
-    \bar{\mathbf J}_{\eta}
-  \right\},
+  2\mathbf A^\Tran\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A,
   \qquad
-  \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
+  \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}
   =
-  \mathbf I-
-  \bar{\mathbf J}_{\psi}
-  \left(\bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}\bar{\mathbf J}_{\psi}\right)^{\dagger}
-  \bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}.
+  \mathbf I-\mathbf B\mathbf B^\dagger.
   \label{eq:A7_efim_projection_interpret}
 \end{equation}
 %
+实化保证干扰扰动的系数为实数。直接向 $\bar{\mathbf J}_{\psi}$ 的复列空间正交补投影，一般会扩大可消去的干扰空间；只有被消去的实切空间本身对乘以 $j$ 封闭时，才可改用复投影，例如逐块自由复增益的实部与虚部成对消元。结构化 \gls{cp} 的实幅度、共享相位及实值 Doppler rate 须按 \eqref{eq:A7_efim_projection_interpret} 处理。
+
+一个最小检验是已知方向与 rate 的单星两帧模型：各帧仅在时间索引 $0,1$ 处观测一个样本，幅度真值均为 $1$，公共相位及参考 Doppler 真值均为 $0$，噪声复方差为 $1$。对参数 $(\nu,\rho_0,\rho_1,\chi)$ 的均值 Jacobian 为
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf J=\begin{bmatrix}0&1&0&j\\j&0&1&j\end{bmatrix},
+  \qquad
+  \mathcal I_{\nu,\mathrm e}=2-\frac{2^2}{4}=1.
+  \label{eq:A7_real_projection_counterexample}
+\end{equation}
+%
+若错误地将两个实幅度列按复系数投影，它们已张成整个 $\mathbb C^2$，会得到零信息，丢失两帧相位差对 Doppler 的约束。
+
 因此，对任意实扰动 $\delta\boldsymbol\eta$，有
 %
 \begin{equation}
@@ -709,8 +758,7 @@
   \delta\boldsymbol\eta
   =
   2\left\|
-    \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
-    \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+    \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
   \right\|_2^2.
   \label{eq:A7_efim_quadratic_projection}
 \end{equation}
@@ -722,8 +770,7 @@
   \quad\Longleftrightarrow\quad
   \exists\ \delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0,
   \quad
-  \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
-  \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+  \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
   =
   \mathbf 0,
   \label{eq:A7_exact_absorbed_direction}
@@ -732,46 +779,51 @@
 也即
 %
 \begin{equation}
-  \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+  \mathbf A\delta\boldsymbol\eta
   \in
-  \operatorname{range}(\bar{\mathbf J}_{\psi}).
+  \operatorname{range}_{\mathbb R}(\mathbf B).
   \label{eq:A7_range_absorbed_direction}
 \end{equation}
 %
 近奇异情形对应于
 %
 \begin{equation}
-  \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+  \mathbf A\delta\boldsymbol\eta
   \approx
-  \bar{\mathbf J}_{\psi}\delta\boldsymbol\psi,
+  \mathbf B\delta\boldsymbol\psi,
+  \qquad \delta\boldsymbol\psi\in\mathbb R^{\dim\boldsymbol\psi_\mu},
   \label{eq:A7_near_nuisance_absorption}
 \end{equation}
 %
-即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由干扰参数扰动近似表示。
+即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由实干扰参数扰动近似表示。对本节三个主参数，常规局部 \gls{crb} 存在的条件为
+%
+\begin{equation}
+  \operatorname{rank}\big(\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\big)=3.
+  \label{eq:A7_real_rank_condition}
+\end{equation}
+%
+只有满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 才能将 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 解释为完整主参数的局部无偏协方差下界。若秩亏，应报告不可辨识方向；$\mathcal I_{\mathrm e}^{\dagger}$ 只用于满足相应可估条件的函数或已声明约束下的子空间，不能把零特征值方向解释为零误差界。
 
 为了把这种近似表示写成可度量的量，定义最小投影角
 %
 \begin{equation}
   \sin^2\theta_{\min}
   \triangleq
-  \min_{\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0}
+  \min_{\mathbf A\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0}
   \frac{
     \left\|
-      \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
-      \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+      \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
     \right\|_2^2
   }{
     \left\|
-      \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+      \mathbf A\delta\boldsymbol\eta
     \right\|_2^2
   }.
   \label{eq:A7_min_projection_angle}
 \end{equation}
 %
 式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，\gls{efim} 在某个方向上的有效信息正比于该方向
-得分在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时，
-$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加，
-则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。
+得分在实干扰子空间正交补上的残余能量。定义域排除了零原始得分；若存在非零 $\delta\boldsymbol\eta$ 使 $\mathbf A\delta\boldsymbol\eta=\mathbf0$，则已直接违反 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。$\theta_{\min}$ 衡量相对于原始得分能量的信息损失比例，实际小特征值还取决于得分尺度；比较条件数时应先统一参数单位并声明尺度归一化。
 
 接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 \gls{efim} 按
 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
@@ -1441,12 +1493,20 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
 
 \subsubsection{与 A7 中放松连续相位结果的关系}
 
-式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 \gls{fim}的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 放松 \gls{cp} 模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}：
-\begin{itemize}
-  \item  \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是\gls{cp} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性；
-  \item 本附录使用的是\gls{ip} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。
-\end{itemize}
-因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``\gls{cp} vs.~\gls{ip}''对比的统计本质。
+在相同 Doppler/rate 映射、噪声和采样配置下，放松 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的模板只相差块常相位：
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    c_{\ell,p}&\triangleq\nu_\ell\tau_p+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell\tau_p^2,\\
+    \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}&=e^{jc_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p},
+    \qquad
+    \zeta^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
+    =\zeta^{\mathrm{cp,rel}}_{\ell,p}e^{jc_{\ell,p}}.
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A8_rel_ip_equivalence}
+\end{equation}
+%
+自由复增益使 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence} 成为可逆的干扰参数重参数化。对主参数求导产生的附加项 $j\left(\dfrac{\partial c_{\ell,p}}{\partial x}\right)\mathbf g_{\ell,p}$ 落在块复增益的干扰切空间内，消元后两种写法给出相同的扩展 \gls{efim}，进一步消去 rate 后也相同。结构化 \gls{cp} 则限制同星各帧共享相位，不能逐块吸收这些常相位；其与 \gls{ip} 的信息差异来自这一约束。
 
 从 \gls{efim} 病态的角度看，\gls{ip} 模型与 放松 \gls{cp} 模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian
 %
@@ -1462,25 +1522,20 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
   \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu}},
 \end{equation}
 %
-则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于
+将这些矩阵按 \eqref{eq:A7_realified_jacobians} 实化为 $\mathbf A^{\mathrm{ip}}$ 与 $\mathbf B^{\mathrm{ip}}$，则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的广义 Schur 补形式为
 %
 \begin{equation}
   \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{e}}
   =
-  2\Re\left\{
-    (\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta})^{\Herm}
-    \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}
-    \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}
-  \right\}.
+  2(\mathbf A^{\mathrm{ip}})^\Tran
+    \big(\mathbf I-\mathbf B^{\mathrm{ip}}(\mathbf B^{\mathrm{ip}})^\dagger\big)
+    \mathbf A^{\mathrm{ip}}.
   \label{eq:A8_IP_EFIM_projection}
 \end{equation}
 %
 因此，\gls{ip} 模型下的弱可辨识方向仍由
-$\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$
-的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 放松 \gls{cp} 模型相比，二者的主要区别不在
-Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个
-$(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共
-Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。
+$\mathcal P^{\perp}_{\mathbf B^{\mathrm{ip}}}\mathbf A^{\mathrm{ip}}$
+的实秩和最小奇异方向决定。仅消去逐块自由复增益时，式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_block_eff} 的复投影是合法简化；将实值 rate 一并消去时须使用实 Schur 补或 \eqref{eq:A8_IP_EFIM_projection}，完整主参数求逆仍需满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。在相同工作点，放开结构化 \gls{cp} 的公共相位约束只会减少或保持有效信息；这不意味着每个归一化耦合系数都会单调增大。
 
 
 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
@@ -1496,3 +1551,63 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合
 因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 \gls{fim}中附加一个与其他参数解耦的对角块。
 
 至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/放松 \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
+
+\subsection{全局方向与参考 Doppler 的局部误差指标}
+\label{subsec:globalDirectionErrorMetrics}
+
+上述信息矩阵以弧度及归一化 Doppler 为参数单位。为将局部界与误差指标对应，设 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 成立，记 $\mathbf C_\eta=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$，其角度子块为 $\mathbf C_\xi$。对局部无偏估计，角度分量方差界为 $[\mathbf C_\eta]_{11}$ 与 $[\mathbf C_\eta]_{22}$；周期方位角误差须先在真值附近展开。标准差界取方差界的平方根，度单位的方差界再乘 $(180/\pi)^2$。
+
+公共方向夹角定义为 $\theta=\arccos(\mathbf u^\Tran\widehat{\mathbf u})$。在零误差处 $\arccos$ 的普通一阶导数不可用；由单位向量的切向变化得到局部二阶度量。令 $\mathbf U=\partial\mathbf u/\partial\boldsymbol\xi^\Tran$，则
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf U^\Tran\mathbf U
+  =\begin{bmatrix}\cos^2\beta&0\\0&1\end{bmatrix}
+  \triangleq\mathbf W_\xi,
+  \qquad
+  \theta^2
+  =\delta\boldsymbol\xi^\Tran\mathbf W_\xi\delta\boldsymbol\xi
+  +o(\|\delta\boldsymbol\xi\|_2^2).
+  \label{eq:A7_direction_local_metric}
+\end{equation}
+%
+因此，小误差、局部无偏条件下，夹角均方误差的局部二阶下界为
+%
+\begin{equation}
+  B_\theta
+  \triangleq\operatorname{tr}(\mathbf W_\xi\mathbf C_\xi)
+  =\cos^2\beta[\mathbf C_\eta]_{11}+[\mathbf C_\eta]_{22}.
+  \label{eq:A7_direction_mse_bound}
+\end{equation}
+%
+$B_\theta$ 的单位为 rad$^2$，对应的夹角均方根误差界为 $\sqrt{B_\theta}$；这不是对任意有限误差或有偏估计器的全局界。有偏估计的局部角度均方误差还含偏差二次项，须使用相应有偏界。在 $\beta=\pm\pi/2$ 处方位角坐标退化，应在二维正交切平面基下重新参数化并构造信息，不能用退化角坐标的伪逆解释完整方向精度。
+
+参考 Doppler 的物理单位界由 \eqref{eq:sec5_physical_normalized_rates} 换算：
+%
+\begin{equation}
+  B_{f_{\mathrm{ref}}}
+  =\frac{[\mathbf C_\eta]_{33}}{(2\pi T_{\mathrm s})^2},
+  \qquad
+  \sqrt{B_{f_{\mathrm{ref}}}}
+  =\frac{\sqrt{[\mathbf C_\eta]_{33}}}{2\pi T_{\mathrm s}}.
+  \label{eq:A7_physical_doppler_bound}
+\end{equation}
+%
+两者单位分别为 Hz$^2$ 与 Hz。若另报告未知参考 rate 的精度，应从消去幅相干扰后的扩展四维协方差 $\mathbf C_{\mathrm{ext}}$ 取第 $4$ 个对角元，再除以 $(2\pi T_{\mathrm s}^2)^2$；rate 已知时不报告其估计方差。
+
+导数实现若采用度、Hz 与 Hz/s，可用一次参数变换统一核对。令
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    \boldsymbol z
+    &=[\alpha_{\mathrm{deg}},\beta_{\mathrm{deg}},f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran,\\
+    \boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}&=\mathbf S\boldsymbol z,\qquad
+    \mathbf S=\operatorname{diag}\left(\frac{\pi}{180},\frac{\pi}{180},
+      2\pi T_{\mathrm s},2\pi T_{\mathrm s}^2\right),\\
+    \mathbf J_z&=\mathbf J_{\eta_{\mathrm{ext}}}\mathbf S,\qquad
+    \mathcal I_z=\mathbf S^\Tran\mathcal I_{\eta_{\mathrm{ext}}}\mathbf S,\qquad
+    \mathbf C_z=\mathbf S^{-1}\mathbf C_{\mathrm{ext}}\mathbf S^{-\Tran}.
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A7_parameter_unit_transform}
+\end{equation}
+%
+K 配置删除 rate 行列即可；这些关系要求比较同一均值模型、同一工作点和同一干扰参数配置。

parts/G-userPositionCrb.tex

@@ -4,8 +4,8 @@
 \begin{mdquote}
 \noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:userPositioning}~节的位置参数化模型 \gls{crb}。整套构造（联合堆叠、复增益 Schur 补、\gls{efim} 投影--Gram）与\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 一致，唯一重写主参数 Jacobian：全局角 $(\alpha,\beta)$ 的导数换成对位置 $\mathbf p$ 的导数。
 \begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
-  \item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}},\tau_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^5$（用户位置与参考 Doppler、参考时延）；\emph{干扰参数} 同附录 E（各星复增益与噪声方差）。
-  \item \emph{本附录给出} 位置对视线与本地角、差分 Doppler、传播时延的链式 Jacobian，及由此的位置 \gls{crb}；其余直接引用附录 E 的结果。
+  \item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^5$（用户位置、参考时延与参考 Doppler）；\emph{干扰参数} 同\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}（各星复增益与噪声方差）。
+  \item \emph{本附录给出} 位置对视线与本地角、含地固用户速度的差分 Doppler、传播时延的链式 Jacobian，及由此的位置 \gls{crb}；其余直接引用\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的结果。
   \item \emph{本附录局部符号} $\mathbf u_\ell$：星 $\ell$ 单位视线；$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$：星--用户位移；$\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}$：时延模板。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
 \end{itemize}
 \end{mdquote}
@@ -32,20 +32,22 @@
 \end{equation}
 %
 其中阵列流形 Jacobian $\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_a_local_jac}。
-Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分 \eqref{eq:sec7_dnu_pos}，有
+Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分 \eqref{eq:sec7_dnu_pos}，并令 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}=\partial\mathbf v_u/\partial\mathbf p$，有
 %
 \begin{equation}
   \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
   =\frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
   =\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
-  \left[\mathbf v_\ell^\Tran\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
-  -\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran\frac{\partial\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\mathbf p}\right]\in\mathbb R^{1\times3},
+  \left[(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u(\mathbf p))^\Tran\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
+  -\mathbf u_\ell^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}
+  -(\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}-\mathbf v_u(\mathbf p))^\Tran\frac{\partial\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\mathbf p}
+  +\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\right]\in\mathbb R^{1\times3},
   \qquad
   \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1,
   \label{eq:H_dnudp}
 \end{equation}
 %
-其中 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$ 正是 \eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——\gls{aoa} 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源，且同样随距离增大而衰减。传播时延通道同理：由 $\tau_\ell=\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与 \eqref{eq:sec7_tau_pos}，
+其中 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$ 正是 \eqref{eq:H_dudp}，而 $\partial\mathbf v_u/\partial\mathbf p=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$ 来自地固用户的 ECI 速度映射。第一、第三项由卫星--用户相对速度加权，因而同时包含视线随位置变化时用户速度投影的导数；显式的地固用户速度映射项则贡献 $-(\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}})^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$。当两条视线趋于共同方向且有限距离投影退化时，这两类项分别退化或抵消。传播时延通道由 $\tau_\ell=\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与 \eqref{eq:sec7_tau_pos} 给出，
 %
 \begin{equation}
   \frac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}
@@ -108,7 +110,7 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与
 几何精度因子（GDOP）即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。
 
 \begin{mdquote}
-\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由 \eqref{eq:H_dudp} 与 \eqref{eq:H_dtaudp}，当所有 $\|\mathbf r_\ell\|_2\to\infty$ 时 $\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$ 且 $\dfrac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$（$\mathbf u_\ell\to\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}$），角度、Doppler 与时延三条通道对位置的灵敏度同时径向退化，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的三列位置导数趋于线性相关，$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}（两个自由标量 $\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作绝对量被 Schur 消去）。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。
+\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由 \eqref{eq:H_dudp} 与 \eqref{eq:H_dtaudp}，在各星视线趋于共同方向的远场极限中，$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$ 且 $\dfrac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$；FDOA 的用户速度项因 $\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}\to\mathbf0$ 而抵消，卫星相对运动项的有限距离投影也随之退化。于是角度、Doppler 与时延三条通道对位置的灵敏度同时径向退化，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的位置导数失去距离方向上的独立性，$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}（两个自由标量 $\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作绝对量被 Schur 消去）。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。
 \end{mdquote}
 
 \subsection{DoA-融合基线的位置 CRB}

parts/H-timestampErrCrb.tex

@@ -382,7 +382,7 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
   \big[\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\big]_t=-\dot s_k\big(t-\tau_{\ell,k}\big)e^{j\nu_{\ell,k}t},
 \end{equation}
 %
-它与附录 G 的时延列 $\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\tau_{\mathrm{ref},k}=\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 相同，并与位置列的时延贡献 $\big(\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\,\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k\big)\otimes\mathbf a_\ell$ 共线。即 $\delta_\ell$ 的均值导数落在该星时延通道所张子空间内。对照 \eqref{eq:F2_jdelta}：\gls{doa} 基线上 $\delta_\ell$ 还经相位 $-j\nu s$ 进入、与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 纠缠；位置模型把相位常数并入 $\zeta_\ell$ 后，$\delta_\ell$ 纯经包络、转而与时延/距离纠缠。
+它与\appref{sec:userPositionCrb} 的时延列 $\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\tau_{\mathrm{ref},k}=\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 相同，并与位置列的时延贡献 $\big(\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\,\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k\big)\otimes\mathbf a_\ell$ 共线。即 $\delta_\ell$ 的均值导数落在该星时延通道所张子空间内。对照 \eqref{eq:F2_jdelta}：\gls{doa} 基线上 $\delta_\ell$ 还经相位 $-j\nu s$ 进入、与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 纠缠；位置模型把相位常数并入 $\zeta_\ell$ 后，$\delta_\ell$ 纯经包络、转而与时延/距离纠缠。
 
 \paragraph{单用户退化}
 单用户（略去 $k$）下每颗非参考星贡献一个时延方向 $\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$；位置经 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 的距离信息恰沿这 $L-1$ 个方向进入 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的位置列。对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 边缘化 \eqref{eq:F2_efim_final} 在每颗星上正交投影掉 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\delta_\ell$ 方向，恰好把位置列的时延贡献整条消去，$\boldsymbol\delta$-边缘化后的位置 \gls{efim} 只剩角度与差分 Doppler 两通道
@@ -414,8 +414,8 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
 消去共享 $\delta_\ell$，把它从混淆中超定地分离。故\emph{多用户共享结构是 $\delta_\ell$ 可辨识、\gls{tdoa} 通道净增益的必要条件}。
 
 \paragraph{一般情形}
-一般 $L$、大误差区按 \appref{subsec:F3_numericalEfim} 数值评估：把含 $\tau_{\mathrm{ref}}$ 列的 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$（附录 G）与 $\boldsymbol\delta$ 块按先复增益、后 $\boldsymbol\delta$ 的顺序 Schur；$\mathbf q^{\mathrm{del}}$ 在导频自相关半宽处的非线性同样使逐星扣除失效、需整体求逆。
+一般 $L$、大误差区按 \appref{subsec:F3_numericalEfim} 数值评估：把含 $\tau_{\mathrm{ref}}$ 列的 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$（\appref{sec:userPositionCrb}）与 $\boldsymbol\delta$ 块按先复增益、后 $\boldsymbol\delta$ 的顺序 Schur；$\mathbf q^{\mathrm{del}}$ 在导频自相关半宽处的非线性同样使逐星扣除失效、需整体求逆。
 
 \medskip
 
-至此，附录 F 给出了时间戳误差的三类结果：作为干扰参数估计时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}（见前述各小节），被估计器忽略时的 \gls{mcrb}（\appref{subsec:F5_mcrb}），以及位置模型下 $\delta_\ell$ 与到达时间差通道同轴混淆、单用户退化而多用户共享结构恢复的秩分析（\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}）。多用户情形与一般 $L$ 的 \gls{efim} 由\appref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为后续数据驱动方法与界对比的基础。
+至此，\appref{sec:timestampErrCrb} 给出了时间戳误差的三类结果：作为干扰参数估计时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}（见前述各小节），被估计器忽略时的 \gls{mcrb}（\appref{subsec:F5_mcrb}），以及位置模型下 $\delta_\ell$ 与到达时间差通道同轴混淆、单用户退化而多用户共享结构恢复的秩分析（\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}）。多用户情形与一般 $L$ 的 \gls{efim} 由\appref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为后续数据驱动方法与界对比的基础。

parts/sec3_multiSatSingleUser.tex

@@ -32,6 +32,8 @@
 %
 其中 $\alpha$ 为全局方位角，$\beta$ 为全局俯仰角；多用户场景下可写为 $\boldsymbol\xi_k$，本节单用户主线中省略下标。
 
+本节及其多帧扩展以参考时刻的 \gls{eci} 系作为全局系，$\mathbf u$ 指向波的传播方向（源到接收端）。角度顺序为 $(\alpha,\beta)$，解析导数均按弧度计算；$\alpha$ 按 $2\pi$ 周期识别，$\beta\in[-\pi/2,\pi/2]$。在极点处方位角坐标退化，应改用局部切平面描述方向扰动。
+
 设第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的位置与速度分别为 $\mathbf s_\ell$ 和 $\mathbf v_\ell$。其本地阵列坐标基为
 %
 \begin{equation}
@@ -88,6 +90,8 @@
 %
 其中 $\mathbf a_\ell(\cdot)$ 的具体形式按第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的 \gls{ula}/\gls{upa} 模板代入即可。后续静态与多帧模型均统一使用该记号；$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 始终只表示\emph{阵列导向矢量}，不再用于轨道动力学中的加速度量。
 
+这里的共享全局方向是远场窄带近似：信源到星座的距离应显著大于星间基线，且在一个观测块内方向、卫星姿态和轨道状态可视为冻结。因此，各卫星共享的是全局方向向量 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$，而不是共享同一组本地方位角与俯仰角；本地角度由各自的已知旋转 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 映射得到。上式用由位置和速度构造的轨道坐标基表示一种已知姿态选择；若实际阵列坐标系与该轨道基不重合，应将 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 换成已标定的 ``阵列本地系到全局系'' 旋转，后续 Jacobian 结构不变。有限距离或明显视差下不应强行使用共同 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$，而应采用第~\ref{sec:userPositioning} 节的位置参数化。
+
 \subsection{参考卫星参数化}
 \label{subsec:refSatParameterization}
 
@@ -108,6 +112,44 @@
 %
 其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍是同一个 $\boldsymbol\eta$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。
 
+在远场公共方向模型下，相对 Doppler 的几何含义可以显式写出。采用正时间指数载波约定，传播平面波在位置 $\mathbf r$、物理时刻 $t_{\mathrm{phys}}$ 的相位含 $2\pi f_{\mathrm c}t_{\mathrm{phys}}-(2\pi/\lambda_{\mathrm c})\mathbf r^\Tran\mathbf u$，其中 $f_{\mathrm c}$ 与 $\lambda_{\mathrm c}$ 分别为载频与波长。因此，第 $m$ 个阵元相对于阵列原点的本地位移 $\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}}$ 对应
+%
+\begin{equation}
+  [\mathbf a_\ell]_m
+  =\exp\left\{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}
+    (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran
+    \boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u\right\}.
+  \label{eq:sec3_propagation_steering}
+\end{equation}
+%
+这与第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的负指数阵列模板一致。接收端沿传播方向运动时，相位时间导数降低，故在基带 $e^{j2\pi f t_{\mathrm{phys}}}$ 约定下取 $\epsilon_D=-1$。保留 $\epsilon_D$ 作为符号约定记号，则第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的物理 FDOA 为
+%
+\begin{equation}
+  \Delta f_\ell(\boldsymbol\xi)
+  \triangleq
+  \frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+  \big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran
+  \mathbf u(\boldsymbol\xi),
+  \qquad
+  \Delta f_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)\equiv0,
+  \label{eq:sec3_fdoa_projection}
+\end{equation}
+%
+其中公共的用户速度投影以及参考链路的绝对 Doppler 已被相减或吸收到 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 中。换算到正文使用的 rad/sample 参数，
+%
+\begin{equation}
+  \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)
+  \triangleq
+  2\pi T_{\mathrm s}\Delta f_\ell(\boldsymbol\xi)
+  \;=\;
+  \frac{2\pi T_{\mathrm s}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+  \big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran
+  \mathbf u(\boldsymbol\xi).
+  \label{eq:sec3_dnu_projection}
+\end{equation}
+%
+因此，$\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 是已知相对速度在共享全局方向上的投影，而不是额外独立的 Doppler 参数。该映射要求相对星历和频率标定可用；若每条链路还含未标定的独立频率偏置，应将该偏置另列为干扰参数，不能继续把 $\Delta\nu_\ell$ 视为已知几何量。若使用反向视线 $\mathbf w=-\mathbf u$，则同一物理模型必须同时改写为空间正指数和相对 Doppler 的正号投影，不能只翻转一个符号。有限距离位置模型另有逐星视线定义，见第~\ref{sec:userPositioning} 节。
+
 给定 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 后，其余卫星的链路参数统一通过几何映射表示为
 %
 \begin{equation}
@@ -122,7 +164,7 @@
   \ell=0,1,\ldots,L-1,
 \end{equation}
 %
-其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 与 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知卫星位置、速度、姿态确定，且 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv\Delta\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。这一组几何映射正是把 $L$ 个原本 ``独立'' 的链路 Doppler 压回到一个标量 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的结构来源。
+其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由式~\eqref{eq:sec3_dnu_projection} 的相对速度投影给出；在动态模型中，$\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 还需由同一局部线性化下的相对加速度或等价星历导数给出。二者均满足 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv\Delta\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。这一组几何映射正是把 $L$ 个原本 ``独立'' 的链路 Doppler 压回到一个标量 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的结构来源。
 
 \subsection{静态多星信号模型}
 \label{subsec:staticBlockModel}

parts/sec5_multiFrameCp.tex

@@ -24,10 +24,88 @@
 %
 由已知几何唯一诱导，沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化。
 
+物理参考时刻 $t_{\mathrm{ref}}$ 取首帧首采样点，物理时间为 $t_{\mathrm{phys}}=t_{\mathrm{ref}}+T_{\mathrm s}t_{p,t}$；卫星速度、加速度与姿态均在同一参考时刻取值。若物理 Doppler 及其对秒的导数分别记为 $f_\ell$（Hz）和 $\dot f_\ell$（Hz/s），则
+%
+\begin{equation}
+  \nu_\ell=2\pi T_{\mathrm s}f_\ell,
+  \qquad
+  \dot\nu_\ell=2\pi T_{\mathrm s}^{2}\dot f_\ell.
+  \label{eq:sec5_physical_normalized_rates}
+\end{equation}
+%
+这里 $\dot\nu_\ell$ 是相对于采样点索引的 Doppler rate。令 $\Delta\mathbf v_\ell=\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}$、$\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}=\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}-\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}^{\mathrm{orb}}$，其中 $\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}$ 为轨道加速度向量。对相对速度投影按物理时间求导，有
+%
+\begin{equation}
+  \frac{\mathrm d}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}\Delta f_\ell
+  =\frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+  \left[
+    (\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran\mathbf u
+    +\Delta\mathbf v_\ell^\Tran
+      \frac{\mathrm d\mathbf u}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}
+  \right].
+  \label{eq:sec5_relative_rate_general}
+\end{equation}
+%
+本节固定全局方向，采用 $\mathrm d\mathbf u/\mathrm d t_{\mathrm{phys}}=\mathbf0$ 的局部模型，故
+%
+\begin{equation}
+  \Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)
+  =\frac{2\pi T_{\mathrm s}^{2}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+  (\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi),
+  \qquad \epsilon_D=-1.
+  \label{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction}
+\end{equation}
+%
+若实际方向随时间变化，被省略的项须另行评估；空间导向变化可忽略本身并不保证该项的相位贡献可忽略。其在局部二次相位中的误差量级为
+%
+\begin{equation}
+  \frac{\pi}{\lambda_{\mathrm c}}
+  \max_\ell\left|
+    \Delta\mathbf v_\ell^\Tran
+    \frac{\mathrm d\mathbf u}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}
+  \right|
+  \left(T_{\mathrm s}\max_{p,t}|t_{p,t}|\right)^2.
+  \label{eq:sec5_direction_rate_phase_error}
+\end{equation}
+%
+采用固定方向近似时，应使 \eqref{eq:sec5_direction_rate_phase_error} 远小于 $1$ rad；各导数量在参考时刻评估，该局部条件与后述高阶时间截断条件分别检查。
+
 \subsection{连续相位多帧信号模型（CP）}
 \label{subsec:dynamicCpModel}
 
-短观测窗口下，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化相位采用二次相位近似：
+这里的短窗口近似首先作用于瞬时 Doppler，而不是直接把相位作一阶截断。以参考时刻为 $t_{p,t}=0$，对瞬时 Doppler 作一阶 Taylor 展开并积分，得到
+%
+\begin{equation}
+  \nu_\ell(\tau)\approx\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau,
+  \qquad
+  \phi_\ell(t_{p,t})
+  \approx
+  \int_0^{t_{p,t}}\nu_\ell(\tau)\,\diff\tau
+  =\nu_\ell t_{p,t}+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2.
+  \label{eq:sec5_first_order_doppler}
+\end{equation}
+%
+短窗口的适用条件是被省略的三阶相位项在整个观测窗口内远小于 $1$ rad，例如
+%
+\begin{equation}
+  \frac{1}{6}\max_\ell|\ddot\nu_\ell|
+  \big(\max_{p,t}|t_{p,t}|\big)^3
+  \ll 1,
+  \label{eq:sec5_third_order_error}
+\end{equation}
+%
+同时阵列姿态与来向变化对空间导向矢量的影响可忽略。若进一步采用静态模型中的常 Doppler 近似，还需满足
+%
+\begin{equation}
+  \frac{1}{2}\max_\ell|\dot\nu_\ell|
+  \big(\max_{p,t}|t_{p,t}|\big)^2
+  \ll 1;
+  \label{eq:sec5_constant_doppler_condition}
+\end{equation}
+%
+否则应保留本节的 Doppler rate。
+
+据此，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化相位采用二次相位近似：
 %
 \begin{equation}
   \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
@@ -206,7 +284,7 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
   \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell.
 \end{equation}
 %
-三种准则的差别在于复增益处理方式：结构化 \gls{cp}（CP-str）保留跨帧公共相位约束；放松 \gls{cp}（CP-rel）放松为每块自由复系数（仍用 \gls{cp} 相位模板）；\gls{ip} 则放弃跨帧绝对相位、采用块独立相位模板。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\appref{sec:multiFrameCrb}。
+结构化 \gls{cp}（CP-str）保留跨帧公共相位约束；放松 \gls{cp}（CP-rel）与 \gls{ip} 均允许每块自由复增益。在相同 Doppler/rate 映射与观测配置下，后两者的时间模板仅相差可被块增益吸收的常相位，集中准则和主参数 \gls{efim} 相同，参数对应见 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence}。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\appref{sec:multiFrameCrb}。
 
 \subsection{Doppler rate 处理：CP-K 与 CP-U}
 
@@ -251,7 +329,7 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
 \end{equation}
 %
 因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 \gls{doa}--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler \gls{crb} 仍受限。
-$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。
+$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。需要区分两种增益来源：静态多星模型在各星复增益独立、噪声独立时只产生逐星投影后的 Fisher 信息相加，并不自动产生跨星相干合并增益；多帧 \gls{cp} 的相干收益来自同一颗卫星跨帧共享公共相位。只有在跨星相位/增益关系已知或被明确建模时，才可另外讨论跨星相干增益。
 
 \subsection{周期多帧观测下的 Doppler 梳状多峰与齿间模糊}
 \label{subsec:fdCombToothAmbiguity}

parts/sec6_userPositioning.tex

@@ -9,7 +9,7 @@
 \subsection{位置参数化与逐星视线映射}
 \label{subsec:positionLosMap}
 
-设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（\gls{eci} 坐标系），在单观测块内视为常量（与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节``\gls{doa} 块内不变''同级的假设；用户运动的 Doppler 效应仍按既有模型折叠进 $\nu_{\mathrm{ref}}$，不升格为显式速度参数）。
+设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（\gls{eci} 坐标系）。本节主模型限定为在地固坐标系中静止的用户；将该状态写入 \gls{eci} 后，其参考时刻的瞬时速度为 $\mathbf v_u(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p=\boldsymbol\omega_{\mathrm E}\times\mathbf p$。单观测块内冻结的是参考时刻的几何状态与该局部速度，而不是将 \gls{eci} 用户速度置零；模型不另行估计用户速度、加速度或移动用户状态。
 第 $\ell$ 颗卫星（参考时刻位置 $\mathbf s_\ell$，沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节）到用户的视线向量与单位视线方向为
 %
 \begin{equation}
@@ -37,7 +37,7 @@
 也即\emph{每阵列内部仍是平面波模型，阵列导向 $\mathbf a_\ell$ 的形式一字不改}；变的只是``本地角由 $\mathbf p$ 而非 $\boldsymbol\xi$ 诱导''。
 
 \begin{mdquote}
-\textbf{远场退化。} 固定全局方向 $\mathbf u_0$，令 $\mathbf p=\mathbf s_{\ell_{\mathrm{ref}}}+R\,\mathbf u_0$ 并取 $R\to\infty$，则对所有 $\ell$ 有 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\to\mathbf u_0$，逐星视线趋于共向，第~\ref{sec:userPositioning} 节模型退化为第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型。反之，有限距离下 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\neq\mathbf u_{\ell'}(\mathbf p)$ 的视差是距离维的角度信息来源。
+\textbf{远场退化。} 取各星视线趋于共同方向 $\mathbf u_0$ 的远场极限，即 $\mathbf u_\ell(\mathbf p),\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\to\mathbf u_0$。由于地固用户在参考时刻对各链路具有同一个局部速度，FDOA 中的公共用户速度投影在共同方向极限中相减抵消；同时逐星视差消失，第~\ref{sec:userPositioning} 节模型退化为第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型。反之，有限距离下 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\neq\mathbf u_{\ell'}(\mathbf p)$ 的视差是距离维的角度信息来源。
 \end{mdquote}
 
 \subsection{链路 Doppler 的位置诱导}
@@ -49,17 +49,29 @@
   \qquad \Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\equiv0.
 \end{equation}
 %
-与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节由方向 $\boldsymbol\xi$ 诱导不同，几何差分现在由\emph{用户位置}与已知星历诱导。每条链路的几何归一化 Doppler 正比于卫星沿视线的径向速度 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_\ell$，取其相对参考链路之差，得
+与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节由方向 $\boldsymbol\xi$ 诱导不同，几何差分现在由\emph{用户位置}与已知星历诱导。先用物理 Hz 表示卫星相对于用户的径向速度差分，定义第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的 FDOA 为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:sec7_df_pos}
+  \Delta f_\ell(\mathbf p)
+  =\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}
+  \left[\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)
+  -\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)\right],
+  \qquad \Delta f_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\equiv0,
+\end{equation}
+%
+其中 $\Delta f_\ell$ 的单位为 Hz。正文统一使用 rad/sample 的归一化 Doppler，故
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:sec7_dnu_pos}
   \Delta\nu_\ell(\mathbf p)
+  =2\pi T_{\mathrm s}\Delta f_\ell(\mathbf p)
   =\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
-  \big[\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big],
+  \left[\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)
+  -\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)\right],
 \end{equation}
 %
-其中整体符号取决于上行/去向约定，不影响 \gls{crb}（Fisher 信息对此不变）。关键是 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 经 $\mathbf p-\mathbf s_\ell$ 依赖\emph{完整位置}（含距离），故 $\Delta\nu_\ell$ 不只约束方向、也约束距离。
-参考链路总 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作自由标量，继续吸收参考链路绝对 range-rate 与用户载频/钟偏；与既有模型一致，用户自身运动只通过 $\nu_{\mathrm{ref}}$（多帧情形再加 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$）进入，其对差分 Doppler 的残余贡献按静态块近似忽略。由此绝对 Doppler 不进入几何，几何只通过差分 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 约束 $\mathbf p$。
+其中整体符号取决于上行/去向约定，不影响 \gls{crb}（Fisher 信息对此不变）。关键是 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 与 $\mathbf v_u(\mathbf p)$ 均由参考时刻位置决定，故 $\Delta\nu_\ell$ 不只约束方向、也约束距离。参考链路总 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作自由标量，吸收参考链路的绝对 Doppler、用户载频与钟偏；由地固状态确定的用户速度不再被整体吸收到 $\nu_{\mathrm{ref}}$，其跨链路差分投影保留在 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 中。由此绝对 Doppler 不进入几何，几何只通过包含相对速度的差分 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 约束 $\mathbf p$。
 
 \subsection{传播时延的位置诱导与到达时间差}
 \label{subsec:delayPositionInduced}