content(app-H): 新增信息参考与局部响应复核报告

只读核对完整叠加波形、码分近似、Gaussian 摘要及固定尺度融合。
明确有限参考用途与可选信息核对的条件，核对单位、符号、粗参考与两臂代价。
给出局部参数及残差余项、成本差能量关系，并记录输入绑定与接口待核项。

报告以读取副本 SHA-256 绑定；未访问最终 test、未运行新数值或优化。
未修改既有推导、论文或代码，后续局部求解仍须阶段验收。

AGENTS.md

@@ -10,6 +10,16 @@ LaTeX 学习笔记：相控阵 DoA + Doppler 估计与 CRB 推导。作者 Josh
 - 图片：`fig/`
 - `archive/`：主线之外的历史草稿，仅供查阅，不参与 `\input`。`/archive/` 在 .gitignore 里只是阻止新草稿意外被追踪，已追踪的旧稿继续保留版本史。
 
+## Codex 工作任务
+
+本文件是本仓库面向 Codex 的工作契约。每次开始任务时，先读取本文件并核对当前工作树；以下顺序定义我的默认工作任务：
+
+1. **确认范围与依据**：工作主体限定为本仓库内学习笔记的建模、推导、LaTeX 源文件、文献和图表任务。涉及三仓协同时，仅按下方 `COORDINATION.md` 接口读取必要的共识与 inbox，或写入协议允许的回灌消息，不把其他仓库的局部实现直接当成本仓事实。
+2. **维护通用推导**：围绕联合似然、EFIM/MCRB、可辨识性、聚合族闭式等主题，补全或修正可复用、参数化的模型与推导；把论文专属叙事留在协同文件和研究计划中，不带入正文。
+3. **保持证据边界**：以现有源文件、SPEC 和已验证结果为依据，不编造公式、文献结论或实验结果。推导尚未完成时在对应 `.tex` 文件保留 `% TODO:`，不在本文件写临时占位说明。
+4. **遵守编辑约束**：沿用本文件规定的符号、公式、交叉引用、中文 LaTeX 排版和章节递进规则；删除或重命名文件时保留 Git 历史，并保留与任务无关的用户改动。
+5. **验证并交付**：涉及 `.tex` 的改动完成后按下方 LaTeX 约束编译并检查日志；交付时说明实际改动和验证结果。除非用户另有要求，不推送、创建分支或越过协同接口修改其他仓库。
+
 ---
 
 # 三仓协同（COORDINATION.md 接口）
@@ -41,7 +51,7 @@ doa\_doppler\_est **不是为某篇论文构建的**，而是同一套 DoA 估
 - **单模型推导段用裸主参数符号**：节内只涉及一个模型时，主参数/干扰参数/似然记作裸 $\boldsymbol\eta/\boldsymbol\psi/\boldsymbol\kappa/\mathcal L$，不挂模型下标（stat/dyn/pos/mu/cp/ip 等）；模型下标只在跨模型对照叙述处临时挂回。简单等式对照（如两模型主参数相同）用散文或 `\eqref{}` 引用，不并置双下标。完整带标签定义集中在符号索引 A。
 - **不创造元章节**："放置规则"、"阅读路线图"等元信息不进正文，归入前言或本文件。
 - **语言**：中文为主；公式、符号、文件路径、命令用英文。
-- **推导卡壳留 `% TODO:` 注释**，不编造 placeholder 文字。具体推导待办放在 .tex 源文件里，不进 CLAUDE.md。
+- **推导卡壳留 `% TODO:` 注释**，不编造 placeholder 文字。具体推导待办放在 .tex 源文件里，不进 `AGENTS.md`。
 
 ---
 
@@ -83,7 +93,7 @@ doa\_doppler\_est **不是为某篇论文构建的**，而是同一套 DoA 估
 | `struct` | 文件移动/合并/拆分、`\input` 顺序调整 |
 | `content` | 实质性内容：新增/改写推导、过渡段、文献、图表 |
 | `fix` | 修错：typo、公式错、断引用、缺词条 |
-| `meta` | 元文件：CLAUDE.md、.gitignore、.gitattributes |
+| `meta` | 元文件：AGENTS.md、.gitignore、.gitattributes |
 
 ## scope（细分维度）
 

check_finite_range_bearing.py

@@ -0,0 +1,317 @@
+"""Deterministic formula checks for Appendices F/G; run: python check_finite_range_bearing.py.
+
+Synthetic sphere and known trajectories only: no constellation or MC validation.
+"""
+import numpy as np
+
+RADIUS = 6_371_000.0
+WAVELENGTH = 10.0
+SPIN = np.array([[0., -7.292115e-5, 0.], [7.292115e-5, 0., 0.], [0., 0., 0.]])
+TIMES = np.array([0., .13, .29, .51, .83])
+DESIGN = np.column_stack((np.ones(len(TIMES)), TIMES))
+ARRAY = np.array([[0., 0., 0.], [1., 0., 0.], [0., 1., 0.], [1., 1., 0.]])
+
+
+def direction(x):
+    a, b = x
+    ca, sa, cb, sb = np.cos(a), np.sin(a), np.cos(b), np.sin(b)
+    return np.array([cb*ca, cb*sa, sb]), np.array([
+        [-cb*sa, -sb*ca], [cb*ca, -sb*sa], [0., cb]])
+
+
+GROUND, _ = direction(np.array([.35, .42]))
+GROUND *= RADIUS
+SATELLITES = np.array([GROUND*1.10 + [90_000., -80_000., 40_000.],
+                      GROUND*1.11 + [-210_000., 230_000., -60_000.]])
+VELOCITIES = np.array([[1100., 6800., -1400.], [-1800., 6200., 2700.]])
+ACCELERATIONS = np.array([[-4., -3., -1.], [-3., -2., -2.]])
+
+
+def bearing(p, satellite):
+    e = p - satellite
+    e /= np.linalg.norm(e)
+    return np.array([np.arctan2(e[1], e[0]), np.arcsin(e[2])])
+
+
+def intersection(x):
+    e, E = direction(x)
+    s = SATELLITES[0]
+    disc = (s@e)**2 - (s@s - RADIUS**2)
+    assert disc > 0, "Ray is tangent or misses the surface"
+    d = -s@e - np.sqrt(disc)
+    assert d > 0
+    p = s + d*e
+    n = p / RADIUS
+    assert n@e < 0, "Expected near visible branch"
+    P = d*(np.eye(3) - np.outer(e, n)/(n@e))@E
+    return p, P
+
+
+def geometry(x, t, ell):
+    p0, P0 = intersection(x)
+    angle = 7.292115e-5*t
+    c, s = np.cos(angle), np.sin(angle)
+    B = np.array([[c, -s, 0.], [s, c, 0.], [0., 0., 1.]])
+    p, P = B@p0, B@P0
+    v = VELOCITIES[ell] + t*ACCELERATIONS[ell] - SPIN@p
+    a = ACCELERATIONS[ell] - SPIN@SPIN@p
+    Vx, Ax = -SPIN@P, -SPIN@SPIN@P
+    rvec = SATELLITES[ell] + t*VELOCITIES[ell] + .5*t*t*ACCELERATIONS[ell] - p
+    r = np.linalg.norm(rvec)
+    w = rvec/r
+    S = np.eye(3) - np.outer(w, w)
+    W = -S@P/r
+    wd = S@v/r
+    rx = -w@P
+    WD = np.column_stack([
+        -(np.outer(W[:, j], w) + np.outer(w, W[:, j]))@v/r
+        + S@Vx[:, j]/r - wd*rx[j]/r for j in range(2)
+    ])
+    b = -v@w/WAVELENGTH
+    bd = -(a@w + v@wd)/WAVELENGTH
+    bx = -(w@Vx + v@W)/WAVELENGTH
+    bdx = -(w@Ax + a@W + wd@Vx + v@WD)/WAVELENGTH
+    return w, W, wd, WD, b, bx, bd, bdx
+
+
+def mixed_motion(x, t, ell):
+    """Synthetic non-spin rotation: deliberately not an astronomical model."""
+    p0, P0 = intersection(x)
+    a, k = 7.292115e-5*t, 3e-5
+    z = np.array([[np.cos(a), -np.sin(a), 0.],
+                  [np.sin(a), np.cos(a), 0.], [0., 0., 1.]])
+    a = k*t
+    q = np.array([[1., 0., 0.], [0., np.cos(a), -np.sin(a)],
+                  [0., np.sin(a), np.cos(a)]])
+    generator = np.array([[0., 0., 0.], [0., 0., -k], [0., k, 0.]])
+    B = z@q
+    Bd = SPIN@B + B@generator
+    C, Cd = SPIN@B, SPIN@Bd
+    p, pd, vu = B@p0, Bd@p0, C@p0
+    s = SATELLITES[ell] + t*VELOCITIES[ell] + .5*t*t*ACCELERATIONS[ell]
+    vs = VELOCITIES[ell] + t*ACCELERATIONS[ell]
+    r = np.linalg.norm(s-p)
+    w = (s-p)/r
+    S = np.eye(3)-np.outer(w, w)
+    wd = S@(vs-pd)/r
+    proxy = S@(vs-vu)/r
+    W = -S@B@P0/r
+    b = -(vs-vu)@w/WAVELENGTH
+    bg = -(vs-pd)@w/WAVELENGTH
+    bd = -((ACCELERATIONS[ell]-Cd@p0)@w + (vs-vu)@wd)/WAVELENGTH
+    bx = -(-w@C@P0+(vs-vu)@W)/WAVELENGTH
+    return p, pd, vu, w, wd, proxy, b, bg, bd, bx
+
+
+def coefficients(x, ell):
+    data = [geometry(x, t, ell) for t in TIMES]
+    ref = [geometry(x, t, 0) for t in TIMES]
+    c = np.linalg.lstsq(DESIGN, [a[4]-b[4] for a, b in zip(data, ref)], rcond=None)[0]
+    Cx = np.linalg.lstsq(DESIGN, [a[5]-b[5] for a, b in zip(data, ref)], rcond=None)[0]
+    return c, Cx
+
+
+def mean_and_jacobian(x, ref_coeff, ell):
+    c, Cx = coefficients(x, ell)
+    f, rate = ref_coeff + c
+    w, W = geometry(x, 0., ell)[:2]
+    steering = np.exp(-2j*np.pi*ARRAY@w/WAVELENGTH)
+    Ax = (-2j*np.pi/WAVELENGTH)*steering[:, None]*(ARRAY@W)
+    q = np.exp(2j*np.pi*(f*TIMES + .5*rate*TIMES**2))
+    qx = q[:, None]*2j*np.pi*(TIMES[:, None]*Cx[0] + .5*TIMES[:, None]**2*Cx[1])
+    Jx = np.column_stack([np.kron(q, Ax[:, j])+np.kron(qx[:, j], steering) for j in range(2)])
+    Jf = np.kron(2j*np.pi*TIMES*q, steering)
+    Jr = np.kron(1j*np.pi*TIMES**2*q, steering)
+    return np.kron(q, steering), np.column_stack((Jx, Jf, Jr))
+
+
+def finite_difference(f, x, step=2e-7):
+    return np.stack([(f(x+step*e)-f(x-step*e))/(2*step) for e in np.eye(len(x))], axis=-1)
+
+
+def check(name, actual, expected, tolerance=2e-7):
+    error = np.linalg.norm(actual-expected)/max(1., np.linalg.norm(expected))
+    assert error < tolerance, (name, error, tolerance)
+    print(f"{name}: relative error {error:.3g}")
+
+
+def main():
+    x = bearing(GROUND, SATELLITES[0])
+    p, P = intersection(x)
+    check("ray intersection", p, GROUND)
+    check("intersection Jacobian", P, finite_difference(lambda x: intersection(x)[0], x))
+    latlon = np.array([.35, .42])
+    _, Pll = direction(latlon)
+    Pll *= RADIUS
+    e = (p-SATELLITES[0])/np.linalg.norm(p-SATELLITES[0])
+    K = np.array([[-e[1]/(e[0]**2+e[1]**2), e[0]/(e[0]**2+e[1]**2), 0.],
+                  [0., 0., 1/np.sqrt(1-e[2]**2)]])
+    H = K@(np.eye(3)-np.outer(e, e))@Pll/np.linalg.norm(p-SATELLITES[0])
+    check("bearing/latlon tangent identity", P@H, Pll)
+    for ell in range(2):
+        w, W, wd, WD, b, bx, bd, bdx = geometry(x, .41, ell)
+        for name, index, jac in [("LOS", 0, W), ("LOS time derivative", 2, WD),
+                                 ("Doppler", 4, bx), ("rate", 6, bdx)]:
+            check(name, jac, finite_difference(lambda x: geometry(x, .41, ell)[index], x))
+        step = 1e-3
+        check("rate time derivative", bd,
+              (geometry(x, .41+step, ell)[4]-geometry(x, .41-step, ell)[4])/(2*step))
+    c, Cx = coefficients(x, 1)
+    check("OLS coefficient Jacobian", Cx, finite_difference(lambda x: coefficients(x, 1)[0], x))
+    z = np.r_[x, 20., .8]
+    means, jac = zip(*(mean_and_jacobian(x, z[2:], ell) for ell in range(2)))
+    J = np.vstack(jac)
+    check("CP full mean Jacobian", J,
+          finite_difference(lambda z: np.concatenate([mean_and_jacobian(z[:2], z[2:], ell)[0]
+                                                      for ell in range(2)]), z), 2e-6)
+    T = np.zeros((4, 4))
+    T[:2, :2] = H
+    T[2:, 2:] = np.eye(2)
+    Jll = finite_difference(lambda z: np.concatenate([
+        mean_and_jacobian(bearing(RADIUS*direction(z[:2])[0], SATELLITES[0]), z[2:], ell)[0]
+        for ell in range(2)]), np.r_[latlon, z[2:]], step=1e-8)
+    check("direct versus chain Jacobian", J@T, Jll, 2e-6)
+    A = np.vstack((J.real, J.imag))*np.sqrt(2)
+    nuisance = np.zeros((len(A), 4))
+    for ell in range(2):
+        gain = np.concatenate([means[i] if i == ell else np.zeros_like(means[i]) for i in range(2)])
+        nuisance[:, 2*ell] = np.r_[gain.real, gain.imag]*np.sqrt(2)
+        nuisance[:, 2*ell+1] = np.r_[-gain.imag, gain.real]*np.sqrt(2)
+    projected = (np.eye(len(A))-nuisance@np.linalg.pinv(nuisance))@A
+    info = projected.T@projected
+    assert np.linalg.matrix_rank(projected) == 4
+    cov = np.linalg.inv(info)
+    check("full covariance reparameterization", T@np.linalg.inv(T.T@info@T)@T.T, cov)
+    # Appendix F: structured CP has real frame amplitudes and one phase per star.
+    for selected in [[0], [0, 1]]:
+        Jcp = np.vstack([jac[ell] for ell in selected])
+        N = np.zeros((len(Jcp), len(selected)*(len(TIMES)+1)), dtype=complex)
+        block_size = len(TIMES)*len(ARRAY)
+        for star, ell in enumerate(selected):
+            rows = slice(star*block_size, (star+1)*block_size)
+            N[rows, star*(len(TIMES)+1)] = 1j*means[ell]
+            for frame in range(len(TIMES)):
+                block = slice(star*block_size+frame*len(ARRAY),
+                              star*block_size+(frame+1)*len(ARRAY))
+                N[block, star*(len(TIMES)+1)+frame+1] = means[ell][frame*len(ARRAY):(frame+1)*len(ARRAY)]
+        real_N = np.vstack((N.real, N.imag))
+        scores = np.vstack((Jcp.real, Jcp.imag))*np.sqrt(2)
+        residual_scores = scores-real_N@np.linalg.lstsq(real_N, scores, rcond=None)[0]
+        I = residual_scores.T@residual_scores
+        K, coupling, rate_info = I[:3, :3], I[:3, 3], I[3, 3]
+        CK = np.linalg.inv(K)
+        CU = np.linalg.inv(K-np.outer(coupling, coupling)/rate_info)
+        v = CK@coupling
+        h = rate_info-coupling@v
+        assert h > 0, "K/U covariance identities require identifiable rate"
+        check("CP K/U full covariance update", CU-CK, np.outer(v, v)/h, 1e-9)
+        q = coupling[:2]-K[:2, 2]*coupling[2]/K[2, 2]
+        G = K[:2, :2]-np.outer(K[:2, 2], K[:2, 2])/K[2, 2]
+        check("partial angle-rate coupling", v[:2], np.linalg.solve(G, q), 1e-9)
+        metric = np.diag([np.cos(x[1])**2, 1.])
+        check("CP K/U angular metric update", np.trace(metric@(CU[:2, :2]-CK[:2, :2])),
+              v[:2]@metric@v[:2]/h, 1e-9)
+        if len(selected) == 1:
+            check("SS spatial-temporal orthogonality", I[:2, 2:], np.zeros((2, 2)), 1e-10)
+            check("SS exact angular subblock equality", CU[:2, :2], CK[:2, :2], 1e-10)
+            assert CU[2, 2] > CK[2, 2], "First-sample time origin couples frequency and rate"
+    # Nonzero EFIM loss can affect only Doppler after the covariance update.
+    K = np.array([[3., .3, .5], [.3, 2., -.4], [.5, -.4, 4.]])
+    CK = np.linalg.inv(K)
+    for v in [np.array([0., 0., .7]), np.array([.2, -.3, .7])]:
+        coupling = K@v
+        rate_info = coupling@v+2.
+        CU = np.linalg.inv(K-np.outer(coupling, coupling)/rate_info)
+        check("synthetic rate-only covariance update", CU-CK, np.outer(v, v)/2., 1e-12)
+        assert np.linalg.norm(coupling[:2]) > 0
+        if np.linalg.norm(v[:2]) == 0:
+            check("nonzero EFIM loss with equal angle bounds", CU[:2, :2], CK[:2, :2], 1e-12)
+            assert CU[2, 2] > CK[2, 2]
+        else:
+            assert np.trace(metric@(CU[:2, :2]-CK[:2, :2])) > 0
+    delta = .19
+    shifted = TIMES-delta
+    for ell in range(2):
+        f, rate = z[2:]+coefficients(x, ell)[0]
+        phase0 = 2*np.pi*(f*TIMES+.5*rate*TIMES**2)
+        phase1 = 2*np.pi*(f*delta+.5*rate*delta**2
+                          +(f+delta*rate)*shifted+.5*rate*shifted**2)
+        check("epoch phase identity", np.exp(1j*phase0), np.exp(1j*phase1))
+    def switch(z):
+        p, _ = intersection(z[:2])
+        return np.r_[bearing(p, SATELLITES[1]), z[2:]+coefficients(z[:2], 1)[0]]
+    Tref = np.eye(4)
+    Tref[:2, :2] = finite_difference(lambda x: bearing(intersection(x)[0], SATELLITES[1]), x)
+    Tref[2:, :2] = Cx
+    check("reference-change full Jacobian", Tref, finite_difference(switch, z), 2e-6)
+    for ell in range(2):
+        p, pd, vu, w, wd, proxy, b, bg, bd, bx = mixed_motion(x, .41, ell)
+        step = 1e-3
+        check("mixed position velocity", pd,
+              (mixed_motion(x, .41+step, ell)[0]-mixed_motion(x, .41-step, ell)[0])/(2*step),
+              2e-6)
+        check("mixed true LOS time derivative", wd,
+              (mixed_motion(x, .41+step, ell)[3]-mixed_motion(x, .41-step, ell)[3])/(2*step))
+        check("mixed node Doppler Jacobian", bx,
+              finite_difference(lambda x: mixed_motion(x, .41, ell)[6], x))
+        check("mixed Doppler time derivative", bd,
+              (mixed_motion(x, .41+step, ell)[6]-mixed_motion(x, .41-step, ell)[6])/(2*step))
+        check("mixed Doppler discrepancy", b-bg, (vu-pd)@w/WAVELENGTH)
+        check("mixed proxy LOS discrepancy", proxy-wd,
+              -(np.eye(3)-np.outer(w, w))@(vu-pd)/np.linalg.norm(
+                  SATELLITES[ell]+.41*VELOCITIES[ell]+.5*.41**2*ACCELERATIONS[ell]-p))
+        assert np.linalg.norm(vu-pd) > 1, "Fixture must expose the mixed protocol"
+        e = -w
+        check("orientation steering identity",
+              np.exp(-2j*np.pi*ARRAY@w/WAVELENGTH),
+              np.exp(2j*np.pi*ARRAY@e/WAVELENGTH))
+        check("orientation Doppler identity", b, (VELOCITIES[ell]+.41*ACCELERATIONS[ell]-vu)@e/WAVELENGTH)
+    mixed_coeff = lambda x: np.linalg.lstsq(DESIGN, [
+        mixed_motion(x, t, 1)[6]-mixed_motion(x, t, 0)[6] for t in TIMES], rcond=None)[0]
+    mixed_jac = np.linalg.lstsq(DESIGN, [
+        mixed_motion(x, t, 1)[9]-mixed_motion(x, t, 0)[9] for t in TIMES], rcond=None)[0]
+    check("mixed fixed-design OLS Jacobian", mixed_jac, finite_difference(mixed_coeff, x))
+    # Appendix G: independent block phases remove constants, not intra-block slopes.
+    for nodes, starts, expected_rank in [([0.], [0., 3.], 0),
+                                         ([0., 2.], [0.], 1),
+                                         ([0., 2.], [0., 3.], 2),
+                                         ([0., 2.], [0., 3e-4], 2)]:
+        blocks, weights, centers = [], [], []
+        n = np.array(nodes)
+        for ell in range(2):
+            f, rate = z[2:]+coefficients(x, ell)[0]
+            for start in starts:
+                w = geometry(x, start, ell)[0]
+                a = np.exp(-2j*np.pi*ARRAY@w/WAVELENGTH)
+                mu = np.kron(np.exp(2j*np.pi*((f+rate*start)*n+.5*rate*n*n)), a)
+                J = np.column_stack((1j*np.repeat(n, len(a))*mu,
+                                     1j*np.repeat(start*n+.5*n*n, len(a))*mu))
+                projected = J-mu[:, None]*(mu.conj()@J/(mu.conj()@mu))[None, :]
+                expected = np.column_stack((
+                    1j*np.repeat(n-n.mean(), len(a))*mu,
+                    1j*np.repeat(start*(n-n.mean())+.5*(n*n-(n*n).mean()), len(a))*mu))
+                check("IP centered temporal scores", projected, expected)
+                blocks.append(projected)
+                weights.append(2*np.linalg.norm(projected[:, 0])**2)
+                centers.append(start+(n[-1]/2))
+        J = np.vstack(blocks)
+        real_J = np.vstack((J.real, J.imag))*np.sqrt(2)
+        assert np.linalg.matrix_rank(real_J, tol=1e-10) == expected_rank
+        if len(n) == 2:
+            weights, centers = np.array(weights), np.array(centers)
+            I = real_J.T@real_J
+            vectors = np.column_stack((np.ones(len(centers)), centers))
+            check("two-sample temporal information", I, vectors.T@(weights[:, None]*vectors))
+            residual = real_J[:, 0]-real_J[:, 1]*(I[1, 0]/I[1, 1])
+            check("real rate Schur complement", residual@residual,
+                  I[0, 0]-I[0, 1]**2/I[1, 1])
+            if expected_rank == 1:
+                check("single-frame exact frequency/rate cancellation", J@np.array([1., -1.]),
+                      np.zeros(len(J)))
+            elif starts[-1] < 1e-3:
+                assert 0 < residual@residual/I[0, 0] < 1e-7
+    print("PASS: synthetic local formula and temporal-rank checks; code-side geometry and CP/IP acceptance still required.")
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    main()

check_shared_timestamp_poisoning.py

@@ -0,0 +1,151 @@
+"""Appendix H deterministic algebra checks; no acquisition, localization MC or orbit acceptance.
+
+Run: python check_shared_timestamp_poisoning.py. Tolerance: 1e-10 unless stated.
+"""
+import numpy as np
+
+
+def check(actual, expected):
+    np.testing.assert_allclose(actual, expected, atol=1e-10, rtol=1e-10)
+
+
+def predict(blocks, offsets, errors):
+    sizes = [len(a) for a in blocks]
+    A = np.zeros((sum(sizes), 3*len(blocks)))
+    P = np.eye(sum(sizes))
+    start = 0
+    for k, a in enumerate(blocks):
+        rows = slice(start, start+len(a))
+        assert np.linalg.matrix_rank(a) == 3
+        A[rows, 3*k:3*k+3] = a
+        P[rows, rows] -= a@np.linalg.pinv(a)
+        start += len(a)
+    B, e = np.vstack(offsets), np.concatenate(errors)
+    Z, b = P@B, P@e
+    assert np.linalg.matrix_rank(Z, tol=1e-10) == B.shape[1]
+    delta = np.linalg.lstsq(Z, b, rcond=None)[0]
+    positions = np.linalg.lstsq(A, e-B@delta, rcond=None)[0]
+    r = e-A@positions-B@delta
+    D = np.column_stack((A, B))
+    direct = np.linalg.lstsq(D, e, rcond=None)[0]
+    check(np.r_[positions, delta], direct)
+    check(r, P@(e-B@delta))
+    S, gamma = Z.T@Z, Z.T@b
+    check(delta, np.linalg.solve(S, gamma))
+    check(b@b-r@r, gamma@np.linalg.solve(S, gamma))
+    return positions.reshape(-1, 3), delta, r, D, P, B, e
+
+
+def main():
+    # Synthetic local summary blocks: delay first, then Doppler and angles.
+    a = np.array([[1., .2, 0.], [.3, -.4, .2], [.4, 1., .1], [-.2, .3, 1.],
+                  [1., 0., 0.], [0., 1., 0.], [0., 0., 1.], [.2, .1, .7]])
+    b = np.vstack((np.eye(2), np.zeros((6, 2))))
+    e = np.array([1., -.4, .7, -.2, 0., 0., 0., 0.])
+    p0, d0, _, _, _, _, _ = predict([a], [b], [e])
+    x, delta, r, D, P, B, error = predict([a]*4, [b]*4, [e]+[np.zeros(8)]*3)
+    check(delta, d0/4)
+    clean_x = -np.linalg.pinv(a)@b@d0/4
+    check(x[1:], np.tile(clean_x, (3, 1)))
+    check(x[0], np.linalg.pinv(a)@e+clean_x)
+    pa = P[:8, :8]
+    L = b.T@pa[:, :4]
+    check(L[:, 2:], -b.T@a@np.linalg.pinv(a)[:, 2:4])
+    assert np.linalg.norm(L[:, 2:]) > .01, "Doppler must expose indirect offset coupling"
+    gain1 = np.linalg.norm(pa@e)**2-np.linalg.norm(predict([a], [b], [e])[2])**2
+    check(np.linalg.norm(P@error)**2-r@r, gain1/4)
+    S = B.T@P@B
+    metric = L.T@np.linalg.solve(S, L)
+    cross = 2*e[:2]@metric[:2, 2:]@e[2:4]
+    check(e[:2]@metric[:2, :2]@e[:2]+cross+e[2:4]@metric[2:, 2:]@e[2:4], gain1/4)
+    assert abs(cross) > .01, "Joint error must expose a nonzero cross term"
+    common = np.array([.4, -.3])
+    x_common, d_common, r_common, *_ = predict([a]*4, [b]*4, [b@common]*4)
+    check(x_common, np.zeros((4, 3)))
+    check(d_common, common)
+    check(r_common, np.zeros(32))
+    check(predict([a], [b], [b@common])[0], np.zeros((1, 3)))
+
+    gamma = b.T@pa@e
+    assert np.linalg.norm(gamma) > .01
+    cancelling = np.linalg.svd(L)[2][-1]
+    x_cancel, d_cancel, _, *_ = predict([a]*4, [b]*4,
+                                       [np.r_[cancelling, np.zeros(4)]]+[np.zeros(8)]*3)
+    check(d_cancel, np.zeros(2))
+    check(x_cancel[1:], np.zeros((3, 3)))
+    orthogonal = np.vstack((np.zeros((2, 3)), np.eye(3)))
+    orthogonal_b = np.vstack((np.eye(2), np.zeros((3, 2))))
+    orthogonal_e = orthogonal_b@common
+    check(predict([orthogonal]*2, [orthogonal_b]*2,
+                  [orthogonal_e, np.zeros(5)])[0], np.zeros((2, 3)))
+
+    H = D@np.linalg.pinv(D)
+    selection = np.eye(len(error))[:, :4]
+    check(r@r, e[:4]@(np.eye(4)-selection.T@H@selection)@e[:4])
+    assert np.linalg.matrix_rank(D[4:]) == D.shape[1]
+    spike = np.eye(len(error))[:, 0]
+    h = H[0, 0]
+    spike_r = (np.eye(len(error))-H)@spike
+    check(spike_r[0], 1-h)
+    check(spike_r@spike_r, 1-h)
+    check(spike_r[1:]@spike_r[1:], h*(1-h))
+    assert np.linalg.norm(pa@e) > np.linalg.norm(r[:8])
+    left_out_delta = predict([a]*3, [b]*3, [np.zeros(8)]*3)[1]
+    check(left_out_delta, np.zeros(2))
+    check(pa@(e-b@left_out_delta), pa@e)
+
+    # Exact absorption counterexample: other users cannot anchor two offset directions.
+    attacked = np.array([[1., 0., .4], [0., 1., -.3], [.2, .4, 1.],
+                         [1., 0., 0.], [0., 1., 0.]])
+    clean = np.array([[1., 0., 0.], [0., 1., 0.], [0., 0., 1.],
+                     [0., 0., 1.], [0., 0., 1.]])
+    bc = np.vstack((np.eye(2), np.zeros((3, 2))))
+    corrupted = attacked@np.array([0., 0., .7])+bc@common
+    assert np.linalg.norm(corrupted[2]) > 0 and np.linalg.norm(corrupted[3:]) == 0
+    xc, dc, rc, Dc, *_ = predict([attacked]+[clean]*3, [bc]*4,
+                                [corrupted]+[np.zeros(5)]*3)
+    check(dc, common)
+    check(xc[1:], np.tile(np.r_[-common, 0.], (3, 1)))
+    check(rc, np.zeros(20))
+    assert np.linalg.matrix_rank(Dc[3:]) < Dc.shape[1]
+    check((np.eye(5)-clean@np.linalg.pinv(clean))@bc, np.zeros((5, 2)))
+    # A common offset changes neither user contrasts nor median-centered residuals.
+    samples = np.array([.2, -.3, .4, .1])
+    check(samples-np.median(samples), (samples+4)-np.median(samples+4))
+    small = np.array([-3.4e-5, -3.3e-5, -3.3e-5, 1e-4])
+    center, width = -3.35e-5, .5e-6
+    difference = small[-1]-center
+    contrast = abs(small[-1]-np.median(small))/(1.4826*np.median(abs(small-np.median(small)))+1e-9)
+    lower = (abs(difference)-width)/(2*1.4826*width+1e-9)
+    assert max(abs(small)) < .001 and contrast >= lower > 50
+    # Free 3-D geometry includes position-dependent Earth-fixed user velocity.
+    spin = np.array([[0., -7.292115e-5, 0.], [7.292115e-5, 0., 0.], [0., 0., 0.]])
+    satellites = np.array([[6.9e6, 1e5, 2e5], [6.8e6, -3e5, 4e5], [7e6, 4e5, -2e5]])
+    velocities = np.array([[0., 7200., 400.], [1200., 6800., -500.], [-1500., 7000., 100.]])
+    position = np.array([6.37e6, 3e4, 7e4])
+    def summaries(p):
+        ranges = np.linalg.norm(p-satellites, axis=1)
+        directions = (p-satellites)/ranges[:, None]
+        doppler = np.sum(directions*(velocities-spin@p), axis=1)
+        return np.r_[(ranges[1:]-ranges[0])/299792458e-6,
+                      2*np.pi*1e-6/.2*(doppler[1:]-doppler[0])]
+    ranges = np.linalg.norm(position-satellites, axis=1)
+    directions = (position-satellites)/ranges[:, None]
+    tangents = [(np.eye(3)-np.outer(u, u))/r for u, r in zip(directions, ranges)]
+    doppler_jac = np.array([(v-spin@position)@t-u@spin
+                            for v, t, u in zip(velocities, tangents, directions)])
+    analytic = np.vstack(((directions[1:]-directions[0])/299792458e-6,
+                          2*np.pi*1e-6/.2*(doppler_jac[1:]-doppler_jac[0])))
+    step = .1
+    numeric = np.column_stack([(summaries(position+step*basis)-summaries(position-step*basis))/(2*step)
+                               for basis in np.eye(3)])
+    geometry_error = np.linalg.norm(analytic-numeric)/np.linalg.norm(analytic)
+    assert geometry_error < 1e-7, geometry_error
+    print(f"Free-3D delay/Doppler Jacobian relative error: {geometry_error:.3g}")
+    print("PASS: block maps, joint interactions, 1/K law, zero-coupling/cancellation,")
+    print("      single-row recovery, deletion rank, exact absorption and consensus invariance.")
+    print("Synthetic linear blocks only; real masks/scales and nonlinear prediction remain code-side checks.")
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    main()

parts/A-symbolIndex.tex

@@ -172,9 +172,12 @@
   $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$ & 第 $k$ 个用户或信源的全局 \gls{doa}；单用户主线中通常省略下标 $k$。\\
   $\mathbf u(\boldsymbol\xi)\in\mathbb R^{3}$ & 全局坐标系下由 $\boldsymbol\xi$ 确定的单位方向向量。\\
   $\mathbf s_\ell\in\mathbb R^{3}$ 和 $\mathbf v_\ell\in\mathbb R^{3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的全局位置向量和速度向量。\\
+  $\boldsymbol\omega_{\mathrm E}\in\mathbb R^3$ & 地球自转角速度向量，在 \gls{eci} 坐标系中表示。\\
+  $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\triangleq[\boldsymbol\omega_{\mathrm E}]_\times\in\mathbb R^{3\times3}$ & 地球自转向量的反对称矩阵，满足 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf x=\boldsymbol\omega_{\mathrm E}\times\mathbf x$。\\
+  $\mathbf v_u(\mathbf p)\in\mathbb R^3$ & 地固静止用户在参考时刻的 ECI 瞬时速度，定义为 $\mathbf v_u(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$；静态位置模型不将其作为独立待估参数。\\
   $\mathbf e_{1,\ell}$、$\mathbf e_{2,\ell}$、$\mathbf e_{3,\ell}$ & 第 $\ell$ 颗卫星的本地阵列坐标基。\\
   $\boldsymbol{\Omega}_\ell\in\mathbb R^{3\times3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星从本地坐标系到全局坐标系的旋转矩阵。因此 $\boldsymbol{\Omega}_\ell^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi)$ 给出全局方向在该卫星本地坐标系下的表达。（注：原符号 $\mathbf{Q}_\ell$ 已改为 $\boldsymbol{\Omega}_\ell$，$\mathbf{Q}$ 保留给波束成形章节的人工噪声协方差矩阵。）\\
-  $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}\in\mathbb R^{3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的单位来向向量。\\
+  $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}\in\mathbb R^{3}$ & 本地阵列坐标系下的单位传播方向。公共方向模型中为 $\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；位置模型中为 $-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell(\mathbf p)$，后者的 $\mathbf u_\ell$ 指向卫星到用户。\\
   $\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}$ 和 $\beta_\ell^{\mathrm{loc}}$ & 第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的方位角与俯仰角。\\
   $\mathbf a(\bm\theta_k)\in\mathbb C^{M}$ & 单阵列中第 $k$ 个信源方向对应的导向矢量。\\
   $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 多星主线中第 $\ell$ 颗卫星的本地阵列导向矢量。 该符号只表示阵列响应，不表示动力学加速度。\\
@@ -186,7 +189,7 @@
   $\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ & 空时导向矩阵或空时 steering/dictionary matrix，由各信源的空时导向列向量组成；该符号避免与 \gls{crb} 协方差矩阵 $\mathbf C$ 冲突。\\
   $\mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k)$ & 第 $k$ 个信源的空时导向列向量，通常由空间导向矢量与 Doppler 时间导向矢量 Kronecker 组合得到。此处下标 $\mathrm{st}$ 表示 space--time。\\
   $\mathbf h_{\ell,k}\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 第 $k$ 个用户（单天线）到第 $\ell$ 颗卫星的上行等效信道向量；远场窄带假设下 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$。参数估计侧使用 $\mathbf a_\ell$ 与 $\zeta_{\ell,k}$；波束成形侧合并为 $\mathbf h_{\ell,k}$。\\
-  $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 第 $(\ell,k)$ 对沿时间模板 $\mathbf q_{\ell,k}$ 的空间匹配输出 $\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*/\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2$，即上行等效信道 $\mathbf h_{\ell,k}$ 的匹配滤波估计；空时导向趋于正交的码分下为该星对用户 $k$ 主参数的充分统计量。见第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节。\\
+  $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 空间匹配输出 $\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*/\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2$。时间模板已知且两两正交时，其均值为 $\mathbf h_{\ell,k}$；关于条件压缩的说明见第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节。\\
   $\mathbf H_\ell\in\mathbb C^{M_\ell\times K}$ & 第 $\ell$ 颗卫星的上行信道矩阵，第 $k$ 列为 $\mathbf h_{\ell,k}$。\\
 \end{longtable}
 \endgroup
@@ -195,7 +198,7 @@
 
 本文统一使用 $\nu$ 表示 Doppler 参数；理论推导和似然函数中的 $\nu$ 默认表示离散归一化角 Doppler，单位为 rad/sample。
 若必须给出物理 Hz 单位，应显式写为 $\nu^{\mathrm{Hz}}$，避免与归一化模型参数混淆。
-下标区分两类 Doppler：$\nu_k$ 为单阵列多信源场景中第 $k$ 个信源的独立 Doppler（$K$ 个自由待估量）；$\nu_\ell$ 为多星单用户场景中第 $\ell$ 条链路的 Doppler，由参考链路 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 经几何映射 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 诱导，仅 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为自由标量。
+下标区分两类 Doppler：$\nu_k$ 为单阵列多信源场景中第 $k$ 个信源的独立 Doppler（$K$ 个自由待估量）；$\nu_\ell$ 为多星单用户场景中第 $\ell$ 条链路的 Doppler，由参考链路 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 经几何映射诱导，仅 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为自由标量。全局方向模型使用 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$，位置模型使用 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$。
 相关符号汇总于表~\ref{tab:signalDopplerDelayNotation}。
 其中带时延下标 $\tau$ 的符号 $\tau_\ell$、$\tau_{\mathrm{ref}}$、$\Delta\tau_\ell$、$\mathcal E_{\tau,\ell}$ 在第~\ref{sec:userPositioning} 节的位置模型中激活，携带传播时延（\gls{tdoa}）通道；其纯方向参数化形式 $f_{\tau,\ell}$、$\boldsymbol\eta_\tau$ 仍作预留。
 
@@ -229,10 +232,16 @@
   $s_p(t)$ & 多帧模型中第 $p$ 帧使用的已知训练序列。\\
   $\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化角 Doppler，单位为 rad/sample。\\
   $\dot\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler rate，单位为 rad/sample$^2$。\\
+  $\ddot\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler-rate 导数，单位为 rad/sample$^3$；仅用于短窗口近似的高阶误差判据。\\
   $\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ & 第 $\ell$ 条链路的物理 Doppler，单位为 Hz；仅在需要物理单位解释时使用。\\
+  $\Delta f_\ell(\boldsymbol\xi)$、$\Delta f_\ell(\mathbf p)$ & 分别为远场全局方向模型、有限距离位置模型中第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的物理 FDOA，单位为 Hz。\\
+  $\epsilon_D$ & 公共传播方向模型的 Doppler 投影符号，取 $-1$；约定见 \eqref{eq:sec3_propagation_steering}。\\
+  $f_\ell,\dot f_\ell$ & 多帧模型的物理 Doppler（Hz）及对物理时间的导数（Hz/s）；$f_\ell$ 与 $\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ 同义。\\
+  $\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}$ & 参考时刻的卫星轨道加速度（m/s$^2$），区别于阵列导向矢量 $\mathbf a_\ell$。\\
+  $t_{\mathrm{ref}}$ & 多帧观测首帧首采样点的物理参考时刻。\\
   $\boldsymbol\nu=[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran$ & 单阵列 \gls{doa}--Doppler 模型中所有信源归一化角 Doppler 的集合。\\
   $\tau_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路上的离散时延。 若它由参考星时延诱导得到，应在参考星参数化中说明其映射。\\
-  $\delta_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星相对参考星的时间戳误差，单位为采样点数；参考星 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，其余作为部分相干观测模型中的干扰参数。\\
+  $\delta_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星相对参考星的时间戳误差，单位为采样点数；参考星 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，其余作为时间戳误差模型中的干扰参数。\\
   $\delta\tau_\ell$ & 与 $\delta_\ell$ 对应的物理时间误差（秒），$\delta_\ell=\delta\tau_\ell/T_{\mathrm{s}}$。\\
 \end{longtable}
 \endgroup
@@ -240,7 +249,9 @@
 物理 Doppler 与归一化角 Doppler 的关系统一写为
 %
 \begin{equation}
-  \nu = 2\pi\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}.
+  \nu = 2\pi\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}},
+  \qquad
+  \dot\nu=2\pi T_{\mathrm s}^{2}\frac{\mathrm d\nu^{\mathrm{Hz}}}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}.
 \end{equation}
 %
 因此，正文估计参数默认使用 $(\nu,\dot\nu)$，而 $\nu^{\mathrm{Hz}}$ 仅用于物理单位解释。
@@ -287,10 +298,12 @@
   $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ & 第 $\ell$ 条链路相对参考链路的差分传播时延（\gls{tdoa}），由 $\|\mathbf p-\mathbf s_\ell\|_2-\|\mathbf p-\mathbf s_{\ell_{\mathrm{ref}}}\|_2$ 归一化到采样点得到，只由几何决定；$\Delta\tau_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。见第~\ref{subsec:delayPositionInduced} 小节。\\
   $\boldsymbol\eta$ & 将一个模型中的所有待估计主参数堆叠得到的通用参数向量，避免与一般 \gls{doa} 参数 $\bm\theta_k$ 混淆。多星静态与动态多帧主线统一写为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^3$（动态多帧情形 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧）。\\
   $\boldsymbol\eta_{\tau}$ & \gls{doa}--Doppler--delay 扩展模型主参数，可写为 $\boldsymbol\eta_{\tau}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。\\
+  $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}$ & 多星位置模型主参数，定义为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^5$；其中 $\mathbf v_u(\mathbf p)$ 由地固状态确定而非独立参数。\\
   $\nu_{\mathrm{ref},k}$ & 多用户场景中第 $k$ 个用户的参考星归一化 Doppler；$K=1$ 时退化为 $\nu_{\mathrm{ref}}$。\\
   $\tau_{\mathrm{ref},k}$ & 多用户位置模型中第 $k$ 个用户的参考链路总时延自由标量，吸收该用户未知发射时刻；$K=1$ 时退化为 $\tau_{\mathrm{ref}}$。\\
   $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ & 多用户多星静态主参数，定义为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=[\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{3K}$；$K=1$ 时退化为 $\boldsymbol\eta$。下标 $\mathrm{mu}$ 表示 multi-user。\\
-  $\boldsymbol\delta$ & 部分相干观测模型中非参考星的时间戳误差堆叠向量，$\boldsymbol\delta=[\delta_\ell]_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}\in\mathbb R^{L-1}$；作为干扰参数处理。\\
+  $\boldsymbol\delta$ & 时间戳误差模型中非参考星的时间戳误差堆叠向量，$\boldsymbol\delta=[\delta_\ell]_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}\in\mathbb R^{L-1}$；作为干扰参数处理。\\
+  $\boldsymbol\eta_{\mathrm{summary}}$ & 摘要融合模型的主参数，$[\mathbf p_1^\Tran,\ldots,\mathbf p_K^\Tran]^\Tran\in\mathbb R^{3K}$；参考时延与 Doppler 已由观测差分消去，干扰参数为 $\boldsymbol\delta$。局部推导见\appref{subsec:H_summary_poisoning}，节内用裸 $\boldsymbol\eta$。\\
   $\boldsymbol\kappa$ & 完整实参数向量，专用于把主参数 $\boldsymbol\eta$ 与干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 一起堆叠的场合，例如 $\boldsymbol\kappa=[\boldsymbol\eta^\Tran,\boldsymbol\psi^\Tran]^\Tran$。全文不再用 $\boldsymbol\eta$ 表示完整参数向量。\\
 \end{longtable}
 \endgroup
@@ -623,3 +636,13 @@
   $\epsilon_k$ & 第 $k$ 个用户的信道不确定性半径。\\
 \end{longtable}
 \endgroup
+
+\subsection{条件压缩与专题扩展中的局部记号}
+
+\appref{subsec:E_conditionalCompression} 中，$\mathbf U$ 为已知时间模板列空间的标准正交基，$\mathbf H$ 为按用户排列的空间信道矩阵。\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound} 中，$\mathbf W_\eta$、$\mathbf W_\psi$ 为白化后实化的目标与干扰参数 Jacobian，$\dagger$ 表示 Moore--Penrose 逆。
+
+\appref{subsec:G_reference_bearing} 中，$\mathbf e$ 为参考星指向源的单位来向，$\mathbf w_\ell$ 为源到星的传播方向；$F_0$ 为已知高度曲面函数，$\mathbf n$ 为其梯度，$d$ 为参考射线的交点距离而非独立未知参数。$\mathbf P_\xi$ 为交点对参考来向角的 Jacobian，$\mathbf B(t)$ 为源的已知地固到惯性运动映射，$\mathbf W_\ell$ 为逐星传播方向的角 Jacobian，$b_\ell$ 为几何频移。$\mathbf c_\ell$ 为相对 affine 频移及 rate 系数，$\mathbf H$ 为经纬度到参考来向角的局部 Jacobian；这些局部记号不改变前面位置模型和公共方向模型的参数定义。
+
+\appref{sec:dictSeparationAmp} 中，$\mathbf Q_\ell$ 表示包含全部用户与网格点的字典，$\mathbf X_\ell$ 为网格系数矩阵；$\boldsymbol\Gamma$、$\boldsymbol\Sigma$ 分别为稀疏贝叶斯模型的先验与后验协方差。实值 AMP 示例另用 $\mathbf A\in\mathbb R^{n\times d}$ 表示测量矩阵，$b$ 为每行去噪向量的维数。
+
+\appref{sec:thresholdBounds} 中，$L_i$ 为检验点相对参考点的似然比，$\mathbf M$ 为似然比二阶矩矩阵，$\mathbf B_{\mathrm{test}}$ 为中心化似然比的协方差；它与误指定分析的 sandwich 矩阵 $\mathbf B$ 不同。$\pi(a)$ 为标量目标的先验密度，$P_{\min}$ 为按点对先验加权的最小二元检验错误率，$D^2$ 为白化均值距离的平方，$\mathcal V$ 为填谷算子。

parts/E-multiSatStaticCrb.tex

@@ -321,7 +321,7 @@ $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sig
 %
 其中 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_domega}；其角度部分记 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\,\left(\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}\right)\in\mathbb C^{T\times2}$，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1$ 即 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}$。
 
-对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\mathbf q_\ell$ 不依赖角度，其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为
+对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$，而 $\mathbf q_\ell$ 通过 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 依赖角度；其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为
 %
 \begin{equation}
   \mathbf D_\ell
@@ -575,6 +575,9 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
 
 至此，单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应：正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然，本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。
 
+
+已知高度下的经纬度参数化及其与公共方向模型的比较见\appref{subsec:A6_latlon_crb}。以下继续在公共方向模型中增加用户数。
+
 \subsection{多用户多星 CRB（扩展）}
 \label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}
 
@@ -603,7 +606,7 @@ $\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个
   \in\mathbb R^{2LK}.
 \end{equation}
 %
-噪声方差参与协方差但与均值参数解耦，同 E.1 不显式出现在 Schur 补中。
+噪声方差参与协方差但与均值参数解耦，同~\ref{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb}~不显式出现在 Schur 补中。
 
 \subsubsection{多用户 Jacobian}
 
@@ -715,7 +718,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
 %
 复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。
 
-\paragraph{逐星投影之和即联合投影}
+\paragraph{独立星噪声与独立增益下的信息可加}
 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 对卫星\emph{求和}的形式并非近似，而是干扰参数块对角性的直接后果，值得单独点明：它意味着``各星先各自消干扰''与``联合消干扰''给出同一个界。各星增益与噪声相互独立，故复增益块 $\mathcal I_{\psi\psi}$ 按卫星块对角，对全体增益的联合 Schur 补\emph{逐星分解}。以 $\mathbf A_\ell$、$\mathbf B_\ell$、$\mathbf C_\ell$ 分别记第 $\ell$ 星的主参数块、主参数--增益交叉块与增益块，则 $\mathcal I_{\eta\eta}=\sum_\ell\mathbf A_\ell$、$\mathcal I_{\eta\psi}=[\mathbf B_0,\ldots,\mathbf B_{L-1}]$、$\mathcal I_{\psi\psi}=\operatorname{blkdiag}(\mathbf C_0,\ldots,\mathbf C_{L-1})$，于是
 %
 \begin{equation}
@@ -725,7 +728,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
   =\sum_\ell\big(\mathbf A_\ell-\mathbf B_\ell\mathbf C_\ell^{-1}\mathbf B_\ell^\Tran\big),
 \end{equation}
 %
-而右端每一项恰是 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的被加项 $2\sigma_\ell^{-1}\Re\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}\}$——\emph{每颗星各自消去本星增益（向 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影）所得的 \gls{efim}}。故``逐星投影之和''恒等于``联合投影''：在本模型（干扰逐星、噪声独立）下，集中式联合处理与``各星报告自身对主参数的 Fisher 贡献再相加''给出同一个界，二者无精度差。这正是``\gls{fim} 跨星可加''在界级的代数来源。
+而右端每一项恰是 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的被加项 $2\sigma_\ell^{-1}\Re\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell}\}$——\emph{每颗星各自消去本星增益（向 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影）所得的 \gls{efim}}。故在本模型（干扰逐星、噪声独立）下，集中式联合处理与``各星报告完整本地 Fisher 贡献再相加''给出同一个界；这里的协作收益来自共同参数和几何多样性，不等同于跨星相干合并。若只报告压缩后的本地估计，或显式引入跨星共享的相位/增益关系，结论都需重新按相应统计量或联合干扰块计算。
 
 由此也读出\emph{何时}集中式才严格优于分布式——仅当突破上述两个前提之一：
 \begin{itemize}
@@ -736,7 +739,7 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
 
 \subsubsection{用户分离的可辨识性条件}
 
-\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性等价于多用户主参数得分（对数似然对参数的梯度）在复增益干扰参数得分所张子空间的正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian''
+\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性应在\emph{实参数意义}下判断：多用户主参数得分在复增益干扰参数得分所张子空间的正交补上的投影，必须对所有实参数扰动保持单射。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian''
 %
 \begin{equation}
   \bar{\mathbf J}_{\eta,\ell}
@@ -744,19 +747,49 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
   \frac{1}{\sqrt{\sigma_\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
 \end{equation}
 %
-\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化得分之间不存在跨星全局共线性''。
-
-正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可严格化为：当某对 $(k,k')$ 满足
+并定义其堆叠矩阵的实化
 %
 \begin{equation}
-  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k}
-  \approx
-  c_\ell\,
-  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k'},
-  \qquad\forall\ell,
+  \bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}
+  \triangleq
+  \begin{bmatrix}
+    \bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran & \cdots & \bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran
+  \end{bmatrix}^{\Tran},
+  \qquad
+  \bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}^{\mathbb R}
+  \triangleq
+  \begin{bmatrix}
+    \Re\{\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}\}\\
+    \Im\{\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}\}
+  \end{bmatrix}.
+  \label{eq:E2_realified_rank}
 \end{equation}
 %
-对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 \gls{efim} 块趋于秩亏，集中似然在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立）。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。
+则
+%
+\begin{equation}
+  \mathcal I_{\mathrm e}\ \text{非奇异}
+  \quad\Longleftrightarrow\quad
+  \operatorname{rank}\big(\bar{\mathbf J}_{\mathrm{all}}^{\mathbb R}\big)=3K.
+  \label{eq:E2_identifiability_rank}
+\end{equation}
+%
+若每个 $\mathbf G_\ell$ 满列秩，这一条件至少要求
+$3K\le 2\sum_\ell(M_\ell T-K)$；该维数不等式只是必要条件，不能替代实化 Jacobian 的秩检验。
+
+模板相干度描述空时响应的接近程度，应与主参数可辨识性区分。若某对 $(k,k')$ 满足
+%
+\begin{equation}
+  \rho_{\ell,kk'}
+  \triangleq
+  \frac{\left|\mathbf g_{\ell,k}^{\Herm}\mathbf g_{\ell,k'}\right|}
+       {\|\mathbf g_{\ell,k}\|_2\,\|\mathbf g_{\ell,k'}\|_2}
+  \longrightarrow1,
+  \qquad\forall\ell,
+  \label{eq:E2_template_coherence}
+\end{equation}
+%
+则 $\mathbf G_\ell$ 变得病态，极限相同模板时复增益本身不可分离；但这还不是主参数 \gls{efim} 奇异的充分必要条件。主参数是否退化必须回到式~\eqref{eq:E2_identifiability_rank}，检查投影后导数列的实秩；只有当相应用户的投影导数也无法区分时，集中似然才在该方向形成平坦脊。多星几何的缓解也应表述为：只要至少一颗卫星提供使式~\eqref{eq:E2_identifiability_rank} 恢复满秩的独立投影信息，整体用户参数仍可辨识。
 
 \subsubsection{CRB 表达式}
 
@@ -785,10 +818,40 @@ $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G
 %
 即 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 中对应 $\boldsymbol\xi_k$ 行/列的 $2\times 2$ 子块。$\mathbf C_{\xi,k}$ 同时被后续波束成形章节作为鲁棒设计的理论上界使用。
 
+\subsection{已知时间模板下的充分统计量}
+\label{subsec:E_conditionalCompression}
+
+第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节的时间维压缩以模板已知为条件。固定一颗卫星，省略星下标，记 $\mathbf Q=[\mathbf q_1,\ldots,\mathbf q_K]$、$\mathbf H=[\mathbf h_1,\ldots,\mathbf h_K]$，则 $\mathbf Y^\Tran=\mathbf Q\mathbf H^\Tran+\mathbf N^\Tran$。取 $\mathbf Q$ 列空间的一组标准正交基 $\mathbf U\in\mathbb C^{T\times r}$，其中 $r=\operatorname{rank}(\mathbf Q)$。正交分解给出
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:E_compression_factorization}
+  \|\mathbf Y^\Tran-\mathbf Q\mathbf H^\Tran\|_{\mathrm F}^2
+  =\|\mathbf U^\Herm\mathbf Y^\Tran-\mathbf U^\Herm\mathbf Q\mathbf H^\Tran\|_{\mathrm F}^2
+   +\|(\mathbf I_T-\mathbf U\mathbf U^\Herm)\mathbf Y^\Tran\|_{\mathrm F}^2.
+\end{equation}
+%
+白噪声下，两个正交分量相互独立，第二项的分布不依赖 $\mathbf H$。由似然因子分解，噪声方差已知时，$\mathbf U^\Herm\mathbf Y^\Tran$ 是关于 $\mathbf H$ 的充分统计量；方差未知时，再保留第二项的残差能量即可。由于投影能量已由压缩输出确定，也可用总能量 $\|\mathbf Y\|_{\mathrm F}^2$ 代替残差能量。这一结论同样适用于以角度和增益参数化的 $\mathbf H$。
+
+当 $\mathbf Q$ 列满秩时，可将压缩输出改写为联合最小二乘信道估计
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:E_compression_ls}
+  \widehat{\mathbf H}^{\Tran}
+  =(\mathbf Q^\Herm\mathbf Q)^{-1}\mathbf Q^\Herm\mathbf Y^\Tran,
+  \qquad
+  \operatorname{Cov}\!\left(
+    [\widehat{\mathbf H}^{\Tran}-\mathbf H^\Tran]_{:,m}
+  \right)=\sigma(\mathbf Q^\Herm\mathbf Q)^{-1}.
+\end{equation}
+%
+模板正交时，\eqref{eq:E_compression_ls} 化为逐用户匹配输出；模板非正交时，用户间噪声相关性由 Gram 矩阵的逆给出。列秩不足时仍可压缩到 $\mathbf U$，但任意空间信道矩阵 $\mathbf H$ 的各列不再能分别恢复。
+
+若模板依赖待估 Doppler 或时延，则 $\mathbf U$ 也随这些参数改变。\eqref{eq:E_compression_factorization} 只证明固定模板下的充分性，单个估计模板处的压缩输出不能据此称为整个联合问题的充分统计量。
+
 \subsection{非正交码分下的多用户 CRB（多址干扰）}
 \label{subsec:E3_maiCrb}
 
-E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非对角块 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 里的投影空时交叠 $\mathbf D_{\ell,k}^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf D_{\ell,k'}$（$k\neq k'$）正是用户间的 \gls{mai}。正文第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 建立在``近正交码分''之上；本小节放开这一理想化，把码互相关显式代入，给出边缘化其余用户后的单用户有效界及其闭式替代。含码 Gram 的多用户参数 \gls{crb} 是标准的码分多用户估计理论~\cite{verduMultiuserDetection1998}（其空时模板 $\mathbf q\otimes\mathbf a$ 即联合角--延时估计，移不变解法见~\cite{vanderveenJointAngleDelay1998}）；此处不引入新界，只把 E.2 中隐含的耦合拎明。
+多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已包含用户间耦合，其非对角块由投影后的空时导数内积决定。本小节在这一联合模型下消去其他用户参数，得到单用户有效界，并介绍基于线性解相关前端的近似读数。相关多用户估计框架见~\cite{verduMultiuserDetection1998}，联合角度--时延估计见~\cite{vanderveenJointAngleDelay1998}。
 
 \paragraph{码 Gram 与耦合的因子结构}
 空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$ 的用户间内积按 Kronecker 分解为``码''与``空间''两因子
@@ -798,13 +861,11 @@ E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非
   =\big(\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}\big)
    \big(\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\big),
   \qquad
-  \mathbf R_\ell\triangleq\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Q_\ell,
-  \quad
-  \mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K}],
+  r_{\ell,kk'}\triangleq\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'},
   \label{eq:E3_gram_factor}
 \end{equation}
 %
-其中 $r_{\ell,kk'}\triangleq\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}$ 为码互相关、$\mathbf R_\ell$ 为码 Gram。两个用户只要\emph{码}或\emph{空间}之一充分正交即可分离。码正交（$\mathbf R_\ell=\mathbf I$，$r_{\ell,kk'}=0$，$k\neq k'$）时 $\{\mathbf g_{\ell,k}\}$ 逐用户正交，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 逐用户作用、\eqref{eq:E2_Ieff_block} 的非对角块消失，多用户 \gls{efim} 块对角，退回第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户界。短通信导频下 $K$ 个码不可能两两正交，$r_{\ell,kk'}\neq 0$、非对角块非零，留下正比于码互相关的 \gls{mai} 耦合项。但对峰值互相关低的码（如长度 $L_c$ 的 Zadoff--Chu 码不同根，峰值互相关 $\sim 1/\sqrt{L_c}$），$\mathbf R_\ell\approx\mathbf I$，该耦合很小、界的抬升按互相关平方量级、通常可忽略——故\emph{码正交假设下的干净界即准确主线}，本小节只界定放开该假设后界的（很小的）抬升，并给出高负载病态时的替代读数。
+其中 $r_{\ell,kk'}$ 为归一化时间模板互相关，组成 $K\times K$ Gram 矩阵 $\mathbf R_\ell$。时间模板或空间导向正交可使空时模板正交，但主参数 \gls{efim} 还涉及模板导数的内积。例如，Doppler 导数引入采样时刻权重，未加权的码正交不保证导数也正交。只有投影后的相关导数满足相应正交条件时，用户信息块才解耦。近似正交的精度应由实际模板及导数评估。
 
 \paragraph{边缘化其余用户的单用户有效界}
 把 \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 的 $\mathcal I_{\mathrm e}$ 按``用户 $k$''与``其余 $K-1$ 个用户''两组行列分块，记对角块 $\mathcal I_{kk}\in\mathbb R^{3\times 3}$、$\mathcal I_{\bar k\bar k}$ 与交叉块 $\mathcal I_{k\bar k}$；对其余用户取 Schur 补得用户 $k$ 的有效 \gls{efim}
@@ -818,10 +879,10 @@ E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非
   \label{eq:E3_effFim}
 \end{equation}
 %
-被扣的 $\mathcal I_{k\bar k}\mathcal I_{\bar k\bar k}^{-1}\mathcal I_{\bar k k}\succeq\mathbf 0$ 即\emph{\gls{mai} 惩罚}：把其余用户当未知参数一并估计所付的信息损失。码正交时交叉块 $\mathcal I_{k\bar k}=\mathbf 0$、惩罚为零，\eqref{eq:E3_effFim} 退回单用户界；码互相关越强、$K$ 越大，惩罚越重。
+被扣的半正定项是将其他用户参数视为未知量所付出的信息损失。若投影后的用户交叉信息块为零，该项消失。这里的比较基准是其他用户参数已知时的 $\mathcal I_{kk}$；要进一步等同于单用户界，还需检查其他用户增益消元的影响。
 
-\paragraph{可达地板与估计器次优}
-\eqref{eq:E3_effFim} 是任何估计器都无法回避的\emph{基本极限}：\gls{mai} 惩罚源于码非正交这一物理事实、与算法无关。据此把估计器的实测误差分成两部分：(a) 界本身随码 Gram 抬升的部分（地板），(b) 估计器超出该界的部分（次优）。对上述低互相关码，(a) 很小（干净界与含 Gram 界相差在可忽略量级），故实测的估计器--界差距几乎全部归 (b)——联合分离器（如\appref{sec:dictSeparationAmp} 的 AMP/SBL 不动点）在残余 MAI 下的次优，可经更强分离缩小，而非界侧的 \gls{mai} 地板。
+\paragraph{信息损失与估计误差}
+\eqref{eq:E3_effFim} 给出常规正则条件下的局部无偏估计界。用户间耦合可抬高该界，但在固定、可辨识的模型中，降低噪声仍可使界下降，因此非正交本身不意味着不可消除的误差地板。实测误差与界的差距还需结合偏差、全局模糊及优化误差解释，不能仅凭码互相关大小归因于估计器次优。
 
 \paragraph{SINR 型有效 CRB（闭式替代）}
 高负载下满 \gls{fim} 可能病态、\eqref{eq:E3_effFim} 难得紧解；此时可退到一个干净可算的替代——线性解相关前端。解相关器以 $\mathbf R_\ell^{-1}$ 分离用户、代价是噪声放大 $[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}\ge 1$，用户 $k$ 在星 $\ell$ 上的有效信噪比降为
@@ -837,8 +898,8 @@ E.2 的多用户 \gls{efim} \eqref{eq:E2_Ieff_proj} 已含用户间耦合：非
 把单用户 \gls{efim} \eqref{eq:A6_Ieff_final} 在 $\mathrm{SNR}_{\ell,k}^{\mathrm{eff}}$ 处求值即得每用户的标量替代界。它刻画一个线性解相关接收机的有效信噪比（承有效干扰／有效带宽分析~\cite{tseLinearMultiuserReceivers1999}），恒可算，是 \eqref{eq:E3_effFim} 的一个便捷、一般偏松的读数（只用码域 $\mathbf R_\ell$、未计阵列的额外分离，故保守）；码正交时 $[\mathbf R_\ell^{-1}]_{kk}=1$、无退化。
 
 \paragraph{位置与时间戳版本}
-上述结构只改变 \gls{efim} 的\emph{用户--用户块}，其余机器不变：把主参数 Jacobian 换成位置 Jacobian（\appref{sec:userPositionCrb}）即得含 \gls{mai} 的位置界，再按\appref{sec:timestampErrCrb} 对共享 $\delta_\ell$ 取 Schur 补即得时间戳误差下的 \gls{mai}-aware 位置界。码 Gram 与共享 $\delta$ 是两条独立的耦合来源，分别落在用户--用户块与跨星共享干扰块上。
+上述结构只改变 \gls{efim} 的\emph{用户--用户块}，其余机制不变：把主参数 Jacobian 换成位置 Jacobian（\appref{sec:userPositionCrb}）即得含 \gls{mai} 的位置界，再按\appref{sec:timestampErrCrb} 对共享 $\delta_\ell$ 取 Schur 补即得时间戳误差下的 \gls{mai}-aware 位置界。码 Gram 与共享 $\delta$ 是两条独立的耦合来源，分别落在用户--用户块与跨星共享干扰块上。
 
 \medskip
 
-附录 E 完成了多星静态模型从单用户、多用户到非正交码分（多址干扰）的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 \gls{efim} 在\appref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的 \gls{cp} 和 \gls{ip} \gls{crb} 在\appref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。
+\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 给出了多星静态单用户与多用户模型的 \gls{crb}。时间戳误差下的 \gls{efim} 见\appref{sec:timestampErrCrb}，多帧 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的比较见\appref{sec:multiFrameCrb}。

parts/F-multiFrameCrb.tex

@@ -33,6 +33,20 @@
 %
 并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/\gls{efim} 结构。
 
+用 K/U 分别标记参考 Doppler rate 已知/未知，三种配置均保留相同的三维主参数。在幅度严格为正的局部工作点，影响均值的干扰参数与实维数为
+%
+\begin{equation}
+  \begin{array}{c|c|c}
+    \text{配置} & \text{干扰参数} & \text{实维数}\\ \hline
+    \text{CP-K} & \{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}\} & L+LP\\
+    \text{CP-U} & \dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}\} & 1+L+LP\\
+    \text{IP-U} & \dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\vartheta_{\ell,p}\},\{\rho_{\ell,p}\} & 1+2LP
+  \end{array}
+  \label{eq:A7_parameter_dimensions}
+\end{equation}
+%
+若各星噪声方差未知，完整干扰参数另增加 $L$ 维，与均值参数 Fisher 块解耦。复增益已由幅度与相位表示，不再额外引入一组独立复路径增益；K 配置固定的是参考 rate，各星相对 rate 仍通过全局方向变化。
+
 \subsubsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号}
 
 沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的\gls{cp} 模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义\gls{cp} 模板
@@ -112,6 +126,76 @@
 %
 其中已利用正文中的几何参数化：$\dfrac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1$，$\dfrac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。
 
+对固定方向的瞬时 Taylor 系数构造，角度导数由 \eqref{eq:sec3_dnu_projection} 与 \eqref{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction} 给出；窗口拟合构造的替代导数见\appref{subsec:A7_affine_window_derivatives}：
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    \frac{\partial\nu_\ell}{\partial x}
+    &=\frac{2\pi T_{\mathrm s}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+      \Delta\mathbf v_\ell^\Tran\frac{\partial\mathbf u}{\partial x},\\
+    \frac{\partial\dot\nu_\ell}{\partial x}
+    &=\frac{2\pi T_{\mathrm s}^2\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+      (\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran
+      \frac{\partial\mathbf u}{\partial x},
+      \qquad x\in\{\alpha,\beta\}.
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A7_direction_doppler_derivatives}
+\end{equation}
+%
+所有角度导数以弧度为自变量，$\epsilon_D=-1$；旋转矩阵及参考时刻星历在求参数导数时保持已知。空间导数由 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 与 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 直接链式计算，可避免在局部角极点处使用 atan2/arcsin 导数。
+
+\paragraph{窗口 affine 映射的系数与导数}
+\label{subsec:A7_affine_window_derivatives}
+沿用 \eqref{eq:sec5_affine_window_coefficients} 的 $s_p$、$\mathbf X\in\mathbb R^{P\times2}$ 和 $\mathbf V_\ell\in\mathbb R^{P\times3}$，记帧节点上的相对频移向量为 $\mathbf d_\ell=(\epsilon_D/\lambda_{\mathrm c})\mathbf V_\ell\mathbf u$。固定拟合时刻与帧集合，且 $\operatorname{rank}(\mathbf X)=2$ 时，正规方程给出
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf c_\ell
+  =\argmin_{\mathbf c\in\mathbb R^2}\|\mathbf d_\ell-\mathbf X\mathbf c\|_2^2
+  =(\mathbf X^\Tran\mathbf X)^{-1}\mathbf X^\Tran\mathbf d_\ell
+  =\mathbf X^\dagger\mathbf d_\ell.
+  \label{eq:A7_affine_normal_equations}
+\end{equation}
+%
+该表达式用于推导；数值实现可用 QR 或适当缩放的 SVD 求解。由于 $\mathbf X$、$\mathbf V_\ell$ 与拟合权重不随候选方向变化，对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 有
+%
+\begin{equation}
+  \begin{bmatrix}
+    \frac{\partial\nu_\ell}{\partial x}\\
+    \frac{\partial\dot\nu_\ell}{\partial x}
+  \end{bmatrix}
+  =\begin{bmatrix}2\pi T_{\mathrm s}&0\\0&2\pi T_{\mathrm s}^2\end{bmatrix}
+   \frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}\mathbf X^\dagger\mathbf V_\ell
+   \frac{\partial\mathbf u}{\partial x}.
+  \label{eq:A7_affine_angle_derivatives}
+\end{equation}
+%
+其中 $\dfrac{\partial\mathbf u}{\partial x}$ 取全局方向的解析导数。将 \eqref{eq:A7_affine_angle_derivatives} 代入 \eqref{eq:A7_qx_cp} 即得到窗口拟合模型的时间模板导数，空间导数保持不变。若在计算信息矩阵时只选择部分观测块，而系数仍由完整窗口定义，则拟合帧集合保持固定；若重新定义拟合窗口，均值与全部导数须同步更新。单帧或所有拟合时刻相同不能唯一确定两个系数，需要另给已知斜率等约束。
+
+令 $\mathbf c_{\mathrm{ref}}=[f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。先加参考频率再拟合，或先拟合相对频率再加参考系数，满足
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf X^\dagger(\mathbf X\mathbf c_{\mathrm{ref}}+\mathbf d_\ell)
+  =\mathbf c_{\mathrm{ref}}+\mathbf X^\dagger\mathbf d_\ell,
+  \qquad \mathbf X^\dagger\mathbf X=\mathbf I_2.
+  \label{eq:A7_affine_reference_additivity}
+\end{equation}
+%
+因此参考 Doppler 与参考 rate 的导数仍为 \eqref{eq:A7_qomega_cp}、\eqref{eq:A7_qgamma_cp}。CP-K 只固定参考 rate，\eqref{eq:A7_affine_angle_derivatives} 的第二行仍保留；CP-U/IP-U 按原参数表消去未知参考 rate。相同的幅相干扰结构、实化投影与秩条件继续适用，无须改变后续 Fisher 分块。
+
+若拟合在另一时间原点完成，令 $\delta=t_{\mathrm{new}}-t_{\mathrm{old}}$，在相同物理节点上有 $s_{p,\mathrm{new}}=s_{p,\mathrm{old}}-\delta$。固定样本及无权准则时，两组直线张成相同子空间，系数和每星公共相位按
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    f_{\ell,\mathrm{new}}&=f_{\ell,\mathrm{old}}+\delta\dot f_{\ell,\mathrm{old}},
+    &\dot f_{\ell,\mathrm{new}}&=\dot f_{\ell,\mathrm{old}},\\
+    \chi_{\ell,\mathrm{new}}&=\chi_{\ell,\mathrm{old}}
+    +2\pi\left(f_{\ell,\mathrm{old}}\delta+\frac12\dot f_{\ell,\mathrm{old}}\delta^2\right)
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A7_affine_epoch_transform}
+\end{equation}
+%
+变换，保持二次相位均值相同。令 $\mathbf T_\delta$ 为四阶单位矩阵加上第 $(3,4)$ 元的 $\delta$，则消去幅相后的物理参数 $[\alpha,\beta,f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的有效协方差界满足 $\mathbf C_{\mathrm{new}}=\mathbf T_\delta\mathbf C_{\mathrm{old}}\mathbf T_\delta^\Tran$。该关系要求有效的完整结构协方差；未知 rate 已被消去的三维矩阵缺少频率与 rate 的互协方差，不能单独完成此变换。窗口拟合不会改变公共方向的几何假设，亦不引入地表位置约束。
+
 于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为
 %
 \begin{equation}
@@ -224,7 +308,7 @@
   \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},\qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}.
 \end{equation}
 %
-在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度--相位参数化在该点局部可微且相位参数可辨识；若某些块的幅度为零，则对应相位不可辨识，应在数值实现中删除该相位列或采用广义逆形式的 \gls{efim}。
+在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度参数位于非负约束的内部。同星公共相位仍可由该星其他非零幅度块提供信息，不能仅因一个块幅度为零就删除该星相位列；若该星所有块幅度均为零，其公共相位列才整体为零。零幅度边界须另行分析约束与可辨识性，不能仅靠广义逆恢复常规局部 \gls{crb}。
 则第 $(\ell,p)$ 个观测块的均值为
 %
 \begin{equation}
@@ -346,7 +430,7 @@
   \label{eq:A7_Ieff_cp}
 \end{equation}
 %
-其中 \eqref{eq:A7_Ieff_cp} 默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若由于低信噪比、零幅度块或几何退化导致干扰参数块秩亏，则数值仿真中应将 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}$ 替换为 Moore--Penrose 广义逆 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{\dagger}$，并将所得结果解释为广义 \gls{efim}。
+其中 \eqref{eq:A7_Ieff_cp} 默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若内部工作点存在冗余干扰方向，可按实切空间投影使用 Moore--Penrose 广义逆构造广义 Schur 补，见 \eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}。在正定噪声协方差下，有限信噪比降低本身不改变精确秩，数值病态须与结构性秩亏区分。从 \gls{efim} 求完整主参数的逆还须满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。
 从而其 \gls{crb} 为
 %
 \begin{equation}
@@ -463,8 +547,14 @@
 因此 $\dfrac{\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 且 $\dfrac{\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。
 由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。
 在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 \gls{doa} 得分的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差得分仍具有沿参考导向矢量的时间相位结构。
-在标准窄带阵列流形下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。
+这里还要求同一星的阵列响应在各帧冻结，已知导频与角度无关，噪声采用本节的时空白噪声，
+参考 Doppler 和 rate 为独立自由标量，并按结构化幅度及公共相位消元。
+在这些时空可分条件下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。
 这解释了单星多帧下 Doppler rate 已知与未知 \gls{doa} \gls{crb} 的严格重合。
+参考相对映射为零排除了角度的时间相位导数，但这一点本身不替代上述空间--时间正交条件。
+这一结论也适用于\appref{subsec:G_reference_bearing} 的有限距离参考来向参数化，
+只需该角坐标为正则局部坐标；已知高度不把两个参考标量改为角度的已知函数。
+观测时间不必居中，首帧首样本为时间原点同样成立。
 
 在多星情形中，非参考星通常满足
 %
@@ -482,8 +572,84 @@
 %
 此时 \gls{doa} 导数包含由 $\dfrac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial\Delta\dot\nu_\ell}{\partial x}$ 诱导的时间相位分量。
 因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，Doppler rate 已知与未知 \gls{doa} \gls{crb} 的完全相等性也不应被作为一般结论。
-若数值上多星 \gls{doa} \gls{crb} 仍与 Doppler rate 已知基准基本重合，更稳妥的解释是：在所选代表性几何下，\gls{doa} 残差得分与残差化的 Doppler rate 干扰方向的耦合较弱。
-这一定量现象适合作为 \gls{efim} 度量的自洽性检查，而不应升级为主要理论贡献。
+角相关的时间映射不自动保证角度界有可见变化。需进一步消去参考 Doppler，
+再比较角度的有效信息及协方差，而不是仅检查 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 是否有非零扣减。
+
+\paragraph{消去参考 Doppler 后的角度条件}
+沿用 \eqref{eq:A7_CP_K_partition_xi_nu_rate} 的分块，定义
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:A7_angle_rate_partial_coupling}
+  \begin{aligned}
+  \mathbf G&=\mathbf A_{\xi\xi}^{\mathrm K}
+       -\frac{\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}\mathbf a_{\nu\xi}^{\mathrm K}}
+                    {a_{\nu\nu}^{\mathrm K}},\\
+  \mathbf q&=\mathbf i_{\xi\dot\nu}
+       -\frac{\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}i_{\nu\dot\nu}}
+                    {a_{\nu\nu}^{\mathrm K}},\qquad
+  d=i_{\dot\nu\dot\nu}-\frac{i_{\nu\dot\nu}^2}{a_{\nu\nu}^{\mathrm K}}.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+假设扩展信息矩阵正定，因而 $a_{\nu\nu}^{\mathrm K}>0$、$d>0$。
+先消去 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 后，关于角度和 rate 的矩阵为
+$\left[\begin{smallmatrix}\mathbf G&\mathbf q\\\mathbf q^\Tran&d\end{smallmatrix}\right]$。
+因此，两个角度协方差子块为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:A7_angle_covariance_KU}
+  \mathbf C_{\xi}^{\mathrm K}=\mathbf G^{-1},\qquad
+  \mathbf C_{\xi}^{\mathrm U}
+    =\left(\mathbf G-\frac{\mathbf q\mathbf q^\Tran}{d}\right)^{-1},\qquad
+  \mathbf C_{\xi}^{\mathrm U}=\mathbf C_{\xi}^{\mathrm K}
+    \ \Longleftrightarrow\ \mathbf q=\mathbf0.
+\end{equation}
+%
+这由 Schur 消元的顺序等价性直接得到。$\mathbf q$ 是消去幅相和参考 Doppler 后的角度--rate 耦合；
+它可以因投影抵消而为零，即使 $\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和
+$\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 各自不为零。
+式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 是足够条件，
+而 \eqref{eq:A7_angle_covariance_KU} 给出这一正定工作点上更一般的判据。
+
+\paragraph{完整协方差更新与合成角度指标}
+记 $\mathbf C_{\eta}^{\mathrm K}=(\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K})^{-1}$，令
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:A7_rate_covariance_update}
+  \begin{aligned}
+  \mathbf v&=\mathbf C_{\eta}^{\mathrm K}\mathbf i_{\eta\dot\nu},\qquad
+  h=i_{\dot\nu\dot\nu}
+      -\mathbf i_{\dot\nu\eta}\mathbf C_{\eta}^{\mathrm K}\mathbf i_{\eta\dot\nu}>0,\\
+  \mathbf C_{\eta}^{\mathrm U}-\mathbf C_{\eta}^{\mathrm K}
+    &=\frac{\mathbf v\mathbf v^\Tran}{h},\qquad
+  \mathbf C_{\xi}^{\mathrm U}-\mathbf C_{\xi}^{\mathrm K}
+    =\frac{\mathbf v_\xi\mathbf v_\xi^\Tran}{h},\qquad
+  \mathbf v_\xi=\mathbf G^{-1}\mathbf q.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+将 \eqref{eq:A7_rate_covariance_update} 代回两个矩阵的乘积，或使用单秩逆更新，可验证该恒等式。
+完整 \gls{efim} 相同要求 $\mathbf i_{\eta\dot\nu}=\mathbf0$；
+角度子块相同只要求 $\mathbf v_\xi=\mathbf0$，允许参考 Doppler 方差增大。
+对 \eqref{eq:A7_direction_mse_bound} 的同一局部角度指标，有
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:A7_angle_metric_KU_difference}
+  B_\theta^{\mathrm U}-B_\theta^{\mathrm K}
+    =\frac{\mathbf v_\xi^\Tran\mathbf W_\xi\mathbf v_\xi}{h},\qquad
+  \sqrt{B_\theta^{\mathrm U}}-\sqrt{B_\theta^{\mathrm K}}
+    =\frac{B_\theta^{\mathrm U}-B_\theta^{\mathrm K}}
+                {\sqrt{B_\theta^{\mathrm U}}+\sqrt{B_\theta^{\mathrm K}}}.
+\end{equation}
+%
+在 $\cos\beta\ne0$ 的正则角坐标中，$\mathbf W_\xi\succ0$，
+所以该合成指标严格相等与角度协方差子块严格相等等价；
+这来自本模型的半正定单秩更新，不是任意两个协方差具有相同加权迹的一般性质。
+对非满秩的其他投影指标，指标相等只要求 $\mathbf W_\xi^{1/2}\mathbf v_\xi=\mathbf0$。
+经纬度实现转为参考来向时，须先按 \eqref{eq:G_bearing_covariance_transform} 变换完整协方差，保留交叉项。
+多星指标近似一致的直接条件是 \eqref{eq:A7_angle_metric_KU_difference} 相对于报告尺度足够小，
+不要求完整 \gls{efim} 扣减矩阵很小。时间、几何、空间信息和参考 Doppler 的消元共同决定这个量。
+若信息奇异，上述普通逆不适用，应先检查可估角度子空间；不能由完整矩阵的伪逆子块判定 K/U 相等。
 
 \subsubsection{放松连续相位模型下的 CRB}
 
@@ -499,7 +665,7 @@
   \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}=\zeta^{(r)}_{\ell,p}+j\zeta^{(i)}_{\ell,p}.
 \end{equation}
 %
-这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，因此该模型只是放松了块复系数结构，并未放弃跨帧\gls{cp} 模板。
+这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，但自由块复系数可以吸收每帧常相位；保留绝对时间模板不再保留结构化 \gls{cp} 的同星公共相位约束。该放松模型与 \gls{ip} 的参数对应见 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence}。
 
 令扩展参数向量为
 %
@@ -681,26 +847,43 @@
   \mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\psi}
 \end{equation}
 %
-为白化 Jacobian。则 Schur 补可写成
+为白化 Jacobian。由于主参数与干扰参数均为实参数，先定义实化矩阵
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf A\triangleq
+  \begin{bmatrix}\Re\{\bar{\mathbf J}_{\eta}\}\\\Im\{\bar{\mathbf J}_{\eta}\}\end{bmatrix},
+  \qquad
+  \mathbf B\triangleq
+  \begin{bmatrix}\Re\{\bar{\mathbf J}_{\psi}\}\\\Im\{\bar{\mathbf J}_{\psi}\}\end{bmatrix}.
+  \label{eq:A7_realified_jacobians}
+\end{equation}
+%
+完整均值参数的 Fisher 信息为 $2[\mathbf A,\mathbf B]^\Tran[\mathbf A,\mathbf B]$。对干扰参数执行 Schur 补得到
 %
 \begin{equation}
   \mathcal I_{\mathrm{e}}
   =
-  2\Re\left\{
-    \bar{\mathbf J}_{\eta}^{\Herm}
-    \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
-    \bar{\mathbf J}_{\eta}
-  \right\},
+  2\mathbf A^\Tran\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A,
   \qquad
-  \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
+  \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}
   =
-  \mathbf I-
-  \bar{\mathbf J}_{\psi}
-  \left(\bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}\bar{\mathbf J}_{\psi}\right)^{\dagger}
-  \bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}.
+  \mathbf I-\mathbf B\mathbf B^\dagger.
   \label{eq:A7_efim_projection_interpret}
 \end{equation}
 %
+实化保证干扰扰动的系数为实数。直接向 $\bar{\mathbf J}_{\psi}$ 的复列空间正交补投影，一般会扩大可消去的干扰空间；只有被消去的实切空间本身对乘以 $j$ 封闭时，才可改用复投影，例如逐块自由复增益的实部与虚部成对消元。结构化 \gls{cp} 的实幅度、共享相位及实值 Doppler rate 须按 \eqref{eq:A7_efim_projection_interpret} 处理。
+
+一个最小检验是已知方向与 rate 的单星两帧模型：各帧仅在时间索引 $0,1$ 处观测一个样本，幅度真值均为 $1$，公共相位及参考 Doppler 真值均为 $0$，噪声复方差为 $1$。对参数 $(\nu,\rho_0,\rho_1,\chi)$ 的均值 Jacobian 为
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf J=\begin{bmatrix}0&1&0&j\\j&0&1&j\end{bmatrix},
+  \qquad
+  \mathcal I_{\nu,\mathrm e}=2-\frac{2^2}{4}=1.
+  \label{eq:A7_real_projection_counterexample}
+\end{equation}
+%
+若错误地将两个实幅度列按复系数投影，它们已张成整个 $\mathbb C^2$，会得到零信息，丢失两帧相位差对 Doppler 的约束。
+
 因此，对任意实扰动 $\delta\boldsymbol\eta$，有
 %
 \begin{equation}
@@ -709,8 +892,7 @@
   \delta\boldsymbol\eta
   =
   2\left\|
-    \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
-    \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+    \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
   \right\|_2^2.
   \label{eq:A7_efim_quadratic_projection}
 \end{equation}
@@ -722,8 +904,7 @@
   \quad\Longleftrightarrow\quad
   \exists\ \delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0,
   \quad
-  \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
-  \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+  \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
   =
   \mathbf 0,
   \label{eq:A7_exact_absorbed_direction}
@@ -732,46 +913,51 @@
 也即
 %
 \begin{equation}
-  \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+  \mathbf A\delta\boldsymbol\eta
   \in
-  \operatorname{range}(\bar{\mathbf J}_{\psi}).
+  \operatorname{range}_{\mathbb R}(\mathbf B).
   \label{eq:A7_range_absorbed_direction}
 \end{equation}
 %
 近奇异情形对应于
 %
 \begin{equation}
-  \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+  \mathbf A\delta\boldsymbol\eta
   \approx
-  \bar{\mathbf J}_{\psi}\delta\boldsymbol\psi,
+  \mathbf B\delta\boldsymbol\psi,
+  \qquad \delta\boldsymbol\psi\in\mathbb R^{\dim\boldsymbol\psi_\mu},
   \label{eq:A7_near_nuisance_absorption}
 \end{equation}
 %
-即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由干扰参数扰动近似表示。
+即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由实干扰参数扰动近似表示。对本节三个主参数，常规局部 \gls{crb} 存在的条件为
+%
+\begin{equation}
+  \operatorname{rank}\big(\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\big)=3.
+  \label{eq:A7_real_rank_condition}
+\end{equation}
+%
+只有满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 才能将 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 解释为完整主参数的局部无偏协方差下界。若秩亏，应报告不可辨识方向；$\mathcal I_{\mathrm e}^{\dagger}$ 只用于满足相应可估条件的函数或已声明约束下的子空间，不能把零特征值方向解释为零误差界。
 
 为了把这种近似表示写成可度量的量，定义最小投影角
 %
 \begin{equation}
   \sin^2\theta_{\min}
   \triangleq
-  \min_{\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0}
+  \min_{\mathbf A\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0}
   \frac{
     \left\|
-      \mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
-      \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+      \mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
     \right\|_2^2
   }{
     \left\|
-      \bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
+      \mathbf A\delta\boldsymbol\eta
     \right\|_2^2
   }.
   \label{eq:A7_min_projection_angle}
 \end{equation}
 %
 式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，\gls{efim} 在某个方向上的有效信息正比于该方向
-得分在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时，
-$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加，
-则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。
+得分在实干扰子空间正交补上的残余能量。定义域排除了零原始得分；若存在非零 $\delta\boldsymbol\eta$ 使 $\mathbf A\delta\boldsymbol\eta=\mathbf0$，则已直接违反 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。$\theta_{\min}$ 衡量相对于原始得分能量的信息损失比例，实际小特征值还取决于得分尺度；比较条件数时应先统一参数单位并声明尺度归一化。
 
 接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 \gls{efim} 按
 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
@@ -1005,7 +1191,7 @@ Doppler 梳状分支（comb）。
 因此，增加块长主要增强的是相邻 Doppler 梳齿的块内区分度，而不是必然依赖
 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 在单块内部产生可观测的二次相位曲率。
 
-该分析也解释了周期窗口与非周期子集的不同作用。若采用非周期子集
+不同帧时刻集合的作用可直接由谱窗判断。对所选帧集合
 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
 %
 \begin{equation}
@@ -1015,9 +1201,9 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
   \label{eq:A7_subset_frame_window}
 \end{equation}
 %
-当 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}$ 不再满足严格等间隔结构时，式~\eqref{eq:A7_tooth_spacing_discrete}
-给出的候选偏移不再必然同时对齐所有帧相位，因而可压低周期梳状结构的旁瓣。由此可将实际求解分解为两类问题：
-非周期子集更适合执行梳齿捕获，完整周期窗口则更适合在梳齿已选对时执行同一梳齿内的相干精化。
+若所有 $\tau_{p_q}$ 仍是同一间隔 $\Delta\tau_{\mathrm f}$ 的整数倍，则 \eqref{eq:A7_tooth_spacing_discrete}
+给出的偏移仍使所有帧起始相位对齐，即使相邻所选帧的间隔不相等也如此。打破这些同相条件需要改变采样格点，或利用帧内相位与其他观测约束。
+非等间隔设计的旁瓣与捕获性能应结合谱窗和能量比较，不能仅凭帧集合不连续便断定其优于完整观测。
 这也说明，选错梳齿的误差是全局轮廓似然的分支选择问题；而
 式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}--\eqref{eq:A7_nu_info_after_coupling} 描述的是给定分支内的局部可辨识性。
 
@@ -1441,12 +1627,20 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
 
 \subsubsection{与 A7 中放松连续相位结果的关系}
 
-式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 \gls{fim}的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 放松 \gls{cp} 模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}：
-\begin{itemize}
-  \item  \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是\gls{cp} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性；
-  \item 本附录使用的是\gls{ip} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。
-\end{itemize}
-因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``\gls{cp} vs.~\gls{ip}''对比的统计本质。
+在相同 Doppler/rate 映射、噪声和采样配置下，放松 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的模板只相差块常相位：
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    c_{\ell,p}&\triangleq\nu_\ell\tau_p+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell\tau_p^2,\\
+    \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}&=e^{jc_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p},
+    \qquad
+    \zeta^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
+    =\zeta^{\mathrm{cp,rel}}_{\ell,p}e^{jc_{\ell,p}}.
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A8_rel_ip_equivalence}
+\end{equation}
+%
+自由复增益使 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence} 成为可逆的干扰参数重参数化。对主参数求导产生的附加项 $j\left(\dfrac{\partial c_{\ell,p}}{\partial x}\right)\mathbf g_{\ell,p}$ 落在块复增益的干扰切空间内，消元后两种写法给出相同的扩展 \gls{efim}，进一步消去 rate 后也相同。结构化 \gls{cp} 则限制同星各帧共享相位，不能逐块吸收这些常相位；其与 \gls{ip} 的信息差异来自这一约束。
 
 从 \gls{efim} 病态的角度看，\gls{ip} 模型与 放松 \gls{cp} 模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian
 %
@@ -1462,25 +1656,20 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
   \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu}},
 \end{equation}
 %
-则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于
+将这些矩阵按 \eqref{eq:A7_realified_jacobians} 实化为 $\mathbf A^{\mathrm{ip}}$ 与 $\mathbf B^{\mathrm{ip}}$，则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的广义 Schur 补形式为
 %
 \begin{equation}
   \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{e}}
   =
-  2\Re\left\{
-    (\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta})^{\Herm}
-    \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}
-    \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}
-  \right\}.
+  2(\mathbf A^{\mathrm{ip}})^\Tran
+    \big(\mathbf I-\mathbf B^{\mathrm{ip}}(\mathbf B^{\mathrm{ip}})^\dagger\big)
+    \mathbf A^{\mathrm{ip}}.
   \label{eq:A8_IP_EFIM_projection}
 \end{equation}
 %
 因此，\gls{ip} 模型下的弱可辨识方向仍由
-$\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$
-的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 放松 \gls{cp} 模型相比，二者的主要区别不在
-Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个
-$(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共
-Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。
+$\mathcal P^{\perp}_{\mathbf B^{\mathrm{ip}}}\mathbf A^{\mathrm{ip}}$
+的实秩和最小奇异方向决定。仅消去逐块自由复增益时，式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_block_eff} 的复投影是合法简化；将实值 rate 一并消去时须使用实 Schur 补或 \eqref{eq:A8_IP_EFIM_projection}，完整主参数求逆仍需满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。在相同工作点，放开结构化 \gls{cp} 的公共相位约束只会减少或保持有效信息；这不意味着每个归一化耦合系数都会单调增大。
 
 
 \subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
@@ -1496,3 +1685,63 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合
 因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 \gls{fim}中附加一个与其他参数解耦的对角块。
 
 至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/放松 \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
+
+\subsection{全局方向与参考 Doppler 的局部误差指标}
+\label{subsec:globalDirectionErrorMetrics}
+
+上述信息矩阵以弧度及归一化 Doppler 为参数单位。为将局部界与误差指标对应，设 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 成立，记 $\mathbf C_\eta=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$，其角度子块为 $\mathbf C_\xi$。对局部无偏估计，角度分量方差界为 $[\mathbf C_\eta]_{11}$ 与 $[\mathbf C_\eta]_{22}$；周期方位角误差须先在真值附近展开。标准差界取方差界的平方根，度单位的方差界再乘 $(180/\pi)^2$。
+
+公共方向夹角定义为 $\theta=\arccos(\mathbf u^\Tran\widehat{\mathbf u})$。在零误差处 $\arccos$ 的普通一阶导数不可用；由单位向量的切向变化得到局部二阶度量。令 $\mathbf U=\partial\mathbf u/\partial\boldsymbol\xi^\Tran$，则
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf U^\Tran\mathbf U
+  =\begin{bmatrix}\cos^2\beta&0\\0&1\end{bmatrix}
+  \triangleq\mathbf W_\xi,
+  \qquad
+  \theta^2
+  =\delta\boldsymbol\xi^\Tran\mathbf W_\xi\delta\boldsymbol\xi
+  +o(\|\delta\boldsymbol\xi\|_2^2).
+  \label{eq:A7_direction_local_metric}
+\end{equation}
+%
+因此，小误差、局部无偏条件下，夹角均方误差的局部二阶下界为
+%
+\begin{equation}
+  B_\theta
+  \triangleq\operatorname{tr}(\mathbf W_\xi\mathbf C_\xi)
+  =\cos^2\beta[\mathbf C_\eta]_{11}+[\mathbf C_\eta]_{22}.
+  \label{eq:A7_direction_mse_bound}
+\end{equation}
+%
+$B_\theta$ 的单位为 rad$^2$，对应的夹角均方根误差界为 $\sqrt{B_\theta}$；这不是对任意有限误差或有偏估计器的全局界。有偏估计的局部角度均方误差还含偏差二次项，须使用相应有偏界。在 $\beta=\pm\pi/2$ 处方位角坐标退化，应在二维正交切平面基下重新参数化并构造信息，不能用退化角坐标的伪逆解释完整方向精度。
+
+参考 Doppler 的物理单位界由 \eqref{eq:sec5_physical_normalized_rates} 换算：
+%
+\begin{equation}
+  B_{f_{\mathrm{ref}}}
+  =\frac{[\mathbf C_\eta]_{33}}{(2\pi T_{\mathrm s})^2},
+  \qquad
+  \sqrt{B_{f_{\mathrm{ref}}}}
+  =\frac{\sqrt{[\mathbf C_\eta]_{33}}}{2\pi T_{\mathrm s}}.
+  \label{eq:A7_physical_doppler_bound}
+\end{equation}
+%
+两者单位分别为 Hz$^2$ 与 Hz。若另报告未知参考 rate 的精度，应从消去幅相干扰后的扩展四维协方差 $\mathbf C_{\mathrm{ext}}$ 取第 $4$ 个对角元，再除以 $(2\pi T_{\mathrm s}^2)^2$；rate 已知时不报告其估计方差。
+
+导数实现若采用度、Hz 与 Hz/s，可用一次参数变换统一核对。令
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    \boldsymbol z
+    &=[\alpha_{\mathrm{deg}},\beta_{\mathrm{deg}},f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran,\\
+    \boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}&=\mathbf S\boldsymbol z,\qquad
+    \mathbf S=\operatorname{diag}\left(\frac{\pi}{180},\frac{\pi}{180},
+      2\pi T_{\mathrm s},2\pi T_{\mathrm s}^2\right),\\
+    \mathbf J_z&=\mathbf J_{\eta_{\mathrm{ext}}}\mathbf S,\qquad
+    \mathcal I_z=\mathbf S^\Tran\mathcal I_{\eta_{\mathrm{ext}}}\mathbf S,\qquad
+    \mathbf C_z=\mathbf S^{-1}\mathbf C_{\mathrm{ext}}\mathbf S^{-\Tran}.
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A7_parameter_unit_transform}
+\end{equation}
+%
+K 配置删除 rate 行列即可；这些关系要求比较同一均值模型、同一工作点和同一干扰参数配置。

parts/G-userPositionCrb.tex

@@ -2,10 +2,10 @@
 \label{sec:userPositionCrb}
 
 \begin{mdquote}
-\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:userPositioning}~节的位置参数化模型 \gls{crb}。整套构造（联合堆叠、复增益 Schur 补、\gls{efim} 投影--Gram）与\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 一致，唯一重写主参数 Jacobian：全局角 $(\alpha,\beta)$ 的导数换成对位置 $\mathbf p$ 的导数。
+\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:userPositioning}~节的有限距离位置模型。联合观测与复增益消元沿用\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的方法，主参数 Jacobian 按位置诱导的角度、Doppler 和传播时延重新构造。
 \begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
-  \item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}},\tau_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^5$（用户位置与参考 Doppler、参考时延）；\emph{干扰参数} 同附录 E（各星复增益与噪声方差）。
-  \item \emph{本附录给出} 位置对视线与本地角、差分 Doppler、传播时延的链式 Jacobian，及由此的位置 \gls{crb}；其余直接引用附录 E 的结果。
+  \item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^5$（用户位置、参考时延与参考 Doppler）；\emph{干扰参数} 同\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}（各星复增益与噪声方差）。
+  \item \emph{本附录给出} 位置对视线与本地角、含地固用户速度的差分 Doppler、传播时延的链式 Jacobian，及由此的位置 \gls{crb}；其余直接引用\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的结果。
   \item \emph{本附录局部符号} $\mathbf u_\ell$：星 $\ell$ 单位视线；$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$：星--用户位移；$\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}$：时延模板。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
 \end{itemize}
 \end{mdquote}
@@ -21,7 +21,7 @@
 \end{equation}
 %
 两点结构性读法：因子 $1/\|\mathbf r_\ell\|_2$ 表明角灵敏度随距离衰减——这正是远场极限下位置不可由角度观测的根源；投影 $\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran$（秩 $2$）表明沿视线方向（径向）平移不改变该星方向，只有横向平移可观测，故单星无法定距，必须靠多星视差把各秩 $2$ 投影补成满秩 $3$。
-本地视线 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$ 给出 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$，再按与 \eqref{eq:A6_local_angle_chain} 同样的 atan2/arcsin 链式法则得到本地角对位置的 Jacobian $\dfrac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}\in\mathbb R^{2\times3}$，从而阵列导向矢量对位置的 Jacobian 为
+本地传播方向为 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$，因此 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}=-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$。在该传播方向处应用 \eqref{eq:A6_local_angle_chain} 的 atan2/arcsin 链式法则，得到本地角对位置的 Jacobian，从而阵列导向矢量对位置的 Jacobian 为
 %
 \begin{equation}
   \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}
@@ -32,20 +32,22 @@
 \end{equation}
 %
 其中阵列流形 Jacobian $\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_a_local_jac}。
-Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分 \eqref{eq:sec7_dnu_pos}，有
+Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分 \eqref{eq:sec7_dnu_pos}，并令 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}=\partial\mathbf v_u/\partial\mathbf p$，有
 %
 \begin{equation}
   \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
   =\frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
   =\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
-  \left[\mathbf v_\ell^\Tran\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
-  -\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran\frac{\partial\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\mathbf p}\right]\in\mathbb R^{1\times3},
+  \left[(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u(\mathbf p))^\Tran\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
+  -\mathbf u_\ell^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}
+  -(\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}-\mathbf v_u(\mathbf p))^\Tran\frac{\partial\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\mathbf p}
+  +\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\right]\in\mathbb R^{1\times3},
   \qquad
   \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1,
   \label{eq:H_dnudp}
 \end{equation}
 %
-其中 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$ 正是 \eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——\gls{aoa} 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源，且同样随距离增大而衰减。传播时延通道同理：由 $\tau_\ell=\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与 \eqref{eq:sec7_tau_pos}，
+其中 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$ 正是 \eqref{eq:H_dudp}，而 $\partial\mathbf v_u/\partial\mathbf p=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$ 来自地固用户的 ECI 速度映射。第一、第三项由卫星--用户相对速度加权，因而同时包含视线随位置变化时用户速度投影的导数；显式的地固用户速度映射项则贡献 $-(\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}})^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$。当两条视线趋于共同方向且有限距离投影退化时，这两类项分别退化或抵消。传播时延通道由 $\tau_\ell=\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与 \eqref{eq:sec7_tau_pos} 给出，
 %
 \begin{equation}
   \frac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}
@@ -108,9 +110,530 @@ Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与
 几何精度因子（GDOP）即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。
 
 \begin{mdquote}
-\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由 \eqref{eq:H_dudp} 与 \eqref{eq:H_dtaudp}，当所有 $\|\mathbf r_\ell\|_2\to\infty$ 时 $\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$ 且 $\dfrac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$（$\mathbf u_\ell\to\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}$），角度、Doppler 与时延三条通道对位置的灵敏度同时径向退化，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的三列位置导数趋于线性相关，$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}（两个自由标量 $\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作绝对量被 Schur 消去）。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。
+\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由 \eqref{eq:H_dudp} 与 \eqref{eq:H_dtaudp}，在各星视线趋于共同方向的远场极限中，$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$ 且 $\dfrac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$；FDOA 的用户速度项因 $\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}\to\mathbf0$ 而抵消，卫星相对运动项的有限距离投影也随之退化。于是角度、Doppler 与时延三条通道对位置的灵敏度同时径向退化，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的位置导数失去距离方向上的独立性，$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}（两个自由标量 $\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作绝对量被 Schur 消去）。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。
 \end{mdquote}
 
+\subsection{已知高度下的经纬度参数化与方向 CRB}
+\label{subsec:A6_latlon_crb}
+
+已知高度时，地表位置可用经纬度两个参数表示。本小节讨论这一约束下的位置模型，并与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节的公共方向模型比较。采用单用户、单观测块、已对齐导频和各星独立未知复增益，几何信息仅通过阵列方向与差分 Doppler 进入；前面位置模型中的传播时延通道在本小节不参与估计。
+
+记经纬度为 $\boldsymbol\vartheta=[\lambda_{\mathrm g},\varphi_{\mathrm g}]^\Tran$，依次为经度和纬度，均以弧度计。给定高度 $h_0$、地表模型及参考时刻的地固系到惯性系旋转 $\mathbf R_0$，定义
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf p(\boldsymbol\vartheta)=\mathbf R_0\mathbf p_{\mathrm E}(\boldsymbol\vartheta,h_0),
+  \qquad
+  \mathbf P=\frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}\in\mathbb R^{3\times2}.
+  \label{eq:A6_latlon_surface}
+\end{equation}
+%
+这里 $\mathbf p_{\mathrm E}$ 是选定地表的地固坐标映射；椭球模型采用大地纬度及相应高度定义。作为球面特例，令地球半径为 $R_{\mathrm E}$，则
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf p_{\mathrm E}=(R_{\mathrm E}+h_0)
+  \begin{bmatrix}
+    \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\
+    \cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\
+    \sin\varphi_{\mathrm g}
+  \end{bmatrix},\qquad
+  \mathbf P=\mathbf R_0(R_{\mathrm E}+h_0)
+  \begin{bmatrix}
+    -\cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\
+    \cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\
+    0 & \cos\varphi_{\mathrm g}
+  \end{bmatrix}.
+  \label{eq:A6_latlon_sphere}
+\end{equation}
+
+为沿用公共方向模型的传播约定，定义源到接收星的单位方向 $\mathbf w_\ell=(\mathbf s_\ell-\mathbf p)/r_\ell$，其中 $r_\ell=\|\mathbf s_\ell-\mathbf p\|_2$。它与 \eqref{eq:H_dudp} 使用的星到用户视线 $\mathbf u_\ell$ 互为相反数。由单位向量求导得到
+%
+\begin{equation}
+  \mathbf W_\ell\triangleq\frac{\partial\mathbf w_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+  =-\frac{1}{r_\ell}(\mathbf I_3-\mathbf w_\ell\mathbf w_\ell^\Tran)\mathbf P,
+  \qquad
+  \frac{\partial\mathbf w_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+  =\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell.
+  \label{eq:A6_latlon_los_jac}
+\end{equation}
+%
+采用 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 的负空间指数时，第 $m$ 个阵元的角度链式导数为
+%
+\begin{equation}
+  \frac{\partial[\mathbf a_\ell]_m}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+  =-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}[\mathbf a_\ell]_m
+  (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell.
+  \label{eq:A6_latlon_steering_jac}
+\end{equation}
+%
+对地固静止用户，参考时刻的惯性速度为 $\mathbf v_u=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$，其中 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$ 表示地球自转角速度的叉乘矩阵。定义几何链路频移 $b_\ell=-(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf w_\ell/\lambda_{\mathrm c}$，其导数与参考星差分为
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    \mathbf b_{\ell,\vartheta}
+    &\triangleq\frac{\partial b_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+    =\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}\left[
+      -(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf W_\ell
+      +\mathbf w_\ell^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf P\right],\\
+    \nu_\ell&=\nu_{\mathrm{ref}}+2\pi T_{\mathrm s}(b_\ell-b_{\ell_{\mathrm{ref}}}),\qquad
+    \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+    =2\pi T_{\mathrm s}(\mathbf b_{\ell,\vartheta}-\mathbf b_{\ell_{\mathrm{ref}},\vartheta}).
+  \end{aligned}
+  \label{eq:A6_latlon_doppler_jac}
+\end{equation}
+%
+参考 Doppler 仍为自由参数；地固用户速度的跨链路差分由几何保留。令本小节主参数为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\vartheta^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，按 \eqref{eq:A6_Dl} 的 Kronecker 链式法则组装 $\mathbf D_\ell=\partial\mathbf g_\ell/\partial\boldsymbol\eta^\Tran$，代入 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 即得经纬度与参考 Doppler 的联合 \gls{efim}。其满秩时取逆，角度子块即经纬度 \gls{crb}；若仅保留经纬度为目标，则先对参考 Doppler 取 Schur 补。已知高度通过 \eqref{eq:A6_latlon_surface} 限制参数切空间，高度未知时须增加高度列并按目标选择保留或消元。
+
+\paragraph{同一模型的坐标不变性}
+若同一个均值、噪声及干扰参数模型同时以 $\boldsymbol\xi$ 和 $\boldsymbol\vartheta$ 表示，且 $\boldsymbol\xi=h(\boldsymbol\vartheta)$ 在工作点局部可逆，记 $\mathbf H=\partial\boldsymbol\xi/\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran$、$\mathbf T=\operatorname{diag}(\mathbf H,1)$。由得分的链式法则及相同干扰切空间消元，有
+%
+\begin{equation}
+  \mathcal I_{\mathrm e,\vartheta}=\mathbf T^\Tran\mathcal I_{\mathrm e,\xi}\mathbf T,
+  \qquad
+  \mathbf C_\xi=\mathbf T\mathbf C_\vartheta\mathbf T^\Tran,
+  \qquad \mathbf C=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}.
+  \label{eq:A6_latlon_reparameterization}
+\end{equation}
+%
+此处下标仅区分两套坐标中的联合矩阵。相同物理量的局部无偏界在变换后相同。另一种等价比较是：在有限距离模型中，用参考星视线与已知地表的局部唯一、横截交点来定义方向坐标，再由该交点生成所有卫星的视线；此时仍满足 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization}。地平线切点、多交点分支及角坐标极点需要另选局部参数图。
+
+\paragraph{公共方向近似与比较指标}
+公共方向模型令各星共享 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；有限距离模型则使用 \eqref{eq:A6_latlon_los_jac} 中逐星不同的 $\mathbf w_\ell$ 和 $\mathbf W_\ell$。二者一般不是 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization} 所描述的同一模型换坐标。比较时须统一观测通道、已知高度条件、参考时刻、噪声、干扰参数与输出物理量。若经纬度协方差界的角度块为 $\mathbf C_{\vartheta\vartheta}$，则局部位置均方误差界与参考星方向夹角均方误差界分别为
+%
+\begin{equation}
+  B_{\mathrm p}=\operatorname{tr}(\mathbf P\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf P^\Tran),
+  \qquad
+  B_{\mathrm{dir,ref}}=\operatorname{tr}(\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran).
+  \label{eq:A6_latlon_metrics}
+\end{equation}
+%
+两者单位分别为长度平方与弧度平方，开方后才是均方根界。球面例子中
+%
+\begin{equation}
+  B_{\mathrm p}=(R_{\mathrm E}+h_0)^2
+  \left(\cos^2\varphi_{\mathrm g}[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{11}+[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{22}\right).
+  \label{eq:A6_latlon_sphere_metric}
+\end{equation}
+%
+公共方向的夹角界为 $\cos^2\beta[\mathbf C_{\xi\xi}]_{11}+[\mathbf C_{\xi\xi}]_{22}$。小视差使两类模型接近还需相应的投影后 Jacobian 接近；当最弱信息方向接近零时，小的信息扰动也可导致较大的逆矩阵差异。因此，公共方向与地表模型的界没有普遍的大小排序，接近程度须在统一指标及可辨识工作点上检验。
+
+\subsection{已知高度曲面上的参考视线与多帧 Doppler}
+\label{subsec:G_reference_bearing}
+
+前一小节用经纬度描述已知高度曲面。同一有限距离模型也可用参考星在参考时刻的来向描述曲面交点。本小节保留逐星不同的视线，仅利用阵列方向和 Doppler；导频已对齐，传播时延不参与估计。位置由两个角和已知曲面决定，是几何映射的中间量。每个阵列仍采用单星平面波近似，各星接收端的绝对载波相位独立未知。
+
+\paragraph{参考射线与曲面交点}
+记物理参考时刻为 $t_0$，参考星编号为 $r$，惯性系位置为 $\mathbf s_r(t_0)$。定义参考来向角 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 为卫星指向源的 \gls{eci} 方位角与俯仰角，均以弧度计，其单位向量与角导数为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_direction}
+  \begin{aligned}
+  \mathbf e(\boldsymbol\xi)
+    &=\begin{bmatrix}\cos\beta\cos\alpha\\\cos\beta\sin\alpha\\\sin\beta\end{bmatrix},\\
+  \mathbf E=\frac{\partial\mathbf e}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
+    &=\begin{bmatrix}
+      -\cos\beta\sin\alpha&-\sin\beta\cos\alpha\\
+       \cos\beta\cos\alpha&-\sin\beta\sin\alpha\\
+       0&\cos\beta
+      \end{bmatrix}.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+这一来向与源到卫星的传播方向相反。令已知高度曲面在 $t_0$ 的惯性系表示为 $F_0(\mathbf p)=0$，在指定可见分支上求正距离 $d$：
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_intersection}
+  \mathbf p_0=\mathbf s_r(t_0)+d(\boldsymbol\xi)\mathbf e(\boldsymbol\xi),
+  \qquad F_0(\mathbf p_0)=0,\qquad d>0.
+\end{equation}
+%
+例如，球面半径 $R=R_{\mathrm E}+h_0$ 时，外部卫星的近交点为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_sphere_root}
+  d=-\mathbf s_r^\Tran\mathbf e-
+       \sqrt{(\mathbf s_r^\Tran\mathbf e)^2-(\|\mathbf s_r\|_2^2-R^2)}.
+\end{equation}
+%
+需检查根号内严格为正、$d>0$ 及无遮挡。远交点通常位于地球遮挡侧，应由可见性规则排除。一般椭球的大地高度曲面采用实际高度函数定义；除高度为零等特例外，把椭球两条半轴都加上 $h_0$ 并不等同于恒定大地高度曲面。
+
+令 $\mathbf n=\nabla F_0(\mathbf p_0)$。在 $\mathbf n^\Tran\mathbf e\ne0$ 的横截交点处，对 \eqref{eq:G_bearing_intersection} 隐式求导得到
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_intersection_jac}
+  \begin{aligned}
+  \frac{\partial d}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
+     &=-d\,\frac{\mathbf n^\Tran\mathbf E}{\mathbf n^\Tran\mathbf e},\\
+  \mathbf P_\xi\triangleq\frac{\partial\mathbf p_0}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
+     &=d\left(\mathbf I_3-
+            \frac{\mathbf e\mathbf n^\Tran}{\mathbf n^\Tran\mathbf e}\right)\mathbf E,
+       \qquad \mathbf n^\Tran\mathbf P_\xi=\mathbf0 .
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+交点分支局部唯一、$\cos\beta\ne0$ 且横截条件成立时，$\mathbf P_\xi$ 秩为 $2$，两角与曲面位置局部一一对应。切线处该表达式奇异；多交点分支、遮挡边界及方位角极点需单独处理。对搜索域的可见性判断使用地面法向与源到卫星方向的夹角，它不同于 \gls{eci} 俯仰角和阵列离轴角。
+
+\paragraph{已知源运动与逐星视线}
+地固静止源的惯性轨迹由已知地球姿态决定，写为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_source_motion}
+  \begin{aligned}
+  \mathbf p(t)&=\mathbf B(t)\mathbf p_0,\qquad
+       \mathbf B(t)=\mathbf R(t)\mathbf R(t_0)^\Tran,\\
+  \mathbf v_u(t)&=\dot{\mathbf B}(t)\mathbf p_0,\qquad
+  \mathbf a_u(t)=\ddot{\mathbf B}(t)\mathbf p_0,\\
+  \mathbf P(t)&=\mathbf B(t)\mathbf P_\xi,\qquad
+  \mathbf V_\xi(t)=-\dot{\mathbf B}(t)\mathbf P_\xi,\qquad
+  \mathbf A_\xi(t)=-\ddot{\mathbf B}(t)\mathbf P_\xi .
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+这里 $\mathbf R(t)$ 为地固系到惯性系的已知旋转；导数按物理秒计算。$\mathbf V_\xi$、$\mathbf A_\xi$ 分别是卫星--源相对速度与相对加速度对两角的 Jacobian，卫星星历不随候选角变化。匀速自转近似下 $\dot{\mathbf B}=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf B$、$\ddot{\mathbf B}=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}^2\mathbf B$。若选用惯性静止源特例，则令 $\mathbf B=\mathbf I_3$ 且两阶导数为零；两种源运动约定须在生成与估计中一致。
+
+\paragraph{位置映射与速度近似分别给定时}
+部分实现采用逐历元坐标旋转给出位置，同时另用简化自转速度给出 Doppler。可将这一确定性协议写为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_mixed_motion}
+  \begin{aligned}
+  \mathbf p(t)&=\mathbf B(t)\mathbf p_0,\qquad
+  \widetilde{\mathbf v}_u(t)=\mathbf C(t)\mathbf p_0,\\
+  \frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
+       &=\mathbf B(t)\mathbf P_\xi,\qquad
+  \frac{\partial\widetilde{\mathbf v}_u}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
+       =\mathbf C(t)\mathbf P_\xi,\\
+  \boldsymbol\epsilon_v(t)
+       &=\widetilde{\mathbf v}_u(t)-\dot{\mathbf p}(t)
+        =(\mathbf C(t)-\dot{\mathbf B}(t))\mathbf p_0 .
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+这里 $\mathbf B(t)$ 与 $\mathbf C(t)$ 为已知且不随候选角变化的矩阵。例如，$\widetilde{\mathbf v}_u=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$ 对应 $\mathbf C=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf B$。只有当 $\dot{\mathbf B}=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf B$ 时，它才是该位置轨迹的精确速度；包含其他时间变化旋转的坐标转换须使用其实际导数检查这一等式。候选角导数与时间导数是不同操作：即使 $\mathbf C\ne\dot{\mathbf B}$，\eqref{eq:G_bearing_mixed_motion} 的两个角 Jacobian 仍分别成立。
+
+令 $\mathbf v_\ell^{\,g}=\mathbf v_\ell-\dot{\mathbf B}\mathbf p_0$ 为位置轨迹的实际相对速度，$\widetilde{\mathbf v}_\ell^{\mathrm{rel}}=\mathbf v_\ell-\mathbf C\mathbf p_0$ 为 Doppler 近似中采用的相对速度。沿用逐历元位置计算的 LOS，有
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_mixed_time_derivatives}
+  \begin{aligned}
+  \dot{\mathbf w}_\ell
+    &=\frac{\mathbf S_\ell\mathbf v_\ell^{\,g}}{r_\ell},\\
+  \widetilde b_\ell
+    &=-\frac{(\widetilde{\mathbf v}_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf w_\ell}
+                  {\lambda_{\mathrm c}},\\
+  \frac{\mathrm d\widetilde b_\ell}{\mathrm dt}
+    &=-\frac{
+       (\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}-\dot{\mathbf C}\mathbf p_0)^\Tran\mathbf w_\ell
+       +(\widetilde{\mathbf v}_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\dot{\mathbf w}_\ell}
+               {\lambda_{\mathrm c}},\\
+  \frac{\partial\widetilde b_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
+    &=-\frac{-\mathbf w_\ell^\Tran\mathbf C\mathbf P_\xi+
+       (\widetilde{\mathbf v}_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf W_\ell}
+               {\lambda_{\mathrm c}}.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+其中 $\mathbf S_\ell$、$\mathbf W_\ell$ 的定义见 \eqref{eq:G_bearing_los_derivatives}。若 $\mathbf C=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf B$，则 $\dot{\mathbf C}=\dot{\boldsymbol\Omega}_{\mathrm E}\mathbf B+\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\dot{\mathbf B}$，一般不能换成 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}^2\mathbf B$。时间导数第一行使用实际位置轨迹的速度；将 $\widetilde{\mathbf v}_\ell^{\mathrm{rel}}$ 代入所得量只是代理 LOS rate，与真实导数的差为 $-\mathbf S_\ell\boldsymbol\epsilon_v/r_\ell$。角度相关的时间导数可直接对 \eqref{eq:G_bearing_mixed_time_derivatives} 求导，使用 $\mathbf B\mathbf P_\xi$、$\dot{\mathbf B}\mathbf P_\xi$、$\mathbf C\mathbf P_\xi$ 和 $\dot{\mathbf C}\mathbf P_\xi$，不混用两种速度。
+
+保留该近似时，\eqref{eq:G_bearing_window_ols} 的节点向量改用 $\widetilde b_\ell-\widetilde b_r$，节点 Jacobian 改用 \eqref{eq:G_bearing_mixed_time_derivatives} 的最后一行，再乘固定的 $\mathbf X^\dagger$。这不要求 $\mathbf C=\dot{\mathbf B}$，也不要求计算瞬时 rate；OLS rate 是所选节点频率直线的斜率。由同一节点协议生成、拟合和求导的均值模型可在数学上自洽，其参考 bearing 与经纬度的坐标变换、实信息矩阵和干扰消元仍成立。物理上，该频移近似偏离位置轨迹的距离变化率，须另行量化：
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_motion_discrepancy}
+  \widetilde b_\ell-b_\ell^{\,g}
+     =\frac{\boldsymbol\epsilon_v^\Tran\mathbf w_\ell}{\lambda_{\mathrm c}},
+  \qquad
+  (\widetilde b_\ell-\widetilde b_r)-(b_\ell^{\,g}-b_r^{\,g})
+     =\frac{\boldsymbol\epsilon_v^\Tran(\mathbf w_\ell-\mathbf w_r)}
+                  {\lambda_{\mathrm c}}.
+\end{equation}
+%
+有限距离的不同视线使该误差通常不能全部吸收到公共参考频移。数值检查应分别差分位置轨迹、近似速度和节点 Doppler：前者用于检验 LOS 时间导数，后两者用于检验近似 Doppler 的角导数及瞬时导数。微分步长采用物理秒或弧度，须检查步长收敛，并区分解析旋转、历元插值与时间转换在工作点的可微性。
+
+若要求同一个可微物理源轨迹，可选择原有 $\mathbf B(t)$ 并令 $\mathbf C=\dot{\mathbf B}$，或明确采用匀速自转近似 $\mathbf B(t)=\exp((t-t_0)\boldsymbol\Omega_{\mathrm E})$。前者更新源速度和加速度，后者同时更新逐历元源位置；两者均不增加未知源运动参数。生成、候选、OLS 节点与 Jacobian、瞬时 rate、信息矩阵及高保真积分相位须使用同一选择，重建受影响的参考系数与目标真值。仅改 CRB 侧速度导数会破坏同模关系；这种物理协议更新也不再是旧样本的纯坐标转换。是否更新生产协议由场景与近似误差的证据决定，局部自洽性检查本身不要求静默更换协议。
+
+以下 LOS 与 Doppler rate 公式采用 \eqref{eq:G_bearing_source_motion} 的一致轨迹；保留分别给定的位置和速度时，使用 \eqref{eq:G_bearing_mixed_time_derivatives}。令 $\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}}=\mathbf v_\ell-\mathbf v_u$、$\mathbf a_\ell^{\mathrm{rel}}=\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}-\mathbf a_u$。各星传播方向、时间导数与候选角导数分别为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_los_derivatives}
+  \begin{aligned}
+  r_\ell&=\|\mathbf s_\ell-\mathbf p\|_2,\qquad
+  \mathbf w_\ell=\frac{\mathbf s_\ell-\mathbf p}{r_\ell},\qquad
+  \mathbf S_\ell=\mathbf I_3-\mathbf w_\ell\mathbf w_\ell^\Tran,\\
+  \dot{\mathbf w}_\ell&=\frac{\mathbf S_\ell\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}}}{r_\ell},
+  \qquad
+  \mathbf W_\ell=\frac{\partial\mathbf w_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
+      =-\frac{\mathbf S_\ell\mathbf P(t)}{r_\ell},\\
+  r_{\ell,x}&=\frac{\partial r_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
+      =-\mathbf w_\ell^\Tran\mathbf P(t),\\
+  \frac{\partial\dot{\mathbf w}_\ell}{\partial x}
+    &=-\frac{(\mathbf W_{\ell,x}\mathbf w_\ell^\Tran+
+                  \mathbf w_\ell\mathbf W_{\ell,x}^\Tran)\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}}}{r_\ell}
+      +\frac{\mathbf S_\ell\mathbf V_{\xi,x}}{r_\ell}
+      -\frac{\dot{\mathbf w}_\ell r_{\ell,x}}{r_\ell},
+       \qquad x\in\{\alpha,\beta\}.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+最后一行中的 $\mathbf W_{\ell,x}$、$\mathbf V_{\xi,x}$ 为相应矩阵的 $x$ 列，$r_{\ell,x}$ 在该行取标量 $x$ 导数。各星使用自己的 $\mathbf w_\ell$；阵列姿态旋转仅把这条视线写入本地坐标系，不能代替有限距离视差。
+
+空间短窗近似只冻结 $\mathbf w_\ell(t_0)$ 与阵列姿态 $\boldsymbol\Omega_\ell(t_0)$。在负空间指数约定下，阵元的角导数为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_steering_jac}
+  \frac{\partial[\mathbf a_\ell]_m}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
+   =-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}[\mathbf a_\ell]_m
+      (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran
+      \boldsymbol\Omega_\ell(t_0)^\Tran\mathbf W_\ell(t_0).
+\end{equation}
+%
+几何 Doppler 的时间计算仍保留实际 LOS 变化。空间导向变化很小并不足以证明 Doppler rate 中的 LOS 导数项可忽略。
+
+\paragraph{来向、传播方向与空间相位符号}
+在第 $\ell$ 颗卫星定义星到源的来向 $\mathbf e_\ell=-\mathbf w_\ell$，本地方向由同一姿态旋转给出 $\mathbf e_\ell^{\mathrm{loc}}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf e_\ell$、$\mathbf w_\ell^{\mathrm{loc}}=-\mathbf e_\ell^{\mathrm{loc}}$。沿用时间相位 $e^{j2\pi f t}$ 的约定，本小节模板满足
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_orientation_signs}
+  \begin{aligned}
+  {}[\mathbf a_\ell]_m
+    &=\exp\!\left(-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}
+          (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran\mathbf w_\ell^{\mathrm{loc}}\right)
+     =\exp\!\left(+j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}
+          (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran\mathbf e_\ell^{\mathrm{loc}}\right),\\
+  b_\ell
+    &=-\frac{(\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf w_\ell}{\lambda_{\mathrm c}}
+     =+\frac{(\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf e_\ell}{\lambda_{\mathrm c}} .
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+同样的方向替换适用于 \eqref{eq:G_bearing_mixed_time_derivatives} 的近似相对速度。对应角坐标可写为 $\alpha_w=\operatorname{wrap}(\alpha_e+\pi)$、$\beta_w=-\beta_e$；空间方向 Jacobian 同时满足 $\partial\mathbf w_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran=-\partial\mathbf e_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran$。因此，改用相反方向作为模板输入时，空间指数符号和 Doppler 投影符号须配套变换。两种输入约定表示同一个模板，而不是改变接收信号。
+
+实际阵列实现可能采用不同的阵元位移定义、基带共轭约定或角输入约定，应从其模板定义确定对应关系。在真值及有效域内候选点，分别比较由 $\mathbf w_\ell$ 和 $-\mathbf w_\ell$ 两种写法得到的 steering 与均值，并在固定增益／相位后检查一致性；还应核对角导数和随时间变化的 Doppler 相位。单独翻转方向或单独翻转 Doppler 不能据此判定等价，实际空间指数也不能仅由函数名或 bearing 朝向猜测。
+
+\paragraph{有限距离 Doppler、rate 与窗口拟合}
+沿用 \eqref{eq:A6_latlon_doppler_jac} 的传播方向与 Doppler 符号，几何频移 $b_\ell$（Hz）及其瞬时 rate（Hz/s）为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_doppler_rate}
+  \begin{aligned}
+  b_\ell(t)&=-\frac{(\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf w_\ell}{\lambda_{\mathrm c}},\\
+  \dot b_\ell(t)&=-\frac{
+      (\mathbf a_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf w_\ell+
+      (\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\dot{\mathbf w}_\ell}{\lambda_{\mathrm c}},\\
+  b_{\ell,x}&=-\frac{\mathbf w_\ell^\Tran\mathbf V_\xi+
+                         (\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf W_\ell}
+                       {\lambda_{\mathrm c}},\\
+  \dot b_{\ell,x}&=-\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}\left[
+     \mathbf w_\ell^\Tran\mathbf A_\xi+
+     (\mathbf a_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf W_\ell+
+     \dot{\mathbf w}_\ell^\Tran\mathbf V_\xi+
+     (\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran
+          \frac{\partial\dot{\mathbf w}_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
+     \right].
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+最后两行都是 $1\times2$ 行向量。瞬时 Taylor 构造取 $t_0$ 处的 $b_\ell-b_r$ 与 $\dot b_\ell-\dot b_r$。对于窗口拟合，采用第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节固定的帧时刻 $s_p$ 与满列秩设计矩阵 $\mathbf X$；改用逐星有限距离的相对频移向量
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_window_ols}
+  \begin{aligned}
+  {}[\mathbf d_\ell]_p&=b_\ell(t_0+s_p)-b_r(t_0+s_p),\\
+  \mathbf c_\ell&=\begin{bmatrix}\Delta f_\ell\\\Delta\dot f_\ell\end{bmatrix}
+      =\mathbf X^\dagger\mathbf d_\ell,\\
+  \frac{\partial\mathbf c_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
+      &=\mathbf X^\dagger\mathbf D_\ell^{\,b},\qquad
+  [\mathbf D_\ell^{\,b}]_{p,:}=b_{\ell,x}(t_0+s_p)-b_{r,x}(t_0+s_p).
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+固定时刻时 $\mathbf X^\dagger$ 不求角导数。系数斜率的导数由全部帧节点的 $b_{\ell,x}$ 拟合得到，一般不是 $\dot b_{\ell,x}(t_0)-\dot b_{r,x}(t_0)$。候选依赖选星、时间节点或拟合权重时，不满足这里的固定设计假设；搜索域应先固定观测星集，观测缺失及边界另行处理。
+
+总系数仍保留两个独立参考标量：
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_reference_coefficients}
+  \begin{bmatrix}f_\ell\\\dot f_\ell\end{bmatrix}
+    =\begin{bmatrix}f_{\mathrm{ref}}\\\dot f_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}
+        +\mathbf c_\ell(\boldsymbol\xi),
+  \qquad
+  \begin{bmatrix}\nu_\ell\\\dot\nu_\ell\end{bmatrix}
+    =\operatorname{diag}(2\pi T_{\mathrm s},2\pi T_{\mathrm s}^2)
+       \begin{bmatrix}f_\ell\\\dot f_\ell\end{bmatrix}.
+\end{equation}
+%
+这一参数化允许公共发射频偏或其一阶漂移叠加在各星几何频移上；接收机专属频偏需已校准或另建干扰模型。已知高度只约束几何，不把参考频移或 rate 变成已知量。CP-K 固定参考 rate 的实际值，但 \eqref{eq:G_bearing_window_ols} 的相对 rate 角导数仍保留；CP-U 和 IP-U 则消去未知参考 rate。所有相位系数与空间映射须同时用于观测生成、候选计算及信息矩阵。
+
+\paragraph{似然与有效信息接口}
+在上述 phase-only 模型中，导频不含随候选角变化的时延；相对距离没有提供新增的包络或绝对载波相位观测。若幅度是自由干扰参数，也不对传播损耗另加角导数。将 \eqref{eq:G_bearing_reference_coefficients} 与 \eqref{eq:G_bearing_steering_jac} 代入 \eqref{eq:A7_qx_cp} 及空时模板的 Kronecker 导数即可。参考频移、参考 rate、幅度及相位列保持原有形式。
+
+因此，\appref{sec:multiFrameCrb} 的 CP/IP 幅相结构、非负幅度的集中似然、实参数 \gls{fim} 与 Schur 补、实化投影以及 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 的秩判据继续适用；改变的是均值及两角导数的几何映射。结构化 CP 的同星公共相位不能按每块自由复增益消去。SS/MS 比较须保持参考星、源状态、采样与噪声协议相同；单星参考链路的相对系数恒为零，既有 K/U 正交性在相同窄带与幅相假设下仍成立，多星数值损失须重算。
+
+\paragraph{局部一阶可辨识与时间退化}
+在可见交点横截、角坐标非奇异、有效块幅度为正且噪声协方差正定的工作点，令
+$\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。
+将有限距离均值的目标导数和全部幅相、未知参考 rate 导数按
+\eqref{eq:A7_realified_jacobians} 白化并实化为 $\mathbf A,\mathbf B$，则
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_local_identifiability}
+  \mathcal I_{\mathrm e}\succ0
+  \quad\Longleftrightarrow\quad
+  \operatorname{rank}(\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A)=3
+  \quad\Longleftrightarrow\quad
+  \nexists\ \delta\boldsymbol\eta\ne\mathbf0,\ \delta\boldsymbol\psi\in\mathbb R^{\dim\boldsymbol\psi_\mu}:
+  \mathbf A\delta\boldsymbol\eta=\mathbf B\delta\boldsymbol\psi.
+\end{equation}
+%
+因此，要检验的是消元后三列的实线性独立性，而非原始角导数或阵列流形是否独立。
+CP-U 的幅度列、同星共享相位列和实值 rate 列须保持原有约束；
+IP-U 可先按逐块复增益投影，再对实值 rate 消元。
+此判据只涉及局部一阶均值变化，不排除相位周期造成的远处分支，也不保证有限样本估计器达到界。
+
+具体看 IP 的时间导数。设块内有效采样索引为 $n$，帧起点为 $\tau_p$，
+阵列响应在该块冻结，导频已知且不随候选变化。用 $|s_p(n)|^2$ 加权的块内平均记为
+$\langle\cdot\rangle_p$，均值的阵元分量记为 $\mu_{\ell,p,m,n}$。
+消去逐块自由幅相后，参考频移和参考 rate 的导数分量为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_ip_centered_scores}
+  \begin{aligned}
+  {}[\widetilde{\mathbf J}_{\nu}]_{\ell,p,m,n}
+    &=j\big(n-\langle n\rangle_p\big)\mu_{\ell,p,m,n},\\
+  [\widetilde{\mathbf J}_{\dot\nu}]_{\ell,p,m,n}
+    &=j\left[\tau_p\big(n-\langle n\rangle_p\big)
+       +\frac{1}{2}\big(n^2-\langle n^2\rangle_p\big)\right]\mu_{\ell,p,m,n}.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+这里采用块内白噪声和 phase-only 模板，逐星有限距离的相对系数及其角导数仍按
+\eqref{eq:G_bearing_window_ols} 计算。块相位消去的是常相位项，不是一般的块内频率斜率。
+空间阵元之间的相位差也不会被一个块相位全部消去。
+
+一个精确退化例子是每块仅有一个有效时间样本，例如各帧导频只在 $n=0$ 非零。
+取任意互异帧时刻、任意固定星集、可见非切向交点和任意阵列，包括能提供两个角信息的平面阵列。
+IP-U 逐块相位自由且参考 rate 未知，此时 \eqref{eq:G_bearing_ip_centered_scores} 的两列都为零，
+参考频移方向 $\delta\boldsymbol\eta=[0,0,1]^\Tran$ 的有效信息为零。
+即使增加星数或帧数也不能在这一采样协议中恢复参考频移信息。
+对 CP-U，跨帧相位并非自由，不能照搬这一结论。
+
+另一个例子保留块内时间差：各块只有 $n=0,h$ 两个有效样本，$h>0$，两处导频均非零。
+此时 $n^2=hn$，故逐块有
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_two_sample_degeneracy}
+  \widetilde{\mathbf J}_{\dot\nu,\ell,p}
+    =c_p\widetilde{\mathbf J}_{\nu,\ell,p},
+  \qquad c_p=\tau_p+\frac{h}{2}.
+\end{equation}
+%
+若只观测 $\tau_0=0$ 的一帧，则 $c_0=h/2\ne0$。
+取 $\delta\nu_{\mathrm{ref}}=1$、$\delta\dot\nu_{\mathrm{ref}}=-2/h$，保持两角不变，
+两个采样点的时间相位变化均为零。CP-U 和 IP-U 在单帧具有相同的幅相自由度，
+因此两者三维目标 \gls{efim} 都秩亏，无论阵列或多星几何是否能提供角信息。
+这里可辨识的是该帧中点频移的组合，而不是同时未知 rate 时在帧起点定义的参考频移。
+相对频移系数的拟合仍使用预先固定、满列秩的几何节点设计，不将单帧观测误作单节点斜率拟合。
+
+若 IP 的有效帧有不同起点，式~\eqref{eq:G_bearing_two_sample_degeneracy} 的比例也不同。
+为单独检验时间机制，暂时固定两角，令
+$w_{\ell,p}=\dfrac{2\|\widetilde{\mathbf J}_{\nu,\ell,p}\|_2^2}{\sigma_\ell}>0$，
+其中 $\sigma_\ell$ 为该星噪声复方差。消去块幅相后的频移--rate 信息为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_two_sample_temporal_info}
+  \mathbf I_{\nu,\dot\nu}
+    =\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}
+      \begin{bmatrix}1&c_p\\c_p&c_p^2\end{bmatrix},
+  \qquad
+  I_{\nu,\mathrm e}
+    =\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}
+      -\frac{\left(\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}c_p\right)^2}
+             {\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}c_p^2}.
+\end{equation}
+%
+第二式要求分母非零；若 rate 列为零，直接用实投影判据。
+至少两个正权重块的 $c_p$ 不同即可解除这一时间列的精确比例关系，
+但两角未知时仍须对完整三列执行 \eqref{eq:G_bearing_local_identifiability}，不能据此保证整体满秩。
+在固定单位和参数尺度下，帧起点集中在同一个非零 $c_p$ 附近时，参考频移的信息接近零；
+这是病态而非必然秩亏。统一增加噪声复方差只缩放信息，不改变精确秩。
+阵列基线、逐星视线和相对 Doppler 导数决定剩余角信息，不能只凭星数或帧数判定可辨识。
+
+\paragraph{经纬度误差与完整协方差变换}
+对同一已知高度、分支和 $t_0$，令 $\boldsymbol\xi=h(\boldsymbol\vartheta)$。将星到源单位向量记为 $\mathbf e_r=(\mathbf p_0-\mathbf s_r)/r_r=-\mathbf w_r$，有
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_latlon_jac}
+  \begin{aligned}
+  \mathbf H=\frac{\partial\boldsymbol\xi}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
+   &=\mathbf K(\mathbf e_r)\frac{\mathbf I_3-\mathbf e_r\mathbf e_r^\Tran}{r_r}\mathbf P,\\
+  \mathbf K(\mathbf e_r)
+   &=\begin{bmatrix}
+       -e_{r,2}/(e_{r,1}^2+e_{r,2}^2)&e_{r,1}/(e_{r,1}^2+e_{r,2}^2)&0\\
+       0&0&1/\sqrt{1-e_{r,3}^2}
+      \end{bmatrix},
+  \qquad \mathbf P_\xi\mathbf H=\mathbf P.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+分母非零、$\mathbf P$ 满列秩且交点横截时，$\mathbf H$ 可逆。令完整结构参数为 $\boldsymbol z=[\boldsymbol\vartheta^\Tran,f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，变换 Jacobian 为 $\mathbf T=\operatorname{diag}(\mathbf H,\mathbf I_2)$。消去相同幅相参数后，同一观测模型满足
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_covariance_transform}
+  \mathbf J_z=\mathbf J_{z'}\mathbf T,\qquad
+  \mathcal I_{\mathrm e,z}=\mathbf T^\Tran\mathcal I_{\mathrm e,z'}\mathbf T,
+  \qquad
+  \mathbf C_{z'}=\mathbf T\mathbf C_z\mathbf T^\Tran .
+\end{equation}
+%
+这里 $\boldsymbol z'=[\boldsymbol\xi^\Tran,f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，协方差须包含交叉项；两项角标准差不足以完成变换。三维 K 配置可删去固定 rate 对应行列后作同样变换。直接 bearing Jacobian、经纬度 Jacobian 的链式结果与变换后的有效信息，是可分别实现并核对的三个接口。
+
+已有估计样本应先把每个估计经纬度非线性映射为参考星视线，再计算夹角
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_error_metric}
+  \epsilon_{\mathrm{dir}}=
+    \operatorname{atan2}(\|\widehat{\mathbf e}_r\times\mathbf e_r^\star\|_2,
+                          \widehat{\mathbf e}_r^\Tran\mathbf e_r^\star),
+  \qquad
+  B_{\mathrm{dir},r}=\operatorname{tr}\!\left[
+    \operatorname{diag}(\cos^2\beta,1)\mathbf C_{\xi\xi}\right].
+\end{equation}
+%
+前者可用于重统计有限误差与失败样本，后者是小误差局部界；二者不能以同一次线性化替代。若仅存旧 RMSE 或标准差，通常无法恢复新指标。坐标缩放会改变条件数和角度--频率分量相关性；比较信息耦合时须说明单位和参数尺度，必要时在统一的物理切空间中比较。
+
+\paragraph{参考星、时间原点与几何比较}
+换参考星为 $r'$ 时，同一源位置对应新的来向角 $\boldsymbol\xi'=h_{r'}(\mathbf p_0)$，参考系数随之变为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_reference_change}
+  \begin{aligned}
+  \mathbf c'_\ell&=\mathbf c_\ell-\mathbf c_{r'},\\
+  \begin{bmatrix}f'_{\mathrm{ref}}\\\dot f'_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}
+    &=\begin{bmatrix}f_{\mathrm{ref}}\\\dot f_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}
+       +\mathbf c_{r'}(\boldsymbol\xi),\\
+  \mathbf T_{r\to r'}&=
+    \begin{bmatrix}
+      \frac{\partial\boldsymbol\xi'}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}&\mathbf0\\
+      \frac{\partial\mathbf c_{r'}}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}&\mathbf I_2
+    \end{bmatrix}.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+下两行构成完整四维变换，参考系数的角导数不能省略。换星后的方向夹角指标描述另一条物理视线；比较 A/B 星集可固定一个共同参考星，或把全部估计与界投影到同一报告视线。不同参考星的参考 Doppler 也不是同一物理量。CP-K 固定原参考 rate 后，换星通常得到随角度变化的已知约束，并不等价于把新参考 rate 固定为常数的另一个 K 实验。
+
+在保持 $\boldsymbol\xi$ 定义于原 $t_0$ 时，内部时间居中仍使用 \eqref{eq:A7_affine_epoch_transform} 和完整四维协方差变换。若同时把 bearing 定义时刻改到新时刻，则须由 \eqref{eq:G_bearing_source_motion} 传播源位置，再重新计算新参考视线及其角 Jacobian。重新选择拟合窗口则重新定义 OLS 系数，一般不是单纯的时间原点变换。报告中的参考频移是拟合直线在指定原点的截距，未必等于该时刻的瞬时物理频移。
+
+\paragraph{时间近似与高保真残差}
+窗口诊断在各星真实有限距离 LOS 上评估阵列导向变化与几何频移曲率。定义参考几何系数 $\mathbf k_r=\mathbf X^\dagger[b_r(t_0+s_p)]_p$，则各星拟合几何频移为 $[1,s](\mathbf k_r+\mathbf c_\ell)$。物理相位与 affine 相位的差为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:G_bearing_fidelity_residual}
+  \epsilon_{\phi,\ell}(s)=2\pi\int_0^s
+    \left\{b_\ell(t_0+v)-[1,v](\mathbf k_r+\mathbf c_\ell)\right\}\diff v .
+\end{equation}
+%
+即使相对频移残差很小，参考链路的非 affine 公共残差也可能存在；只报告相对残差不足以证明完整相位近似。若另加公共发射频偏轨迹，应同时计入其线性拟合以外的残差。高保真生成可保留实际 LOS、姿态、路径幅度与积分相位，估计模板保持短窗冻结空间与二次相位；模型差异应按这些分量记录，同星常相位及允许的幅度变化可被干扰参数吸收。对固定星集与已声明幅相模型，可进一步检查白化均值残差在干扰切空间外的分量，但该诊断本身不证明有限样本效率。
+
+窗口、K/U、SS/MS、CP/IP 和星集敏感性分析均使用 \eqref{eq:G_bearing_window_ols} 的相同几何映射；前者另需相位及空间残差检查，后几类需重新生成候选导数与界。若旧样本确由同一有限距离模型产生，可先转换保存的估计与完整局部协方差；新 bearing 搜索域、捕获成功率、时间近似和高保真适用性仍须分别核查。
+
 \subsection{DoA-融合基线的位置 CRB}
 \label{subsec:H4_doaFusion}
 

parts/H-timestampErrCrb.tex

@@ -2,10 +2,10 @@
 \label{sec:timestampErrCrb}
 
 \begin{mdquote}
-\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的部分相干观测模型。
+\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的时间戳误差模型。
 \begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
   \item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$（$K$ 个用户的 \gls{doa}--Doppler）；\emph{干扰参数} 每星时间戳偏移 $\delta_\ell$（参考星取 $\delta=0$）、复增益与噪声方差 $\boldsymbol\zeta_\ell$。
-  \item \emph{本附录给出} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim} 分块结构、Schur 补消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架、$K{=}1,\,L{=}2$ 最简情形的解析推导，以及忽略 $\boldsymbol\delta$ 的 \gls{mcrb}；门限以下的大误差与模糊地板见\appref{sec:thresholdBounds}。
+  \item \emph{本附录给出} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim} 分块结构、Schur 补消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架、$K{=}1,\,L{=}2$ 最简情形的解析推导，以及忽略 $\boldsymbol\delta$ 的 \gls{mcrb}；位置模型还包括时延--时间戳秩分析和摘要融合的联合扰动传播。门限以下的大误差与模糊地板见\appref{sec:thresholdBounds}。
   \item \emph{本附录局部符号} $\delta_\ell$：星 $\ell$ 的时间戳偏移（采样单位）；$\boldsymbol\zeta_\ell$：星 $\ell$ 的复增益与噪声方差；上标 $\mathrm{pt}$：伪真值。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
 \end{itemize}
 \end{mdquote}
@@ -152,10 +152,21 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
   \qquad
   \big[\mathbf q_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}\big]_t
   =
-  \big[\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t},
+  \big[-\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t},
 \end{equation}
 %
-其中 $\dot s_k(t)\triangleq -\dfrac{\partial s_k(t-\delta_\ell)}{\partial\delta_\ell}\big|_{\delta_\ell=0}$ 为导频的时间导数（离散场景下取差分近似）。$\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$。
+其中 $\dot s_k(t)$ 为导频对时间的导数，应按实际连续时间波形或其带限插值计算，$\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$。相位项 $-j\nu_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}$ 落在 $\mathbf G_\ell$ 的列空间中，投影后为零。因此
+%
+\begin{equation}
+  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}\mathbf j_{\delta,\ell}
+  =-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}
+    \sum_k\zeta_{\ell,k}
+    \left(\left[\dot s_k(t)e^{j\nu_{\ell,k}t}\right]_{t=0}^{T-1}
+    \otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\right).
+  \label{eq:F2_projected_timestamp}
+\end{equation}
+%
+时间戳的有效信息来自包络导数在增益子空间之外的分量。
 
 由于 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 对角，对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 消去逐星可写
 %
@@ -171,9 +182,9 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
   \mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran},
 \end{equation}
 %
-其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 中第 $\ell$ 列。这就是``逐星扣除 $\delta_\ell$ 引入的信息损失''的解析形式。
+其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 的对应列，求和限于 $[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}>0$ 的可辨识方向。若该对角元为零，相应有效导数及交叉列也为零，应删去冗余参数或作子空间投影，不作零除法。
 
-特别地，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 不贡献 $\delta$ 自由度，对 \gls{efim} 的贡献保持与完全相干情形相同；信息损失完全来自其余 $L-1$ 颗带时间戳误差的卫星。
+参考星没有时间戳自由度。与在同一真值处将时间戳视为已知的模型相比，Schur 补的信息扣减来自非参考星。
 
 \subsection{数值 EFIM 评估框架}
 \label{subsec:F3_numericalEfim}
@@ -185,7 +196,7 @@ $\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$
   \item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按\appref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$；
   \item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。
 \end{enumerate}
-$\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性会让 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 显著偏离对角形式（不同 $\ell$ 之间通过导频互相关项耦合），此时 \eqref{eq:F2_efim_final} 的``逐星扣除''形式不再适用，需要对 $\boldsymbol\delta$ 块整体求逆。
+在本模型中，各星噪声独立，时间戳和复增益均为逐星参数。因此，先消去复增益后，$\mathcal I_{\delta\delta}'$ 在任意时间戳真值处都保持对角，逐星 Schur 形式仍成立。大偏移要求在实际真值处重新计算导数，而不会自行产生星间信息块。
 
 % TODO: 实际数值评估的离散化精度（差分步长选取、导频上采样系数）与后续仿真结果对齐后补充
 
@@ -209,7 +220,7 @@ $\boldsymbol\delta$ 在导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$ 处的非线性
   \Re\big\{\mathbf D_1^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_1}^\perp\mathbf D_1\big\}\bigg|_{\delta_1=0},
 \end{equation}
 %
-其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义，$\delta_1=0$ 处求值即得到完全相干情形的 \gls{efim}。
+其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义。这里 $\mathcal I_{\eta\eta}'$ 对应时间戳已知为零的同步基线；将未知时间戳的真值取零，仍需进一步扣除相应的 Schur 项。
 
 \paragraph{$\delta_1$ 块}
 $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
@@ -217,7 +228,7 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
 \begin{equation}
   \big[\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\big]_t
   =
-  \big[\dot s(t)-j\nu_1 s(t)\big]e^{j\nu_1 t},
+  \big[-\dot s(t)-j\nu_1 s(t)\big]e^{j\nu_1 t},
   \qquad
   \mathbf j_{\delta,1}
   =
@@ -265,14 +276,14 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
 即在双星基线的 \gls{efim} 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的得分重叠决定。
 
 \paragraph{特例：导频为单音常包络}
-若进一步取 $s(t)\equiv 1$（常包络单音导频），则 $\dot s(t)\equiv 0$，\eqref{eq:F2_jdelta} 退化为 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，故 $\delta_1$ 进入似然只通过相位偏移 $-\nu_1\delta_1$ 一项；它与 $\dfrac{\partial}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}$ 完全共线（同为 $\dfrac{\partial\mathbf q_1}{\partial\nu_1}$ 方向），$\delta_1$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 不可分辨——\gls{efim} 在 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向变得奇异。此即 ``纯相位扰动下时间戳误差与 Doppler 完全耦合''的退化情形，说明可辨识性依赖导频带宽 $\dot s(t)\not\equiv 0$。
+若 $s(t)\equiv1$，则 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，时间戳导数完全落在复增益子空间中。消去增益后，$\mathcal I_{\delta\delta}'=0$ 且 $\mathbf v'_{\eta\delta,1}=\mathbf0$。此时不可辨识的是时间戳与增益相位的分解；删除这一冗余时间戳参数即可。Doppler 导数含随采样时刻变化的因子 $t$，只要保留的采样时刻具有非零时间方差，仍可提供局部频率信息。
 
 % TODO: $K=1, L\ge 3$ 与 $K\ge 2, L=2$ 的解析中间结果——前者需引入 $L-1$ 个 δ_ℓ 联合处理（仍对角，但 v'_{ηδ} 维度变为 3×(L-1)）；后者多用户耦合让 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 不再因式化，闭式较繁。本附录暂留为数值评估。
 
 \subsection{忽略时间戳误差的 MCRB}
 \label{subsec:F5_mcrb}
 
-\appref{subsec:F2_schurDelta} 给出了把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数\emph{估计}时主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}。本小节处理互补情形：估计器假设星间已同步、令 $\delta_\ell\equiv 0$ 而\emph{不}把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型，真值却含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$。这是一类均值模型误指定，其下界为 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。沿用\appref{subsec:F1_fimBlockStruct} 的记号，记 $\boldsymbol\eta^\star$、$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 分别为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的真值与伪真值（pseudo-truth）；噪声方差 $\{\sigma_\ell\}$ 在真值与假设模型中相同、仅进入协方差，按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 与均值参数解耦，下文固定 $\mathbf R=\operatorname{blkdiag}(\sigma_\ell\mathbf I)$ 只分析均值参数。
+\appref{subsec:F2_schurDelta} 给出了把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数\emph{估计}时主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}。本小节处理互补情形：估计器假设星间已同步、令 $\delta_\ell\equiv 0$ 而\emph{不}把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型，真值却含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$。这是一类均值模型误指定，其下界为 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。沿用\appref{subsec:F1_fimBlockStruct} 的记号，记 $\boldsymbol\eta^\star$、$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 分别为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的真值与伪真值（pseudo-truth）；下文把噪声方差 $\{\sigma_\ell\}$ 视为已知，且在真实与假设模型中使用相同的协方差，固定 $\mathbf R=\operatorname{blkdiag}(\sigma_\ell\mathbf I)$ 只分析均值参数。若在失配模型中同时估计噪声方差，伪真值方差可能吸收均值残差，须重新计算完整的 sandwich 分块。
 
 \paragraph{误指定模型与伪真值}
 真实观测均值记为 $\boldsymbol\mu_\ell^\star\triangleq\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta^\star,\delta_\ell^\star,\boldsymbol\zeta_\ell^\star)$；假设模型族把均值限制在 $\delta_\ell=0$ 流形上，$\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},0,\boldsymbol\zeta_\ell)=\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell$（$\mathbf G_\ell$ 在 $\delta=0$ 处求值）。两模型协方差相同，\gls{kl} 散度退化为白化均值失配
@@ -359,12 +370,12 @@ $\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
   \boldsymbol\mu^\star-\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}).
 \end{align}
 %
-$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta^\star$ 扰动；其中二阶模型导数 $\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu$ 含导频对时延的二阶导数 $\ddot s$，须按\appref{sec:userPositionCrb} 的带限约定评估、同样不用循环/块周期约定，否则该曲率项会被观测窗边界的导数奇异主导而失去物理意义。任意对伪真值无偏的估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置 \eqref{eq:F5_bias} 即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}。
+$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta^\star$ 扰动；其中二阶模型导数 $\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu$ 含导频对时延的二阶导数 $\ddot s$，须按\appref{sec:userPositionCrb} 的带限约定评估、同样不用循环/块周期约定，否则该曲率项会被观测窗边界的导数奇异主导而失去物理意义。在误指定界所要求的正则性与模型族上的无偏约束下，估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置外积即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}；采用 \eqref{eq:F5_bias} 时，偏置只取一阶近似。仅在单个分布下令估计均值等于伪真值，不足以保证这一界。正则大样本条件下，\gls{mml} 的渐近协方差由同一 sandwich 矩阵给出；有限样本时不能直接把它当作实际误差协方差。
 
 \paragraph{一致性与稳健性}
-当 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$：残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}\to\mathbf 0$ 故 $\mathbf A\to\mathbf B=\mathcal I$、偏置 $\mathbf b\to\mathbf 0$，\eqref{eq:sec5_mcrb} 退回同步基线 \gls{crb} $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}$，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 在 $\delta=0$ 处的结果一致。小误差区 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}=O(\boldsymbol\delta^\star)$，故方差项 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}=(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}+O(\boldsymbol\delta^\star)$、主导误差是偏置外积 $\mathbf b\mathbf b^\Tran=O(\|\boldsymbol\delta^\star\|^2)$。两条路线由此对照清晰：估计 $\boldsymbol\delta$（\appref{subsec:F2_schurDelta}）以\emph{方差}为代价——\gls{efim} 被秩一项 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran}/[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}$ 扣减；忽略 $\boldsymbol\delta$（本小节）以\emph{偏置}为代价——方差几乎不变但叠加 $\mathbf b\mathbf b^\Tran$。
+当 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf0$ 时，残差和伪真值偏置趋于零，误指定界退回时间戳已知为零的同步基线。它一般不同于将时间戳作为未知干扰参数时的界，即使后者也在零偏移处求值。小偏移下，方差变化与偏置外积应分别评估，不能仅由偏置是二阶均方误差项就断定它占主导。
 
-偏置方向 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 与\appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''的退化同源：当导频为单音常包络（$\dot s\equiv 0$）时 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 落入增益子空间、被 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影为零，故 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\to\mathbf 0$、偏置消失——此模型对忽略时间戳误差\emph{稳健}，偏置仅经导频带宽 $\dot s\not\equiv 0$ 进入、且为 $O(\|\boldsymbol\delta^\star\|^2)$ 小量。换言之，本模型的 \gls{mcrb} 主要说明``忽略小钟差近乎无损''；唯当某个主参数与 $\delta_\ell$ 的得分在 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp$ 投影后强耦合（不再被复增益吸收）时，\eqref{eq:F5_bias} 的偏置才显著放大。
+当导频为单音且时移仅改变复增益时，时间戳导数经投影为零，假设同步的模型仍可用等效复增益表示真实均值，因此不会由这一时移产生主参数失配偏置。一般包络下，一阶偏置由 \eqref{eq:F5_bias} 给出，量级通常为 $O(\|\boldsymbol\delta^\star\|)$，偏置外积才是二阶量；其大小取决于投影后交叉信息与主参数信息矩阵的条件数。
 
 \subsection{位置模型下的时延--时间戳同轴混淆}
 \label{subsec:F6_tauDeltaConfound}
@@ -376,24 +387,24 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:F6_jdelta}
-  \frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}
+  \frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}\bigg|_{\delta_\ell=0}
   =\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k),
   \qquad
   \big[\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\big]_t=-\dot s_k\big(t-\tau_{\ell,k}\big)e^{j\nu_{\ell,k}t},
 \end{equation}
 %
-它与附录 G 的时延列 $\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\tau_{\mathrm{ref},k}=\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 相同，并与位置列的时延贡献 $\big(\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\,\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k\big)\otimes\mathbf a_\ell$ 共线。即 $\delta_\ell$ 的均值导数落在该星时延通道所张子空间内。对照 \eqref{eq:F2_jdelta}：\gls{doa} 基线上 $\delta_\ell$ 还经相位 $-j\nu s$ 进入、与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 纠缠；位置模型把相位常数并入 $\zeta_\ell$ 后，$\delta_\ell$ 纯经包络、转而与时延/距离纠缠。
+在零时间戳处，\eqref{eq:F6_jdelta} 与参考时延导数同形，并与位置导数的时延分量共线。方向模型与位置模型中，恒定相位都可由自由复增益吸收；位置模型的新增混淆来自包络中传播时延与时间戳的相加。
 
 \paragraph{单用户退化}
-单用户（略去 $k$）下每颗非参考星贡献一个时延方向 $\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$；位置经 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 的距离信息恰沿这 $L-1$ 个方向进入 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的位置列。对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 边缘化 \eqref{eq:F2_efim_final} 在每颗星上正交投影掉 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\delta_\ell$ 方向，恰好把位置列的时延贡献整条消去，$\boldsymbol\delta$-边缘化后的位置 \gls{efim} 只剩角度与差分 Doppler 两通道
+单用户下，每颗非参考星的时间戳导数可吸收该星位置导数中的包络时移分量。参考星的包络位移由自由参考时延吸收。因此，在同时消去复增益、参考时延和时间戳后，位置有效导数只保留角度与 Doppler 导数经同一干扰参数投影后的分量，可记为
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:F6_singleuser}
-  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})\big|_{\boldsymbol\delta\text{ marg.}}
-  =\mathcal I_{\mathrm e}^{\,\mathrm{ang+dop}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}),
+  \mathcal I_{\mathrm e}(\mathbf p)\big|_{\tau_{\mathrm{ref}},\boldsymbol\delta\text{ marg.}}
+  =\mathcal I_{\mathrm e}^{\,\mathrm{ang+dop,proj}}(\mathbf p),
 \end{equation}
 %
-时延/\gls{tdoa} 通道净贡献为零。这是 \appref{subsec:F4_K1L2} 中``$\dot s\equiv0$ 时 $\delta$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 共线''退化的对偶：那里 $\delta$ 无包络信息、并入 Doppler；这里 $\delta$ 有包络信息、却与 $\tau_{\mathrm{ref}}$/距离共线，吃掉测距增益。
+这里右端仍包含未知时延的投影损失，不等同于已知时延的角度--Doppler 基线。位置的时延导数被消去，并不意味着总位置矩阵必然奇异；剩余角度与 Doppler 信息是否满秩由卫星几何决定。
 
 \paragraph{多用户恢复}
 多用户下 $\delta_\ell$ 是逐星参数、被该星 $K$ 个用户共享，其对均值的导数为单一合成方向
@@ -403,7 +414,7 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
   =\sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\,\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k);
 \end{equation}
 %
-而 $K$ 个用户的时延贡献 $\big\{(\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\,\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k)\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)\big\}_{k=1}^{K}$ 因几何 $\partial\Delta\tau_{\ell,k}/\partial\mathbf p_k$ 与空间签名 $\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$ 互异，张成至多 $K$ 个不同方向。Schur 边缘化每星只投影掉这一个合成方向，故 $K-1$ 个时延方向存活，时延通道随用户数恢复。等价地，同星不同用户的观测到达时间差相减
+若消去复增益后，$K$ 个用户的时延导数在实参数意义下独立，则消去一个共享时间戳可保留 $K-1$ 个相对时延方向。导数相关时，保留的维数可能更少。对相对于参考星的观测时延再作用户间差分，有
 %
 \begin{equation}
   \big[\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)+\delta_\ell\big]
@@ -411,11 +422,339 @@ $\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs
   =\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)-\Delta\tau_{\ell,k'}(\mathbf p_{k'})
 \end{equation}
 %
-消去共享 $\delta_\ell$，把它从混淆中超定地分离。故\emph{多用户共享结构是 $\delta_\ell$ 可辨识、\gls{tdoa} 通道净增益的必要条件}。
+这样可消去共享时间戳，但不自动得到位置或时间戳的唯一解。还需消去各用户的参考时延，并检查剩余位置 Jacobian 的实秩；角度与 Doppler 的几何信息也参与这一判断。
+
+\paragraph{时延通道的维数与局部秩}
+为单独考察包络时延，设全部 $LK$ 条链路均可提供独立的局部时延观测，记其无噪声值为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:F6_delay_design}
+  z_{\ell,k}=\tau_{\mathrm{ref},k}
+       +\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)+\delta_\ell,
+  \qquad
+  \Delta\tau_{\ell_{\mathrm{ref}},k}=0,\quad
+  \delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0.
+\end{equation}
+%
+参考时延与星钟偏移的设计矩阵秩为 $K+L-1$：参考星的 $K$ 行先确定各用户参考时延，其余各星再各引入一个独立的公共偏移。消去这些参数后，时延观测至多保留 $(L-1)(K-1)$ 个独立方向。任选一个参考用户 $k_0$，可用双重差分表示这些方向：
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:F6_double_difference}
+  z_{\ell,k}-z_{\ell_{\mathrm{ref}},k}
+    -z_{\ell,k_0}+z_{\ell_{\mathrm{ref}},k_0}
+  =\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)
+    -\Delta\tau_{\ell,k_0}(\mathbf p_{k_0}).
+\end{equation}
+%
+因此，仅依靠时延联合估计 $K$ 个三维位置，必要的维数条件为 $(L-1)(K-1)\geq 3K$；若每个位置受已知高度约束，右端改为 $2K$。满足计数条件后，还须检查 \eqref{eq:F6_double_difference} 对位置参数的 Jacobian 是否满列秩。差分噪声通常相关，计算信息量时须使用完整协方差。加入角度或 Doppler 后，应检查完整观测模型，不能继续把这一时延通道的计数条件当作必要条件。
+
+\paragraph{完整模型的投影判据}
+将所有实值目标参数记为 $\boldsymbol\eta$，其余均值参数记为 $\boldsymbol\psi$。例如，只考察位置时，$\boldsymbol\psi$ 包括参考时延、参考 Doppler、时间戳及复增益的实部和虚部。对白化复均值导数取实部与虚部，构造实矩阵
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:F6_real_jacobian}
+  \mathbf W_x=\sqrt{2}
+  \begin{bmatrix}
+    \Re\{\mathbf R^{-1/2}\mathbf J_x\}\\
+    \Im\{\mathbf R^{-1/2}\mathbf J_x\}
+  \end{bmatrix},
+  \qquad x\in\{\eta,\psi\}.
+\end{equation}
+%
+其中 $\mathbf R$ 是堆叠噪声协方差，$\mathbf J_x$ 是相应均值 Jacobian。独立未知噪声方差与均值参数信息正交，不改变这里的投影。用 $\dagger$ 表示 Moore--Penrose 逆，有
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:F6_rank_test}
+  \begin{aligned}
+  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
+    &=\mathbf W_\eta^\Tran
+      (\mathbf I-\mathbf W_\psi\mathbf W_\psi^\dagger)\mathbf W_\eta,\\
+  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\succ0
+    &\ \Longleftrightarrow\
+    \operatorname{rank}[\mathbf W_\psi,\mathbf W_\eta]
+       -\operatorname{rank}(\mathbf W_\psi)=\dim\boldsymbol\eta .
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+该等价关系来自投影矩阵的对称幂等性：有效信息的零空间正是目标导数被干扰导数张成空间吸收的方向。\eqref{eq:F6_rank_test} 判断正则模型的一阶局部可辨识性；奇异点的高阶可辨识性及相距较远的参数模糊需要另行分析。由此，用户数的作用须结合卫星数、几何与可用观测通道判断，不能给出统一的用户数阈值。
 
 \paragraph{一般情形}
-一般 $L$、大误差区按 \appref{subsec:F3_numericalEfim} 数值评估：把含 $\tau_{\mathrm{ref}}$ 列的 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$（附录 G）与 $\boldsymbol\delta$ 块按先复增益、后 $\boldsymbol\delta$ 的顺序 Schur；$\mathbf q^{\mathrm{del}}$ 在导频自相关半宽处的非线性同样使逐星扣除失效、需整体求逆。
+一般 $L$ 和任意时间戳真值可按\appref{subsec:F3_numericalEfim} 评估。先消复增益、再消逐星时间戳时，时间戳信息块仍为对角；若先消去跨星共享的参考时延或其他主参数，则剩余时间戳块可能耦合。计算形式由消元顺序决定，与偏移是否超过导频自相关宽度无关。
+
+\subsection{摘要融合中的联合扰动吸收与跨用户传播}
+\label{subsec:H_summary_poisoning}
+
+前一小节讨论完整波形模型的局部信息。本小节改用逐链路角度、时延差和 Doppler 差的实值摘要，
+分析捕获异常怎样改变联合位置--时间戳解。摘要的固定通道尺度定义工作归一化；
+它不自动等于实际误差协方差的白化，也不把本小节的最小二乘矩阵变成完整波形模型的 Fisher 信息。
+用户位置 $\mathbf p_k\in\mathbb R^3$ 自由，地固用户的惯性系速度为
+$\boldsymbol\omega_{\mathrm E}\times\mathbf p_k$，几何及其位置导数在同一参考时刻计算。
+每星 offset 被全部用户共享，参考星的 offset 固定为零，跨星载波相位不作为摘要观测。
+
+\paragraph{固定权重的稀疏联合扰动}
+将用户 $k$ 的摘要按固定行序堆叠为 $\mathbf z_k$，其模型为
+$\mathbf m_k(\mathbf p_k,\boldsymbol\delta)$。
+非参考链路提供时延差、Doppler 差及两角，参考链路只提供两角。
+令 $\mathbf C_k$ 为固定通道尺度的对角矩阵，$\mathbf V_k$ 为固定非负行权矩阵，
+$\mathbf R_k=\mathbf V_k^{1/2}\mathbf C_k^{-1}$。
+零权行直接删除。对真值附近的确定性输入变化 $\Delta\mathbf z_k$，定义
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_summary_design}
+  \begin{aligned}
+  \mathbf e_k&=\mathbf R_k\Delta\mathbf z_k,\qquad
+  \mathbf A_k=\mathbf R_k\frac{\partial\mathbf m_k}{\partial\mathbf p_k^\Tran},\qquad
+  \mathbf B_k=\mathbf R_k\frac{\partial\mathbf m_k}{\partial\boldsymbol\delta^\Tran},\\
+  \mathbf A&=\operatorname{blkdiag}(\mathbf A_1,\ldots,\mathbf A_K),\qquad
+  \mathbf B=\begin{bmatrix}\mathbf B_1\\\vdots\\\mathbf B_K\end{bmatrix},\qquad
+  \mathbf e=\begin{bmatrix}\mathbf e_1\\\vdots\\\mathbf e_K\end{bmatrix},\\
+  Q(\Delta\boldsymbol\eta,\Delta\boldsymbol\delta)
+    &=\|\mathbf e-\mathbf A\Delta\boldsymbol\eta-\mathbf B\Delta\boldsymbol\delta\|_2^2,
+  \qquad \Delta\boldsymbol\eta=[\Delta\mathbf p_1^\Tran,\ldots,\Delta\mathbf p_K^\Tran]^\Tran.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+所有导数在同一工作点求值，$\mathbf B_k$ 只在时延差行非零。
+具体地，记星到用户方向为 $\mathbf u_\ell=\dfrac{\mathbf p-\mathbf s_\ell}{r_\ell}$，
+$r_\ell=\|\mathbf p-\mathbf s_\ell\|_2$，
+$\mathbf U_\ell=\dfrac{\mathbf I-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran}{r_\ell}$，
+$\mathbf O_{\mathrm E}\mathbf p=\boldsymbol\omega_{\mathrm E}\times\mathbf p$。
+以 $\ell_0$ 为参考星，采用正时间相位 $e^{j\nu t}$ 的摘要约定，原始几何行导数为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_summary_geometry_derivatives}
+  \begin{aligned}
+  \frac{\partial\Delta\tau_\ell}{\partial\mathbf p^\Tran}
+    &=\frac{(\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_0})^\Tran}{c_0T_{\mathrm s}},\\
+  \frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p^\Tran}
+    &=\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
+      \left[(\mathbf v_\ell-\mathbf O_{\mathrm E}\mathbf p)^\Tran\mathbf U_\ell
+             -\mathbf u_\ell^\Tran\mathbf O_{\mathrm E}
+             -(\mathbf v_{\ell_0}-\mathbf O_{\mathrm E}\mathbf p)^\Tran\mathbf U_{\ell_0}
+             +\mathbf u_{\ell_0}^\Tran\mathbf O_{\mathrm E}\right].
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+角行采用同一星到用户方向在已知阵列坐标系中的两角导数。
+每个非参考星的列在该用户对应的时延差行取该行的归一化系数。
+若时延用样本计，offset 也用样本计；若改为秒，须同时换算两者及其列尺度。
+对指定用户 $a$ 的若干非参考链路，以固定选择矩阵表示联合污染：
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_joint_sparse_error}
+  \mathbf e_a=\mathbf S_{\tau,a}\mathbf u_\tau+\mathbf S_{\nu,a}\mathbf u_\nu
+     =\mathbf E_a\mathbf u,
+  \qquad \mathbf u=\begin{bmatrix}\mathbf u_\tau\\\mathbf u_\nu\end{bmatrix},
+  \qquad \mathbf e_k=\mathbf0\quad(k\ne a).
+\end{equation}
+%
+这里 $\mathbf u_\tau,\mathbf u_\nu$ 是经固定尺度及权重变换后的实际扰动，
+不要求它们来自独立抽样。参考链路被污染时，应先形成实际差分误差向量；
+同一个参考误差会进入多条差分行，不能继续用只污染非参考链路的选择方式。
+
+\paragraph{先消位置，再解共享时间戳}
+假设各 $\mathbf A_k$ 满列秩。令
+$\mathbf P_k=\mathbf I-\mathbf A_k\mathbf A_k^\dagger$，
+$\mathbf P=\operatorname{blkdiag}(\mathbf P_1,\ldots,\mathbf P_K)$，并定义
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_offset_residual_design}
+  \mathbf Z=\mathbf P\mathbf B,\qquad
+  \mathbf b=\mathbf P\mathbf e,\qquad
+  \mathbf S=\mathbf Z^\Tran\mathbf Z
+     =\sum_k\mathbf B_k^\Tran\mathbf P_k\mathbf B_k,\qquad
+  \boldsymbol\gamma=\mathbf Z^\Tran\mathbf b.
+\end{equation}
+%
+对给定 $\Delta\boldsymbol\delta$，位置最小二乘解为
+$\mathbf A_k^\dagger(\mathbf e_k-\mathbf B_k\Delta\boldsymbol\delta)$。
+代回 \eqref{eq:H_summary_design} 得到
+$\|\mathbf b-\mathbf Z\Delta\boldsymbol\delta\|_2^2$。
+若 $\mathbf S\succ0$，共享时间戳、用户位置及拟合残差的唯一局部解为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_poison_block_maps}
+  \begin{aligned}
+  \widehat{\Delta\boldsymbol\delta}&=\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma,\\
+  \widehat{\Delta\mathbf p_a}
+    &=\mathbf A_a^\dagger\mathbf e_a
+       -\mathbf A_a^\dagger\mathbf B_a\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma,\\
+  \widehat{\Delta\mathbf p_k}
+    &=-\mathbf A_k^\dagger\mathbf B_k\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma
+       \quad(k\ne a),\\
+  \widehat{\mathbf r}_k
+    &=\mathbf P_k(\mathbf e_k-\mathbf B_k\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma).
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+式~\eqref{eq:H_poison_block_maps} 将污染用户的直接位置变化与经共享 offset 的变化分开。
+在本摘要模型的块对角工作权重下，未污染用户的跨用户位置变化只经共享 offset 传播。
+实际共享参考误差的完整协方差若混合用户块，须重新构造全局归一化矩阵，不能直接沿用这一分解。
+若 $\mathbf S$ 奇异，可用 $\mathbf Z^\dagger\mathbf b$ 给出一个最小范数解；
+零空间方向会改变部分位置或 offset 时，应报告解的不唯一性，不能把该解称为唯一扰动预测。
+
+\paragraph{已知与未知 offset 的吸收差别}
+固定真实 offset 时，位置扰动为 $\mathbf A_k^\dagger\mathbf e_k$，残差为 $\mathbf b$。
+将 offset 放开后，新增可吸收空间为 $\operatorname{range}(\mathbf Z)$，且
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_extra_absorption}
+  \begin{aligned}
+  \operatorname{range}[\mathbf A,\mathbf B]
+    &=\operatorname{range}(\mathbf A)\mathbin{\oplus}\operatorname{range}(\mathbf Z),\\
+  Q_{\mathrm{known}}-Q_{\mathrm{unknown}}
+    &=\boldsymbol\gamma^\Tran\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma\ge0.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+两个空间正交，因为 $\mathbf A^\Tran\mathbf Z=\mathbf0$。
+投影 $\mathbf b$ 到第二个空间即可证明成本差式。
+对特定污染，新增吸收严格为正当且仅当 $\boldsymbol\gamma\ne\mathbf0$。
+未污染用户 $k$ 的位置变化非零还要求
+$\mathbf A_k^\dagger\mathbf B_k\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma\ne\mathbf0$。
+因此，存在 offset 自由度既不保证吸收任意污染，也不保证污染传到每个用户。
+若 $\boldsymbol\gamma=\mathbf0$，放开 offset 不改变该污染的解；
+若 $\mathbf A_k^\Tran\mathbf B_k=\mathbf0$，用户 $k$ 的位置不接受这条传播路径，
+即使其他用户推动了 offset 变化。
+
+\paragraph{Doppler 经位置耦合推动 offset}
+对 \eqref{eq:H_joint_sparse_error} 定义
+$\mathbf L_\tau=\mathbf B_a^\Tran\mathbf P_a\mathbf S_{\tau,a}$、
+$\mathbf L_\nu=\mathbf B_a^\Tran\mathbf P_a\mathbf S_{\nu,a}$。
+由于 $\mathbf B_a^\Tran\mathbf S_{\nu,a}=\mathbf0$，有
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_delay_doppler_interaction}
+  \begin{aligned}
+  \boldsymbol\gamma&=\mathbf L_\tau\mathbf u_\tau+\mathbf L_\nu\mathbf u_\nu,\\
+  \mathbf L_\nu
+    &=-\mathbf B_a^\Tran\mathbf A_a
+       (\mathbf A_a^\Tran\mathbf A_a)^{-1}\mathbf A_a^\Tran\mathbf S_{\nu,a},\\
+  Q_{\mathrm{known}}-Q_{\mathrm{unknown}}
+    &=\mathbf u_\tau^\Tran\mathbf L_\tau^\Tran\mathbf S^{-1}\mathbf L_\tau\mathbf u_\tau
+      +2\mathbf u_\tau^\Tran\mathbf L_\tau^\Tran\mathbf S^{-1}\mathbf L_\nu\mathbf u_\nu
+      +\mathbf u_\nu^\Tran\mathbf L_\nu^\Tran\mathbf S^{-1}\mathbf L_\nu\mathbf u_\nu.
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+Doppler 对 timestamp 的直接导数为零，但 Doppler 异常推动的位置变化可改变时延拟合，进而改变共享 offset。
+交叉项可以增强或抵消两类异常的作用，实际联合向量须一起代入。
+若仅在期望中令两类扰动独立且零均值，交叉项的期望为零；单次实现仍保留该项。
+
+\paragraph{同构用户的定量规律}
+设 $K$ 个用户具有相同的工作归一化、位置 Jacobian 和 offset 列，
+$\mathbf A_k=\mathbf A_0$、$\mathbf B_k=\mathbf B_0$，
+$\mathbf S_0=\mathbf B_0^\Tran\mathbf P_0\mathbf B_0\succ0$。
+只有用户 $a$ 受污染时，令
+$\mathbf d_0=\mathbf S_0^{-1}\mathbf B_0^\Tran\mathbf P_0\mathbf e_a$，则
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_identical_user_dilution}
+  \widehat{\Delta\boldsymbol\delta}=\frac{\mathbf d_0}{K},\qquad
+  \widehat{\Delta\mathbf p_k}=-\frac{\mathbf A_0^\dagger\mathbf B_0\mathbf d_0}{K} (k\ne a),
+  \qquad
+  Q_{\mathrm{known}}-Q_{\mathrm{unknown}}
+       =\frac{\mathbf d_0^\Tran\mathbf S_0\mathbf d_0}{K}.
+\end{equation}
+%
+这给出固定单用户异常下的 $1/K$ 稀释规律，是共享结构的一个条件性结论。
+如果全部用户受到相同的时延异常 $\mathbf e_k=\mathbf B_0\mathbf d$，则
+offset 可以整体变化 $\mathbf d$，位置不变且残差为零，增加用户数不会解除这种共模混淆。
+不同用户的几何、权重或污染数改变后，应使用 \eqref{eq:H_poison_block_maps}，不外推 $1/K$。
+
+\paragraph{单行特例与删除污染行的秩}
+记完整摘要 Jacobian $\mathbf J=[\mathbf A,\mathbf B]$ 满列秩，
+$\mathbf H=\mathbf J(\mathbf J^\Tran\mathbf J)^{-1}\mathbf J^\Tran$。
+对任意污染行集合 $\mathcal S$，以 $\mathbf E_{\mathcal S}$ 为坐标选择矩阵，
+$\mathbf H_{\mathcal S\mathcal S}=\mathbf E_{\mathcal S}^\Tran\mathbf H\mathbf E_{\mathcal S}$。
+若 $\mathbf e=\mathbf E_{\mathcal S}\mathbf u$，则
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_sparse_leverage}
+  \widehat{\mathbf r}=(\mathbf I-\mathbf H)\mathbf E_{\mathcal S}\mathbf u,\qquad
+  Q_{\mathrm{unknown}}
+    =\mathbf u^\Tran(\mathbf I-\mathbf H_{\mathcal S\mathcal S})\mathbf u.
+\end{equation}
+%
+取单行幅度 $s$ 和 leverage $h$，恢复污染行残差 $(1-h)s$、成本 $s^2(1-h)$，
+以及其余行残差能量 $s^2h(1-h)$。
+存在非零、支撑在 $\mathcal S$ 上且被完全吸收的扰动，当且仅当删除这些行后
+$\mathbf J_{-\mathcal S}$ 失去满列秩：
+非零零空间向量 $\mathbf v$ 给出 $\mathbf J\mathbf v$，它只在污染行非零；反向也成立。
+秩亏只保证存在这种扰动，不保证每个联合 delay--Doppler 向量都会被吸收。
+对 $K=1$，每颗非参考星的 offset 只进入一条时延差行，
+任意仅含时延差的扰动都可由 offset 吸收；加入 Doppler 污染后仍须检查完整向量。
+
+\paragraph{跨用户共识的可用信息与盲区}
+在同一星的时延行，令 $\mathbf c_\ell$ 表示观测时延差减去候选几何时延差的用户向量，
+尚未扣除共享 offset。对 $\mathbf T\mathbf1_K=\mathbf0$ 的用户对比矩阵，
+未归一化残差 $\mathbf r_\ell^\tau$ 满足
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_consensus_limit}
+  \mathbf T\mathbf c_\ell=\mathbf T\mathbf r_\ell^\tau,\qquad
+  c_{\ell,k}-\operatorname{med}_{k'}c_{\ell,k'}
+    =r_{\ell,k}^\tau-\operatorname{med}_{k'}r_{\ell,k'}^\tau.
+\end{equation}
+%
+median 的平移等变性给出第二式；MAD 也不随公共平移改变。
+对同星同通道的共同归一化尺度，这些等式保持成立。
+因此，当前拟合残差的用户共识是残差向量的统计量，不是新增独立观测。
+非零残差仍可能包含用户分布差异，例如少数用户偏离多数用户；
+标准化的 median/MAD 特征可以放大相对差别，但其分母和噪声也必须一起评估。
+若该通道所有残差绝对值均不超过 $\epsilon$，用户间残差差值不超过 $2\epsilon$；
+若所有通道残差精确为零，任何仅由这些残差构成的共识特征都不能识别污染。
+相同输入、不同真实参数与污染解释之间的区分还需要未被拟合吸收的观测或先验约束。
+
+一个保留区分信息的条件是残差中的多数用户仍形成紧簇。
+对同星同通道的归一化残差，设严格多数用户满足 $|r_k-r_0|\le\epsilon_0$，
+待检用户满足 $r_a=r_0+\Delta$、$|\Delta|>\epsilon_0$。
+以 $\epsilon_{\mathrm{reg}}>0$ 为固定分母下限，则
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_consensus_separation}
+  d_a=\frac{|r_a-\operatorname{med}_kr_k|}
+                {1.4826\operatorname{MAD}_kr_k+\epsilon_{\mathrm{reg}}}
+      \ge\frac{|\Delta|-\epsilon_0}{2(1.4826)\epsilon_0+\epsilon_{\mathrm{reg}}}.
+\end{equation}
+%
+证明是 median 位于 $[r_0-\epsilon_0,r_0+\epsilon_0]$，
+多数用户到 median 的距离至多为 $2\epsilon_0$，从而 MAD 也至多为 $2\epsilon_0$。
+当 $\epsilon_0\ll|\Delta|$ 时，即使绝对残差都较小，共识特征仍可保留显著的相对差别。
+这个条件须由拟合后的实际残差核对，不能仅凭输入污染稀疏就假设成立；
+共模残差、无严格多数或完全吸收的情形不提供该保证。
+
+一种可计算的留出核对是排除用户 $a$，只用其余用户估计 offset。
+若 $\mathbf S_{-a}=\sum_{k\ne a}\mathbf B_k^\Tran\mathbf P_k\mathbf B_k\succ0$，则
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:H_leave_user_out}
+  \widehat{\Delta\boldsymbol\delta}_{-a}
+    =\mathbf S_{-a}^{-1}\sum_{k\ne a}\mathbf B_k^\Tran\mathbf P_k\mathbf e_k,
+  \qquad
+  \mathbf r_a^{\mathrm{out}}
+    =\mathbf P_a(\mathbf e_a-\mathbf B_a\widehat{\Delta\boldsymbol\delta}_{-a}).
+\end{equation}
+%
+在本节仅单用户受扰、无新增噪声的局部比较中，训练用户给出零 offset 增量，
+故 $\mathbf r_a^{\mathrm{out}}=\mathbf P_a\mathbf e_a$。
+留出残差避免该用户参与 offset 拟合，但如果 $\mathbf P_a\mathbf e_a=\mathbf0$，
+污染已被该用户的位置自由度吸收，仍不能区分；若 $\mathbf S_{-a}$ 奇异，其他用户也不能唯一锚定 offset。
+这支持检验共享结构的诊断，不直接保证逐残差 Huber 权重或学习门控的成功。
+
+\paragraph{局部预测的计算范围}
+给定固定行序、污染 mask、通道尺度、权重和位置工作点，
+可由 \eqref{eq:H_poison_block_maps} 输出 offset、污染用户及其他用户位置增量，
+并由 \eqref{eq:H_extra_absorption} 输出新增吸收能量。
+计算时使用 QR 或 SVD 检查 $\mathbf A_k$、$\mathbf Z$、$\mathbf J_{-\mathcal S}$ 的秩，
+在声明的列尺度下报告最弱奇异方向，而不是仅用正规方程求逆。
+用扰动乘以小系数再缩小系数，可检查非线性观测变化的一阶收敛；
+大误捕获、迭代权重更新及候选分支转换需要非线性验证。
+若只核对一轮带阻尼的更新，线性映射改为
+$\widehat{\Delta\boldsymbol\kappa}=(\mathbf J^\Tran\mathbf J+\lambda\boldsymbol\Lambda)^{-1}\mathbf J^\Tran\mathbf e$，
+其中 $\boldsymbol\kappa=[\boldsymbol\eta^\Tran,\boldsymbol\delta^\Tran]^\Tran$，$\boldsymbol\Lambda$ 为固定阻尼矩阵。
+该映射的拟合矩阵一般不幂等，不能套用无阻尼投影的 leverage 恒等式。
 
 \medskip
 
-至此，附录 F 给出了时间戳误差的三类结果：作为干扰参数估计时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}（见前述各小节），被估计器忽略时的 \gls{mcrb}（\appref{subsec:F5_mcrb}），以及位置模型下 $\delta_\ell$ 与到达时间差通道同轴混淆、单用户退化而多用户共享结构恢复的秩分析（\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}）。多用户情形与一般 $L$ 的 \gls{efim} 由\appref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为后续数据驱动方法与界对比的基础。
+至此，\appref{sec:timestampErrCrb} 给出了时间戳误差的四类结果：作为干扰参数估计时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}（见前述各小节），被估计器忽略时的 \gls{mcrb}（\appref{subsec:F5_mcrb}），位置模型下时延--时间戳混淆的秩分析（\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}），以及固定权重摘要融合中的联合扰动吸收与跨用户传播（\appref{subsec:H_summary_poisoning}）。多用户情形与一般 $L$ 的 \gls{efim} 由\appref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为后续数据驱动方法与界对比的基础。

parts/I-dictSeparationAmp.tex

@@ -2,105 +2,135 @@
 \label{sec:dictSeparationAmp}
 
 \begin{mdquote}
-\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节多用户分离的低复杂度等价路径——把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离化为对\emph{已知}字典的行稀疏恢复。
+\noindent\textbf{本附录设定}：将已知用户码的延时--Doppler 模板离散化，逐星估计网格支撑与空间信道。
 \begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
-  \item \emph{估计问题} 每星多测量向量（MMV）观测 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$ 的行稀疏恢复（码已知、全活跃 $\Rightarrow$ 组内一选一）；支撑给延时--Doppler、行值给空间信道。
-  \item \emph{本附录给出} 近似消息传递（AMP）与稀疏贝叶斯学习（SBL）不动点、利用组结构的去噪，与正文逐用户充分统计量口径一致。
-  \item \emph{本附录局部符号} $\mathbf Q_\ell$：延时--Doppler 字典；$\mathbf X_\ell$：行稀疏系数；$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$：用户空间信道。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
+  \item \emph{观测模型} 多测量向量模型 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$。
+  \item \emph{结构条件} 单路径、参数在网格上且所有链路增益非零时，每个活跃用户对应一个非零行。
+  \item \emph{求解方法} 说明向量近似消息传递的修正项，并给出复高斯稀疏贝叶斯学习的后验与超参数更新。
 \end{itemize}
 \end{mdquote}
 
-正文把各用户的延时、Doppler、来向作为连续参数联合估计，集中似然对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影，每次目标评估的复杂度随用户数 $K$ 三次增长且依赖良好初始化。本附录的字典化路径把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离化为对一个\emph{已知}字典的行稀疏恢复，再用消息传递求解；它与正文分离给出同一逐用户输出，却把每星每次迭代的代价降到近线性于问题规模。
+第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节保留连续方向参数与跨星几何约束。本附录先把各星空间信道作为自由向量估计，得到可供后续阵列拟合使用的中间结果。网格离散及空间结构的放松改变了估计问题，因此这种分步方法与连续联合最大似然一般不等价。
 
 \subsection{延时--多普勒字典与稀疏测量模型}
 \label{subsec:I1_dictModel}
 
-把第 $\ell$ 颗卫星观测的延时--Doppler 平面离散为 $C$ 个网格点 $\{(\tau_c,\nu_c)\}_{c=1}^{C}$（先取粗网格，离格误差由后文的局部细化补偿）。第 $k$ 个用户码在第 $c$ 个网格点上的\emph{已知}时间模板原子为
+取 $C$ 个网格点 $\{(\tau_c,\nu_c)\}_{c=1}^{C}$，定义已知时间模板
 %
 \begin{equation}
-  [\mathbf q_{\ell,k,c}]_t = s_k(t-\tau_c)\,e^{j\nu_c t},
+  [\mathbf q_{\ell,k,c}]_t=s_k(t-\tau_c)e^{j\nu_c t},
   \qquad
-  \mathbf q_{\ell,k,c}\in\mathbb C^{T},
+  \mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K,C}]
+  \in\mathbb C^{T\times KC}.
 \end{equation}
 %
-按 $(k,c)$ 排列得字典 $\mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K,C}]\in\mathbb C^{T\times KC}$。第 $m$ 根阵元的时间序列 $\mathbf y_{\ell,m}\in\mathbb C^{T}$（即 $\mathbf Y_\ell$ 第 $m$ 行的转置）满足 $\mathbf y_{\ell,m}=\mathbf Q_\ell\mathbf x_{\ell,m}+\mathbf n_{\ell,m}$。把各阵元并列为多测量向量（multiple-measurement-vector，MMV）形式
+其中 $t$ 表示实际采样时刻，时延插值沿用第~\ref{sec:userPositioning}~节的带限模板约定。对于第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节不含未知传播时延的模型，固定 $\tau_c=0$，只对 Doppler 建立网格。按阵元并列观测，得到
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:I_mmv}
-  \mathbf Y_\ell^\Tran
-  =\mathbf Q_\ell\,\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran,
-  \qquad
-  \mathbf X_\ell=[\mathbf x_{\ell,1},\ldots,\mathbf x_{\ell,M_\ell}]\in\mathbb C^{KC\times M_\ell}.
+  \mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran,
+  \qquad \mathbf X_\ell\in\mathbb C^{KC\times M_\ell}.
 \end{equation}
 %
-关键结构是\emph{行稀疏}：每个活跃用户只占据其真实延时--Doppler 网格点对应的那一行，故 $\mathbf X_\ell$ 仅有少数非零行，且非零行在所有阵元上\emph{共享同一支撑}。进一步地，码分用户的码\emph{已知}、且在多用户硬交集场景下 $K$ 个用户全部活跃，故这一稀疏并非``哪些用户活跃''的未知稀疏，而是\emph{组结构}的：把字典列按用户码分为 $K$ 组（第 $k$ 组为码-$k$ 在所有网格点上的原子），每个已知用户码恰在其组内占据一个延时--Doppler 网格点——即\emph{组内一选一}（one-hot per group）。于是 $\mathbf X_\ell$ 恰有 $K$ 个非零行、每个用户码组各一；这一结构比泛行稀疏更强，应被下文的去噪算子与先验显式利用。若第 $(k,c)$ 行非零，则它\emph{就是}该用户的空间信道
+在单路径、参数落在网格上且增益非零的条件下，每个活跃用户在自己的 $C$ 行中恰占一行，所有阵元共享这一行支撑。若第 $(k,c)$ 行被选中，未经列归一化的字典对应
 %
 \begin{equation}
-  \widehat{\mathbf h}_{\ell,k}=\big(\mathbf X_\ell[(k,c),:]\big)^\Herm\in\mathbb C^{M_\ell},
+  \widehat{\mathbf h}_{\ell,k}
+   =\big(\widehat{\mathbf X}_\ell[(k,c),:]\big)^\Tran,
   \qquad
   (\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k})=(\tau_c,\nu_c).
 \end{equation}
 %
-这与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节回传的逐用户三元组 $\{\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k},\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 完全一致：稀疏恢复同时给出网格级延时--Doppler（支撑）与空间信道（行值）。
+这里使用转置而非共轭转置，因为观测模型为 $\mathbf h_{\ell,k}\mathbf q_{\ell,k}^\Tran$。若把字典列除以其范数，则恢复的相应系数行须再除以同一范数，才能还原物理信道。
 
-用户间干扰体现为字典列的非正交：$\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Q_\ell$ 的非对角元由不同 $(k,c)$ 原子时间模板的互相关给出（码互相关与延时--Doppler 偏移共同决定）。该\emph{互相干}受控时，下文的消息传递可在每星每迭代 $O(M_\ell T\cdot KC)$ 内恢复支撑与信道，替代 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然的 $O(K^3)$ 反复求逆。网格离散的离格误差由\emph{粗网格定位 + 局部细化}补偿：先在粗网格上定支撑，再在峰邻域对 $(\tau,\nu)$ 作牛顿步或细网格细化。
+这些输出与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节的局部参数具有相同含义，但网格支撑及估计信道并不自动构成原始观测的充分统计量。离格时，真实模板通常需要多个相邻原子近似；选定支撑后的连续参数细化可以减小离散误差，其效果取决于初始化与目标函数。
 
-\subsection{近似消息传递不动点}
+\subsection{向量近似消息传递的修正项}
 \label{subsec:I2_amp}
 
-对 \eqref{eq:I_mmv} 的行稀疏恢复，近似消息传递（approximate message passing，AMP）以矩阵形式迭代。设字典列已作能量归一化，自 $\mathbf X^0=\mathbf 0$、$\mathbf Z^0=\mathbf Y_\ell^\Tran$ 起，第 $t$ 步为
-%
-\begin{align}
-  \label{eq:I_amp}
-  \mathbf R^t
-  &=\widehat{\mathbf X}^t+\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Z^t,\\
-  \widehat{\mathbf X}^{t+1}
-  &=\boldsymbol\eta_t\big(\mathbf R^t\big),\\
-  \mathbf Z^{t+1}
-  &=\mathbf Y_\ell^\Tran-\mathbf Q_\ell\widehat{\mathbf X}^{t+1}
-   +\frac{KC}{T}\,\big\langle\boldsymbol\eta_t'\big\rangle\,\mathbf Z^t.
-\end{align}
-%
-其中 $\mathbf R^t$ 是去相关后的等效观测（匹配残差叠加当前估计），$\boldsymbol\eta_t(\cdot)$ 是\emph{逐行}作用的去噪算子——把每一行的 $M_\ell$ 维向量整体收缩以促行稀疏；$\langle\boldsymbol\eta_t'\rangle$ 是其平均散度，构成 Onsager 修正项，抵消迭代间的统计依赖、使 $\mathbf R^t$ 的等效噪声近似为白。去噪算子可取\emph{行软阈值}
+近似消息传递（approximate message passing，AMP）交替进行残差匹配与去噪。为了明确向量修正项，先考虑实值模型 $\mathbf V=\mathbf A\mathbf X+\mathbf N$，其中 $\mathbf A\in\mathbb R^{n\times d}$、$\mathbf X\in\mathbb R^{d\times b}$。标准随机矩阵设定取 $A_{ij}$ 独立、均值为零、方差为 $1/n$，并在固定维数比的大系统条件下分析。令去噪器 $\mathbf f_t:\mathbb R^b\to\mathbb R^b$ 逐行作用，其 Jacobian 为 $\mathbf J_{t,r}$。从 $\widehat{\mathbf X}^0=\mathbf0$、$\mathbf Z^0=\mathbf V$ 出发，迭代为~\cite{hannakPerformanceAnalysisAMP2018}
 %
 \begin{equation}
-  \big[\boldsymbol\eta_t(\mathbf R)\big]_{r,:}
-  =\mathbf R_{r,:}\,\max\!\Big(0,\,1-\frac{\lambda_t}{\|\mathbf R_{r,:}\|_2}\Big),
+  \label{eq:I_amp}
+  \begin{aligned}
+  \mathbf R^t&=\widehat{\mathbf X}^t+\mathbf A^\Tran\mathbf Z^t,\\
+  [\widehat{\mathbf X}^{t+1}]_{r,:}^\Tran
+      &=\mathbf f_t([\mathbf R^t]_{r,:}^\Tran),\\
+  \mathbf Z^{t+1}&=\mathbf V-\mathbf A\widehat{\mathbf X}^{t+1}
+        +\frac{1}{n}\mathbf Z^t
+           \left(\sum_{r=1}^{d}\mathbf J_{t,r}\right)^\Tran .
+  \end{aligned}
 \end{equation}
 %
-（$\lambda_t$ 为阈值，$r=(k,c)$ 为行索引），或在每行 Bernoulli--复高斯先验下取行后验均值（最小均方误差去噪）。利用第~\ref{subsec:I1_dictModel} 小节的组结构可得更紧的去噪：在\emph{每个用户码组内}做``一选一''——以组内各网格点的行能量 $\|\mathbf R_{(k,c),:}\|_2$ 为权、经 softmax（或取最大）把该组的估计集中到主导网格点，对应每个已知用户在其延时--Doppler 网格内的软/硬选择，从而把先验由``全局少数非零行''收紧为``每组恰一行''。迭代收敛后，各组存活的网格点即对应用户的延时--Doppler，行值即其空间信道。
+最后一项是 Onsager 修正。其维数为 $n\times b$，由完整的 $b\times b$ Jacobian 构成；只有标量情形或额外的各向同性条件下，才能简化为一个平均导数乘残差。有效噪声的高斯近似依赖随机矩阵与去噪器的适用条件，不由列归一化单独保证。
 
-\subsection{稀疏贝叶斯学习不动点}
+例如，行软阈值去噪器取 $\mathbf f(\mathbf r)=(1-\lambda/\|\mathbf r\|_2)_+\mathbf r$，在 $\|\mathbf r\|_2>\lambda$ 时，
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:I_amp_jacobian}
+  \mathbf J(\mathbf r)
+   =\left(1-\frac{\lambda}{\|\mathbf r\|_2}\right)\mathbf I_b
+       +\frac{\lambda}{\|\mathbf r\|_2^3}\mathbf r\mathbf r^\Tran.
+\end{equation}
+%
+在阈值内部 Jacobian 为零，阈值边界可按几乎处处导数处理。\eqref{eq:I_amp_jacobian} 的非对角项说明，向量去噪一般不能用标量散度替代。
+
+复值字典模型可等价写为实值块系统
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:I_real_system}
+  \begin{bmatrix}\Re\{\mathbf Y_\ell^\Tran\}\\\Im\{\mathbf Y_\ell^\Tran\}\end{bmatrix}
+  =
+  \begin{bmatrix}
+    \Re\{\mathbf Q_\ell\}&-\Im\{\mathbf Q_\ell\}\\
+    \Im\{\mathbf Q_\ell\}& \Re\{\mathbf Q_\ell\}
+  \end{bmatrix}
+  \begin{bmatrix}\Re\{\mathbf X_\ell\}\\\Im\{\mathbf X_\ell\}\end{bmatrix}
+  +\begin{bmatrix}\Re\{\mathbf N_\ell^\Tran\}\\\Im\{\mathbf N_\ell^\Tran\}\end{bmatrix}.
+\end{equation}
+%
+该变换保留了模型，却产生重复的矩阵块；同一复系数的实部与虚部还需成组去噪。因此，\eqref{eq:I_amp} 的独立实随机矩阵分析不能直接套用。对于确定性的延时--Doppler 字典，须采用与复值结构、分组先验相匹配的消息传递公式，并另外检查收敛性。这里的实值递推用于说明修正项的结构，下一小节则直接在复值观测模型上给出可计算的后验更新。
+
+\subsection{稀疏贝叶斯学习的后验与更新}
 \label{subsec:I3_sbl}
 
-另一条路径是稀疏贝叶斯学习（sparse Bayesian learning，SBL）。对每行赋零均值复高斯先验、行内（跨阵元）共享方差超参 $\gamma_r$（$r=(k,c)$）：$\mathbf X_\ell[r,:]\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\gamma_r\mathbf I_{M_\ell})$。给定 $\{\gamma_r\}$ 与噪声方差 $\sigma_\ell$，各行值的后验为高斯，均值与协方差对角为
+稀疏贝叶斯学习（sparse Bayesian learning，SBL）对每个阵元的系数列赋独立先验 $\mathbf X_\ell[:,m]\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\boldsymbol\Gamma)$，其中 $\boldsymbol\Gamma=\diag(\gamma_1,\ldots,\gamma_{KC})$，各阵元共享行方差。以下固定噪声方差 $\sigma_\ell>0$。令
 %
 \begin{equation}
+  \label{eq:I_sbl_posterior}
+  \begin{aligned}
+  \mathbf C&=\sigma_\ell\mathbf I_T+
+                    \mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm,\\
   \widehat{\mathbf X}_\ell
-  =\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm
-   \big(\sigma_\ell\mathbf I_T+\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\big)^{-1}
-   \mathbf Y_\ell^\Tran,
-  \qquad
-  \boldsymbol\Gamma=\diag(\gamma_1,\ldots,\gamma_{KC}),
+     &=\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf C^{-1}\mathbf Y_\ell^\Tran,\\
+  \boldsymbol\Sigma
+     &=\boldsymbol\Gamma-\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm
+                     \mathbf C^{-1}\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma.
+  \end{aligned}
 \end{equation}
 %
+由高斯条件分布公式，每个系数列的后验均值是 $\widehat{\mathbf X}_\ell$ 的对应列，协方差均为 $\boldsymbol\Sigma$。对系数积分得到边缘负对数似然，去掉与超参数无关的项后为
 %
 \begin{equation}
-  \Sigma_{rr}
-  =\gamma_r-\gamma_r^2\,\mathbf q_{\ell,r}^\Herm
-   \big(\sigma_\ell\mathbf I_T+\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\big)^{-1}\mathbf q_{\ell,r},
+  \label{eq:I_sbl_evidence}
+  \mathcal L(\boldsymbol\gamma)
+    =M_\ell\log\det\mathbf C+
+       \operatorname{tr}\!\left[
+         (\mathbf Y_\ell^\Tran)^\Herm\mathbf C^{-1}\mathbf Y_\ell^\Tran
+       \right].
 \end{equation}
 %
-其中 $\mathbf q_{\ell,r}$ 为字典第 $r$ 列。超参由证据最大化（EM）逐行更新
+采用期望最大化，先在当前超参数处计算 \eqref{eq:I_sbl_posterior}，再对完整数据对数先验取后验期望。每行的有关项为 $M_\ell\log\gamma_r+
+\mathbb E[\|\mathbf X_\ell[r,:]\|_2^2\mid\mathbf Y_\ell]/\gamma_r$。对 $\gamma_r$ 求导，得到
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:I_sbl_update}
-  \gamma_r\leftarrow
-  \frac{1}{M_\ell}\big\|\widehat{\mathbf X}_\ell[r,:]\big\|_2^2+\Sigma_{rr},
+  \gamma_r^{\mathrm{new}}
+    =\frac{\|\widehat{\mathbf X}_\ell[r,:]\|_2^2}{M_\ell}+\Sigma_{rr}.
 \end{equation}
 %
-交替``后验求值--超参更新''直至收敛。多数 $\gamma_r\to0$、支撑自动稀疏，存活行同样给出活跃用户的延时--Doppler 与信道。同样可注入第~\ref{subsec:I1_dictModel} 小节的组结构——对每个用户码组施加``组内一选一''先验（组内仅允许一个 $\gamma_r$ 显著），使超参更新 \eqref{eq:I_sbl_update} 在每组内竞争出主导网格点，与已知码、全活跃的设定一致。SBL 不需预设阈值，对字典互相干的鲁棒性通常优于贪婪逐级消除，代价是每次后验求值含一个 $T\times T$ 求逆。
+迭代可趋于边缘似然的驻点；目标一般非凸，支撑恢复和全局最优性仍取决于数据与初始化。小方差行可用于筛选候选网格，但上述独立高斯先验没有施加每个用户恰选一行的约束。若需要严格的一选一结构，应另引入每个用户的离散网格索引及条件信道先验，并重新推导后验更新；对行能量作最大值选择只是后处理。
 
-\medskip
+直接矩阵乘法的字典匹配代价为 $O(M_\ell T KC)$。SBL 还需构造并分解 $\mathbf C$，朴素实现分别需要 $O(T^2KC)$ 与 $O(T^3)$ 运算。总计算量须结合网格规模、迭代次数及后续连续细化评估，不能把一次字典迭代与联合似然的一次小矩阵求逆直接比较。
 
-本附录给出的字典化模型与 AMP/SBL 不动点，是 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然之外的低复杂度求解路径，与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量口径一致。其逐层均方误差与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节 \gls{crb}/\gls{efim} 的挂钩、以及达界所需的字典互相干条件，是自然的后续分析方向；确定性结构字典下其分析工具（state-evolution 递推、向量 AMP 或互相干恢复保证）按字典性质另择。
+得到逐星信道后，可按阵列流形拟合本地来向，再通过全局方向或位置模型融合。与原始观测的 \gls{crb} 比较时，应分别记录网格误差、支撑选择错误和分步处理的信息损失。

parts/J-thresholdBounds.tex

@@ -1,78 +1,121 @@
-\section{门限区界：误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai}
+\section{门限区界：Barankin 与 Ziv--Zakai}
 \label{sec:thresholdBounds}
 
 \begin{mdquote}
-\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的含时间戳位置模型，承\appref{subsec:F5_mcrb} 的 \gls{mcrb}。
+\noindent\textbf{本附录设定}：在局部信息分析之外，用相距有限的参数点考察大误差。
 \begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
-  \item \emph{补充对象} \gls{crb}/\gls{efim}/\gls{mcrb}（均为局部小误差界）之外的\emph{门限区}：低信噪比或参数模糊下的大误差与模糊地板。
-  \item \emph{本附录给出} 误指定 Barankin 界（检验点法，定门限阈值）与 Ziv--Zakai 界（贝叶斯，捕获模糊地板、含少用户情形的门限地板）。作为主线三档界之外的扩展，主线不依赖它们。
-  \item \emph{本附录局部符号} $\boldsymbol\eta_i$、$L_i$：检验点与其似然比；$P_{\min}$：二元检验最小错误概率；$D^2$：去相关度（白化均值分离）；$\mathcal V\{\cdot\}$：填谷算子。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
+  \item \emph{Barankin 型界} 在参考点和检验点施加无偏约束，给出确定参数的协方差下界。
+  \item \emph{Ziv--Zakai 界} 指定参数先验，通过二元检验错误率给出贝叶斯均方误差下界。
+  \item \emph{高斯闭式} 两个假设均为圆对称复高斯且具有相同的已知协方差；其他情形须重新计算似然比矩或检验错误率。
 \end{itemize}
 \end{mdquote}
 
-\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}--\appref{sec:timestampErrCrb} 的 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是\emph{局部}（小误差）界：它们刻画估计落入正确盆地后的方差，默认似然在真值（或伪真值）邻域内单峰。当信噪比降到门限以下、或参数空间存在模糊（如周期多帧的 Doppler 梳齿、或少用户下``位置--时间戳''混淆方向上的近简并）时，估计会跳到错误盆地、产生局部界无法预测的\emph{大误差}~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。主线界谱系收于 $\gls{crb}\preceq\gls{efim}\to\gls{mcrb}$ 三档；本附录的门限区两界是其外的\emph{扩展}——误指定 Barankin 把\appref{subsec:F5_mcrb} 的 \gls{mcrb} 延伸到门限，Ziv--Zakai 则从二元检验侧捕获模糊地板。少用户下的信息极限在主线已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化承载，门限以下的大误差另由失效区经验刻画；下述两界给出它们的解析对照，主线不依赖。
+\gls{crb} 由真值附近的导数构造，\gls{efim} 则是消去干扰参数后的信息矩阵，其逆才是相应的协方差下界。局部界的成立不要求整个似然单峰，但它可能无法紧密描述跳入远处模糊峰所造成的大误差~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。本附录先给出匹配模型的有限检验点界，再说明模型误指定时需要改变的条件。
 
-\subsection{误指定 Barankin 界与阈值}
+\subsection{有限检验点的 Barankin 型界}
 \label{subsec:J1_barankin}
 
-Barankin 界用\emph{检验点}捕获大误差。取参数空间中偏离参考点的 $q$ 个检验点 $\{\boldsymbol\eta_i\}_{i=1}^{q}$，定义似然比 $L_i(\mathbf y)=p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_i)/p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_{\mathrm r})$（$\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$ 为参考点），则任意无偏估计满足
+设 $\boldsymbol\eta$ 是实值参数向量，参考点为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$，检验点为 $\boldsymbol\eta_1,\ldots,\boldsymbol\eta_q$。密度在这些点有共同支撑，似然比二阶矩有限。定义
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:J_likelihood_ratio}
+  L_i(\mathbf y)=\frac{p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_i)}
+                       {p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_{\mathrm r})},
+  \qquad
+  \boldsymbol\Delta=
+  [\boldsymbol\eta_1-\boldsymbol\eta_{\mathrm r},\ldots,
+   \boldsymbol\eta_q-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}],
+  \qquad
+  [\mathbf M]_{ij}=\mathbb E_{\mathrm r}[L_iL_j].
+\end{equation}
+%
+若估计器在参考点及全部检验点无偏，则 $\mathbb E_{\mathrm r}[L_i]=1$，且
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:J_cross_moment}
+  \mathbb E_{\mathrm r}\!\left[
+    (\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta_{\mathrm r})(L_i-1)
+  \right]=\boldsymbol\eta_i-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}.
+\end{equation}
+%
+令 $\mathbf B_{\mathrm{test}}=\mathbf M-\mathbf1\mathbf1^\Tran$。当它正定时，对估计误差和中心化似然比的联合协方差取 Schur 补，得到
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:J_barankin}
-  \operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\eta})
-  \succeq
-  \boldsymbol\Delta\,
-  \big(\mathbf M-\mathbf 1\mathbf 1^\Tran\big)^{-1}
-  \boldsymbol\Delta^\Tran,
-  \qquad
-  \boldsymbol\Delta=[\boldsymbol\eta_1-\boldsymbol\eta_{\mathrm r},\ldots,\boldsymbol\eta_q-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}],
-  \quad
-  [\mathbf M]_{ij}=\mathbb E_{\boldsymbol\eta_{\mathrm r}}\{L_iL_j\},
+  \operatorname{Cov}_{\mathrm r}(\widehat{\boldsymbol\eta})
+    \succeq\boldsymbol\Delta\mathbf B_{\mathrm{test}}^{-1}
+                        \boldsymbol\Delta^\Tran .
 \end{equation}
 %
-其中 $\mathbf 1$ 为全一向量。检验点趋近 $\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$ 时 \eqref{eq:J_barankin} 退回 \gls{crb}；远检验点则捕获门限区——当某个远检验点 $\boldsymbol\eta_{i^\star}$（对应一个\emph{模糊}的参数值，如错误的延时--Doppler 网格点或几何近简并位置）的似然比二阶矩 $\mathbb E\{L_{i^\star}^2\}$ 仍可观时，\eqref{eq:J_barankin} 较 \gls{crb} 显著抬升，预示该模糊方向上的大误差。
+有限检验点给出 Barankin 型下界；沿任一标量方向对所有有限检验点集合取上确界，才得到该方向的 Barankin 界。若 $\mathbf B_{\mathrm{test}}$ 奇异，须检查无偏约束是否相容，再在其有效子空间使用广义逆。例如，两个不同目标参数具有完全相同的分布时，不存在同时在两点无偏的估计器。正则条件下，令检验点沿完整的局部参数方向趋近参考点，可恢复相应的 \gls{crb}。
 
-\emph{阈值}即由此定出：圆对称复高斯下 $\mathbb E\{L_iL_j\}=\exp\!\big\{\tfrac{1}{2}(\boldsymbol\mu_i-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})^\Herm\mathbf R^{-1}(\boldsymbol\mu_j-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})\big\}$ 之类的均值相关项（$\boldsymbol\mu_i$ 为检验点处的均值）；门限信噪比是``主导模糊检验点的去相关度 $\|\boldsymbol\mu_{i^\star}-\boldsymbol\mu_{\mathrm r}\|^2_{\mathbf R^{-1}}$ 降到 $O(1)$''之处——高于它各模糊点被压住、界贴 \gls{crb}，低于它模糊点竞争、界跳起。
+\paragraph{复高斯似然比的二阶矩}
+设 $\mathbf y\sim\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_{\mathrm r},\mathbf R)$，$\mathbf R\succ0$ 在所有检验点相同，记 $\mathbf d_i=\boldsymbol\mu_i-\boldsymbol\mu_{\mathrm r}$。展开二次型可得
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:J_gaussian_moment}
+  \begin{aligned}
+  \log L_i
+    &=2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}
+               (\mathbf y-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})\}
+       -\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_i,\\
+  [\mathbf M]_{ij}
+    &=\exp\!\left(2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_j\}\right).
+  \end{aligned}
+\end{equation}
+%
+第二行利用了实高斯变量的矩母函数：第一行随机项的交叉协方差为 $2\Re\{\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_j\}$。所得 $\mathbf M$ 为实对称矩阵。单个检验点时，分母为 $\exp(2D_i^2)-1$，其中 $D_i^2=\mathbf d_i^\Herm\mathbf R^{-1}\mathbf d_i$；远处参数若仍具有较小的白化均值距离，就会给出较强的大误差约束。具体门限需结合检验点优化及所采用的估计器分析，不能仅由 $D_i^2$ 的数量级确定。
 
-把上述\emph{误指定}化（承\appref{subsec:F5_mcrb}）：数据由真模型（含 $\boldsymbol\delta^\star$）生成，而似然比 $L_i$ 取\emph{假设同步}（$\delta=0$）模型、参考点取伪真值 $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。于是 \gls{mcrb} 是其检验点趋近 $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 的局部极限，而误指定 Barankin 在此之上预测门限以下的大误差——\gls{mml} 估计器不仅有\appref{subsec:F5_mcrb} 的偏置，门限以下还叠加模糊跳变。
+\paragraph{模型误指定的适用边界}
+误指定模型的性能界还需规定真实分布、假设分布及估计器的无偏性或矩约束~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。若数据服从真实密度，却把 \eqref{eq:J_likelihood_ratio} 中的两项换成假设同步模型，则一般既没有 $\mathbb E_{\mathrm r}[L_i]=1$，也没有 \eqref{eq:J_cross_moment}。因此，不能通过这一替换把 \eqref{eq:J_barankin} 直接改成误指定界，也不能据此宣称其局部极限就是 \gls{mcrb}。这里的有限点公式用于匹配模型；忽略时间戳的局部失配分析仍使用\appref{subsec:F5_mcrb} 中明确给定的真实与假设模型。
+% TODO: 在给定估计器矩约束后，推导含时间戳真实模型与假设同步模型之间的误指定有限检验点界。
 
-\subsection{Ziv--Zakai 界与模糊地板}
+\subsection{Ziv--Zakai 界与二元检验}
 \label{subsec:J2_zzb}
 
-Ziv--Zakai 界（ZZB，Bellini--Tartara 扩展形式）把估计误差与一族\emph{二元假设检验}的错误概率联系起来，从而内禀地捕获模糊。对位置的任一标量投影 $a=\mathbf c^\Tran\mathbf p$，
+取实值标量目标 $a$，先验密度为 $\pi(a)$，观测条件密度为 $p(\mathbf y\mid a)$。如果 $a=\mathbf c^\Tran\mathbf p$ 是位置投影，$p(\mathbf y\mid a)$ 应按给定条件先验对其余位置分量与干扰参数积分；若把它们固定为已知量，则得到的是条件子模型。标量 Ziv--Zakai 界可写为~\cite{tsangZivZakai2023}
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:J_zzb}
-  \mathbb E\big[(\widehat a-a)^2\big]
-  \ge
-  \frac{1}{2}\int_0^\infty h\,
-  \mathcal V\!\Big\{
-    \int \big[w(\mathbf p)+w(\mathbf p+h\,\mathbf c)\big]\,
-    P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p+h\,\mathbf c)\,\diff\mathbf p
-  \Big\}\,\diff h,
+  \begin{aligned}
+  \mathbb E[(\widehat a-a)^2]
+    &\geq\frac12\int_0^\infty h\,\mathcal V\{g\}(h)\,\diff h,\\
+  g(h)&=\int_{\mathbb R}[\pi(a)+\pi(a+h)]P_{\min}(a,a+h)\,\diff a,\\
+  \mathcal V\{g\}(h)&=\sup_{u\geq h}g(u).
+  \end{aligned}
 \end{equation}
 %
-其中 $w(\cdot)$ 为位置先验，$\mathcal V\{\cdot\}$ 是\emph{填谷}（valley-filling）算子（取非增上包络，处理模糊旁瓣），$P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p')$ 为等先验二元检验 $\mathrm H_0\!:\mathbf p$ 与 $\mathrm H_1\!:\mathbf p'$ 的最小错误概率。圆对称复高斯下
+这里的二元检验先验为 $\rho_0=\dfrac{\pi(a)}{\pi(a)+\pi(a+h)}$ 与 $\rho_1=\dfrac{\pi(a+h)}{\pi(a)+\pi(a+h)}$；权重和为零的点对积分贡献为零。$P_{\min}$ 使用这些先验，而非一律使用等先验。填谷算子取非增上包络，利用误差尾概率的单调性加强下界。
+
+其依据是恒等式 $\mathbb E[(\widehat a-a)^2]=\dfrac12\int_0^\infty h\,\Pr(|\widehat a-a|\geq h/2)\,\diff h$。用估计值与两个假设的中点比较可构造二元判决；它的错误概率不小于最优二元检验错误概率。对点对积分便得到尾概率的下界 $g(h)$，再利用单调性得到 \eqref{eq:J_zzb}。
+
+\paragraph{等协方差复高斯检验}
+当两个条件分布为 $\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_0,\mathbf R)$ 与 $\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu_1,\mathbf R)$ 时，令
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:J_distance}
+  D^2=(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_0)^\Herm
+       \mathbf R^{-1}(\boldsymbol\mu_1-\boldsymbol\mu_0).
+\end{equation}
+%
+在两个假设下，对数似然比分别服从均值为 $-D^2$、$D^2$，方差同为 $2D^2$ 的实高斯分布。以 $\log(\rho_0/\rho_1)$ 为判决阈值，得到
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:J_pmin}
-  P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p')
-  =Q\!\Big(\tfrac{1}{2}\sqrt{D^2(\mathbf p,\mathbf p')}\Big),
-  \qquad
-  D^2(\mathbf p,\mathbf p')
-  =\big\|\boldsymbol\mu(\mathbf p')-\boldsymbol\mu(\mathbf p)\big\|^2_{\mathbf R^{-1}}
-  =\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}\big\|\boldsymbol\mu_\ell(\mathbf p')-\boldsymbol\mu_\ell(\mathbf p)\big\|_2^2,
+  \begin{aligned}
+  P_{\min}
+    &=\rho_0 Q\!\left(\frac{D^2+\log(\rho_0/\rho_1)}{\sqrt{2D^2}}\right)
+      +\rho_1 Q\!\left(\frac{D^2-\log(\rho_0/\rho_1)}{\sqrt{2D^2}}\right),\\
+  P_{\min}\big|_{\rho_0=\rho_1=1/2}
+    &=Q\!\left(\sqrt{D^2/2}\right).
+  \end{aligned}
 \end{equation}
 %
-即\emph{去相关度}（白化均值分离），跨星可加（与 C6 的信息可加同源）。两端行为清晰：
-\begin{itemize}
-  \item \textbf{高信噪比}：对 $h\neq 0$ 有 $D^2$ 大、$P_{\min}$ 迅速衰减，\eqref{eq:J_zzb} 退回投影 \gls{crb}；
-  \item \textbf{门限区 / 模糊}：若存在位移 $h^\star\mathbf c$ 使两位置的均值近乎不可分（$\boldsymbol\mu(\mathbf p+h^\star\mathbf c)\approx\boldsymbol\mu(\mathbf p)$，即模糊方向），则该处 $D^2$ 不随信噪比增长、$P_{\min}\!\to\!\tfrac12$，填谷后在 \eqref{eq:J_zzb} 留下一个 $\sim (h^\star)^2$ 量级的\emph{地板}，\gls{crb} 无法预测。
-\end{itemize}
+其中 $Q$ 为标准正态右尾函数。$D=0$ 时，直接取 $P_{\min}=\min(\rho_0,\rho_1)$。对干扰参数积分后，条件密度通常成为混合分布，此时 \eqref{eq:J_pmin} 的高斯闭式不再直接适用。
 
-\paragraph{少用户的基本极限}
-在含时间戳的位置模型里，最危险的模糊方向正是\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound} 的``位置--时间戳同轴''方向：位移 $\Delta\mathbf p$ 配上一组星钟偏移 $\Delta\boldsymbol\delta$ 可使各星到达时间几乎不变。其去相关度按 \eqref{eq:J_pmin} 是\emph{对用户求和}的——每个用户在该方向贡献一份均值分离，而共享的 $\delta_\ell$ 须同时解释该星上\emph{所有}用户。于是用户数 $K$ 越大，混淆方向上的 $D^2$ 越大、$P_{\min}$ 越早衰减、ZZB 地板越低；反之当 $K$ 太小（典型 $K\le 3$），共享 $\delta_\ell$ 与位置的混淆\emph{欠定}（承\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}：单用户被吃光、双用户仅部分救回），$D^2$ 在该方向始终偏小、$P_{\min}\!\approx\!\tfrac12$，ZZB 地板不随信噪比下降——这是\emph{几何/可辨识层面的基本极限}，非估计器之过，无论何种估计器都受其约束。多用户超定（$K$ 足够大）把混淆方向的 $D^2$ 抬起，才使地板随信噪比下沉。
+\paragraph{近似模糊与误差地板}
+在独立星噪声模型下，$D^2=\sum_\ell\|\boldsymbol\mu_{1,\ell}-\boldsymbol\mu_{0,\ell}\|_2^2/\sigma_\ell$，因此白化距离跨星可加。若两组固定参数的均值差非零，降低噪声方差会使 $D^2$ 增大，检验错误率趋于零；很小的均值差可推迟门限转折，却不必产生高信噪比地板。若不同参数有相同均值，则该点对始终不可区分；要使贝叶斯均方误差保持非零地板，还需这种模糊对先验积分具有非零贡献。
 
-\medskip
+多用户均值是各用户信号之和，其差的平方范数一般含用户间交叉项。只有相应差向量正交时，白化距离才可再按用户相加。增加用户既提供观测结构，也引入未知参数，其效果应结合\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound} 的投影秩判据与有限距离检验判断，不存在仅由用户数决定的统一门限或地板结论。
 
-\gls{crb}/\gls{efim}（局部、信息级）给可达精度的标尺，\gls{mcrb}（\appref{subsec:F5_mcrb}）给忽略时间戳的失配代价，三者构成主线界谱系。本附录的误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai 界作为其外的扩展，给门限以下的大误差与模糊地板；少用户下的信息极限在主线已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化惩罚承载，这里的门限地板是同一现象在门限区的另一种呈现，主线不依赖。
+局部满秩与全局唯一性是两个不同条件：前者支持有限的局部协方差界，后者还要求排除搜索域内的远距离模糊。Barankin 型界和 Ziv--Zakai 界分别在无偏约束与先验平均的框架下补充这一分析。

parts/preface.tex

@@ -4,17 +4,17 @@
 这是一份学习笔记，用以记录将``用通信信号估计 \gls{doa} 与 Doppler''这一问题逐步厘清的过程。
 它不以论文式的紧凑为目标，而力求推导链条的连贯，使读者——也包括日后重读的作者本人——能够逐步跟随、自行复现。
 
-正文按一条由简到繁的递进路径组织，每节只沿一个维度推进问题，其他维度保持最简形态。
-起点是多快拍场景下的单阵列确定信号 \gls{doa} 估计；之后依次引入 Doppler、多星几何、多用户、星间时间戳误差，再转入多帧连续相位结构，最后以从全局方向到用户三维位置的输出参数化作为收尾。
-每节开头有一段过渡，说明上一节的什么限制被解除、本节新增什么结构。
-正文只写到集中似然的最终形式与 \gls{efim} 的 Schur 补表达式，详细矩阵代入与逐步化简集中在附录，使正文每节的推导密度保持一致。
+正文先建立单阵列与单用户多星模型，再分别讨论多用户、多帧、有限距离位置和时间戳误差。各节以相应的基础模型为起点，说明沿用的假设与新增的参数。
+第~\ref{sec:det_doa_est}~节从未知确定信号的多快拍 \gls{doa} 估计出发；第~\ref{sec:det_doa_doppler_est}~节采用已知导频与未知复增益，建立可辨识的 Doppler 时间结构；第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节限定单用户，引入多星公共方向与参考链路 Doppler，作为后续方向模型的基础。
+第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节在该基础上增加用户数，第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节则回到单用户，延长观测窗口并引入 Doppler rate 与跨帧相位结构。第~\ref{sec:userPositioning}~节采用有限距离的逐星视线，先讨论位置诱导的角度与 Doppler，再加入传播时延；第~\ref{sec:timestampError}~节分别在多用户方向模型和含时延的位置模型中分析时间戳误差。这些扩展各有明确的基线，不要求后一节叠加前面所有参数。
+正文给出信号模型、集中似然及主要信息结论，矩阵展开和详细 \gls{crb} 推导集中在对应附录。
 
 符号采取``跟随问题引入''的策略：每个符号在它第一次出现的那一节首次定义，定义紧贴使用场景，而不在阅读流之前堆叠完整符号表。
 若需要查找某个符号在全文范围内的定义、维度与所属参数组，请直接翻到\textbf{\appref{sec:assumptionsAndNotation} 完整符号索引}，它按主题分表整理了 \gls{doa} 与几何、Doppler 与相位、\gls{fim}/\gls{crb}、时间戳误差、波束成形接口等所有符号。
 \appref{sec:assumptionsAndNotation} 同时记录了若干尚未在正文展开但已在符号体系中预留命名空间的对象（如波束成形向量 $\mathbf{w}_{\ell,k}$、信道矩阵 $\mathbf{H}_\ell$ 等），它们为后续章节扩展留出接口。
 
-附录的组织依据是``是否共享同一推导框架''。
-\appref{sec:background}、\appref{sec:doa_methods} 收纳数学基础与经典 \gls{doa} 方法；\appref{sec:singleArrayCrb} 把单阵列三种 \gls{crb}（确定信号 \gls{doa}、确定信号 \gls{doa}--Doppler、随机信号 \gls{doa}）合并整理，便于对比；\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 处理多星静态模型（单用户与多用户）；\appref{sec:timestampErrCrb} 是新增的时间戳误差 \gls{fim} 分析；\appref{sec:multiFrameCrb} 处理多帧动态模型的连续相位与独立相位 \gls{crb} 对比；\appref{sec:userPositionCrb} 给出用户三维位置的 \gls{crb}，复用多星静态框架的 Jacobian 与 Schur 补。
-正文遇到``详细推导见附录~X''时，可循此跳读。
+附录按基础工具、模型推导和专题扩展组织。
+\appref{sec:background} 与\appref{sec:doa_methods} 分别整理数学基础和经典 \gls{doa} 方法。\appref{sec:singleArrayCrb} 对应单阵列模型，\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 对应单用户与多用户的多星静态模型，\appref{sec:multiFrameCrb} 对应多帧连续相位与独立相位模型。\appref{sec:userPositionCrb} 给出位置 \gls{crb}，并讨论已知高度下的经纬度参数化及其与公共方向模型的关系；\appref{sec:timestampErrCrb} 分析时间戳误差。
+\appref{sec:dictSeparationAmp} 介绍字典化多用户分离，\appref{sec:thresholdBounds} 讨论门限区界，作为估计方法与性能分析的专题扩展。阅读正文时，可按交叉引用查阅相应推导。
 
 后续方向上，波束成形与安全通信的鲁棒设计是这份笔记的自然延伸（参见\appref{sec:assumptionsAndNotation} 末尾预留的接口符号），但本版本不展开波束成形相关章节，仅在符号层面与正文估计侧保持接口一致。

parts/sec1_singleArrayDoa.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 \label{sec:det_doa_est}
 
 本节是整份笔记的实质起点。
-这里直接从多快拍场景出发：单快拍（$T=1$）下确定信号 \gls{mle} 退化为平凡情形——待估的信源快拍与观测等量，似然总能被无残差地拟合、来向无从分辨；同时也不足以支撑后续各节反复使用的子空间投影、集中似然与干扰参数消元等工具。多快拍因而是这些工具得以成立的最小场景。设 $K$ 个信源从远场入射到 $M$ 元阵列，在 $T$ 个快拍内连续观测，目标是估计来向 $\bm\Theta$。
+设 $K$ 个信源从远场入射到 $M$ 元阵列，在 $T$ 个快拍内连续观测，目标是估计来向 $\bm\Theta$。采用多快拍形式，便于统一描述重复观测及其信息积累。后续的投影消元与集中似然也适用于 $T=1$；单快拍能否辨识来向取决于阵列结构、信源数及参数范围。例如，单信源的阵元间相位差已包含方向信息，不能仅凭快拍数判定来向不可辨识。
 本节先建立信号模型与对数似然函数，再以集中似然消去信号快拍与噪声方差后得到的 \gls{cdml} 准则收尾；详细矩阵代入与 \gls{crb} 推导见\appref{sec:det_doa_crb}。
 
 \subsection{信号模型}
@@ -187,5 +187,5 @@ $\mathcal P_{\mathbf A}$ 是导向矩阵列空间的正交投影算子，用于
 \label{subsec:sml_contrast}
 
 经典文献中另一条主线是随机信号模型，即把 $\mathbf x_t$ 视为零均值复高斯过程 $\mathbf x_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_x)$。此时观测协方差为 $\mathbf R(\bm\Theta)=\mathbf A(\bm\Theta)\mathbf R_x\mathbf A^\Herm(\bm\Theta)+\sigma\mathbf I_M$，\gls{sml} 似然只通过 $\mathbf R(\bm\Theta)$ 依赖参数，从而只能识别信号子空间而非信号波形。
-正因只保留二阶统计量，一旦引入 Doppler，其时间相位 $e^{j\nu_k t}$ 会在对随机波形求统计平均时被一并抹去，无法在协方差 $\mathbf R(\bm\Theta)$ 中留下可分辨的印记，\gls{doa} 与 Doppler 由此耦合而不可分。这正是本笔记后续主线选择确定信号假设（已知训练序列/导频）的根本原因。
+Doppler 能否辨识取决于波形的时间结构。对于时间独立、用户间不相关的圆对称高斯信号，逐用户的 Doppler 相位不改变其分布，单时刻协方差不能识别 Doppler；具有已知时间相关结构的随机信号则需另行分析。后续采用已知导频乘以未知复增益，使 Doppler 的时间相位与未知波形明确区分。
 随机信号 \gls{doa} 估计与其 \gls{crb} 仅作为对照保留在\appref{sec:sto_doa_crb} 中供查阅，不再进入第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节及之后的主线。

parts/sec2_singleArrayDoaDoppler.tex

@@ -1,8 +1,8 @@
 \section{加入 Doppler——单阵列确定信号 DoA--Doppler 估计\texorpdfstring{~\cite{waxSpatioTemporalSpectralAnalysis1984}}{}}
 \label{sec:det_doa_doppler_est}
 
-第~\ref{sec:det_doa_est} 节假设信源在观测窗口内时间相位被吸收进未知信号波形 $\mathbf X$。当信源带有 Doppler 时，时间相位变为 $e^{j\nu_k t}$，不能再被任意未知波形吸收，否则 $\nu_k$ 不可辨识、\gls{crb} 奇异。
-本节沿一个新维度推进问题——\emph{时间相位结构}——其余维度保持最简：仍是单阵列、单观测块、信源已知导频 $s_k(t)$。引入归一化角 Doppler $\nu_k$ 与未知复增益 $\zeta_k$，并由此得到空时导向向量 $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构。
+第~\ref{sec:det_doa_est}~节把各快拍的信源波形作为未知量。在该模型中，Doppler 相位可被未知波形吸收，因而不能单独辨识。为估计 Doppler，本节将波形限定为已知导频与未知复增益的乘积，使随时间变化的相位具有可辨识的结构。
+阵列和观测窗口的设置保持不变，仍允许 $K$ 个信源。每个信源增加归一化角 Doppler $\nu_k$，并以复增益 $\zeta_k$ 表示未知幅相，由此得到空时导向向量 $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构。
 详细 \gls{crb} 推导见\appref{sec:det_doa_doppler_crb}。
 
 \subsection{信号模型}
@@ -127,4 +127,4 @@ $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\b
   \tilde{\mathbf y}.
 \end{equation}
 
-由此可见，Doppler 不是简单附加在 \gls{doa} 估计之后的独立标量，而是通过时间模板 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 与空间导向矢量 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 共同构成空时子空间。这种耦合既是 \gls{doa}--Doppler 联合估计带来增益的来源，也是单独估计任一参数会造成信息损失的原因。
+时间模板 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 与空间导向矢量 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 共同构成空时子空间，因此联合似然可同时估计方向与 Doppler。两类参数是否存在有效信息耦合，要在消去复增益后判断；在单用户可分离模型中，两类有效导数可以正交。多星几何使链路 Doppler 随全局方向变化时，时间观测还可提供额外的方向信息。

parts/sec3_multiSatSingleUser.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \section{多星协作——单用户全局参数化}
 \label{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}
 
-第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的根本限制在于：单阵列只有单一孔径，\gls{doa} 估计精度的尺度由该孔径决定（孔径越大、\gls{doa} 的 \gls{crb} 越低；超分辨算法可突破经典瑞利分辨极限，但其精度仍受该 \gls{crb} 约束），单链路 Doppler 只提供一个标量约束。
+第~\ref{sec:det_doa_doppler_est}~节讨论单阵列的已知导频观测。本节限定单用户，将接收端扩展为多颗卫星，研究不同阵列姿态与卫星速度提供的联合信息。仍采用单观测块，各星复增益独立未知，采样时间基对齐。
 当 $L$ 颗卫星从不同轨道位置同时观测同一用户时，几何多样性给出了新的信息维度。以 $\ell$ 索引卫星/链路，同一用户信号在第 $\ell$ 条链路上的 Doppler 记为 $\nu_\ell$（不同于第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节按信源索引、各自独立的 $\nu_k$）。但若把这 $L$ 个 $\nu_\ell$ 都视为独立参数，主参数维度会从 $2$ 膨胀到 $2+L$，无谓地放大搜索空间。
 本节的关键观察是：这 $L$ 个链路 Doppler 受卫星轨道几何约束（\gls{leo} 链路的 Doppler 由轨道相对运动决定，参见~\cite{aliDopplerCharacterizationLEO1998}），并\emph{不}独立——一旦给定全局方向 $\boldsymbol\xi$ 和任意一条参考链路上的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，其余链路的 $\nu_\ell$ 由已知几何唯一诱导。
 \emph{参考星参数化}正是利用这一约束把主参数维度压回 $3$ 维的工具。下面先建立全局/局部几何映射与参考星参数化（第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\ref{subsec:refSatParameterization} 小节），再给出多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合似然与集中似然准则；详细 \gls{crb} 与 \gls{fim} 推导见\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。本节限定单用户（$K=1$）作为多星静态基线，多用户（$K\ge1$）推广见第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节。
@@ -32,6 +32,8 @@
 %
 其中 $\alpha$ 为全局方位角，$\beta$ 为全局俯仰角；多用户场景下可写为 $\boldsymbol\xi_k$，本节单用户主线中省略下标。
 
+本节及其多帧扩展以参考时刻的 \gls{eci} 系作为全局系，$\mathbf u$ 指向波的传播方向（源到接收端）。角度顺序为 $(\alpha,\beta)$，解析导数均按弧度计算；$\alpha$ 按 $2\pi$ 周期识别，$\beta\in[-\pi/2,\pi/2]$。在极点处方位角坐标退化，应改用局部切平面描述方向扰动。
+
 设第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的位置与速度分别为 $\mathbf s_\ell$ 和 $\mathbf v_\ell$。其本地阵列坐标基为
 %
 \begin{equation}
@@ -88,6 +90,8 @@
 %
 其中 $\mathbf a_\ell(\cdot)$ 的具体形式按第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的 \gls{ula}/\gls{upa} 模板代入即可。后续静态与多帧模型均统一使用该记号；$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 始终只表示\emph{阵列导向矢量}，不再用于轨道动力学中的加速度量。
 
+这里的共享全局方向是远场窄带近似：信源到星座的距离应显著大于星间基线，且在一个观测块内方向、卫星姿态和轨道状态可视为冻结。因此，各卫星共享的是全局方向向量 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$，而不是共享同一组本地方位角与俯仰角；本地角度由各自的已知旋转 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 映射得到。上式用由位置和速度构造的轨道坐标基表示一种已知姿态选择；若实际阵列坐标系与该轨道基不重合，应将 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 换成已标定的 ``阵列本地系到全局系'' 旋转，后续 Jacobian 结构不变。有限距离或明显视差下不应强行使用共同 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$，而应采用第~\ref{sec:userPositioning} 节的位置参数化。
+
 \subsection{参考卫星参数化}
 \label{subsec:refSatParameterization}
 
@@ -108,6 +112,44 @@
 %
 其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍是同一个 $\boldsymbol\eta$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。
 
+在远场公共方向模型下，相对 Doppler 的几何含义可以显式写出。采用正时间指数载波约定，传播平面波在位置 $\mathbf r$、物理时刻 $t_{\mathrm{phys}}$ 的相位含 $2\pi f_{\mathrm c}t_{\mathrm{phys}}-(2\pi/\lambda_{\mathrm c})\mathbf r^\Tran\mathbf u$，其中 $f_{\mathrm c}$ 与 $\lambda_{\mathrm c}$ 分别为载频与波长。因此，第 $m$ 个阵元相对于阵列原点的本地位移 $\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}}$ 对应
+%
+\begin{equation}
+  [\mathbf a_\ell]_m
+  =\exp\left\{-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}
+    (\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran
+    \boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u\right\}.
+  \label{eq:sec3_propagation_steering}
+\end{equation}
+%
+这与第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的负指数阵列模板一致。接收端沿传播方向运动时，相位时间导数降低，故在基带 $e^{j2\pi f t_{\mathrm{phys}}}$ 约定下取 $\epsilon_D=-1$。保留 $\epsilon_D$ 作为符号约定记号，则第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的物理 FDOA 为
+%
+\begin{equation}
+  \Delta f_\ell(\boldsymbol\xi)
+  \triangleq
+  \frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+  \big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran
+  \mathbf u(\boldsymbol\xi),
+  \qquad
+  \Delta f_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)\equiv0,
+  \label{eq:sec3_fdoa_projection}
+\end{equation}
+%
+其中公共的用户速度投影以及参考链路的绝对 Doppler 已被相减或吸收到 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 中。换算到正文使用的 rad/sample 参数，
+%
+\begin{equation}
+  \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)
+  \triangleq
+  2\pi T_{\mathrm s}\Delta f_\ell(\boldsymbol\xi)
+  \;=\;
+  \frac{2\pi T_{\mathrm s}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+  \big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran
+  \mathbf u(\boldsymbol\xi).
+  \label{eq:sec3_dnu_projection}
+\end{equation}
+%
+因此，$\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 是已知相对速度在共享全局方向上的投影，而不是额外独立的 Doppler 参数。该映射要求相对星历和频率标定可用；若每条链路还含未标定的独立频率偏置，应将该偏置另列为干扰参数，不能继续把 $\Delta\nu_\ell$ 视为已知几何量。若使用反向视线 $\mathbf w=-\mathbf u$，则同一物理模型必须同时改写为空间正指数和相对 Doppler 的正号投影，不能只翻转一个符号。有限距离位置模型另有逐星视线定义，见第~\ref{sec:userPositioning} 节。
+
 给定 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 后，其余卫星的链路参数统一通过几何映射表示为
 %
 \begin{equation}
@@ -122,7 +164,7 @@
   \ell=0,1,\ldots,L-1,
 \end{equation}
 %
-其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 与 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知卫星位置、速度、姿态确定，且 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv\Delta\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。这一组几何映射正是把 $L$ 个原本 ``独立'' 的链路 Doppler 压回到一个标量 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的结构来源。
+其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由式~\eqref{eq:sec3_dnu_projection} 的相对速度投影给出；在动态模型中，$\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 还需由同一局部线性化下的相对加速度或等价星历导数给出。二者均满足 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv\Delta\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。这一组几何映射正是把 $L$ 个原本 ``独立'' 的链路 Doppler 压回到一个标量 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的结构来源。
 
 \subsection{静态多星信号模型}
 \label{subsec:staticBlockModel}
@@ -253,33 +295,5 @@
 
 上述两式是同一残差最小化的两面：由 $\mathcal E_\ell$ 的定义，残差能量与匹配能量之和恒为与主参数无关的总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$，因此 $\sigma_\ell$ 已知时``最小化残差''与``最大化加权匹配能量''等价，二者只差这一常数。两式的对数则源于\emph{星间异方差}：$\sigma_\ell$ 未知时须逐星轮廓化，得到各星残差能量的对数之和 $\sum_\ell M_\ell T\log\mathcal E_\ell$，无法再合并；而第~\ref{sec:det_doa_est}、\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节只有单一噪声方差，该对数因单调性可直接略去，故写成不带对数的残差最小化。
 
-\subsection{仿真结果说明}
-
-图~\ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。
-
-图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 给出了在存在 Doppler 的情况下，发送导频信号并采用上述 \gls{mle} 方法时，仅进行 \gls{doa} 估计与联合进行 \gls{doa}--Doppler 估计的二维地表坐标估计结果。结果表明，在经度和纬度两个维度上，\gls{doa}--Doppler 联合估计均优于仅 \gls{doa} 估计，但与 \gls{crb} 之间仍存在一定差距，这一差距可能与地面坐标到卫星局部角度的非线性映射有关。对于 Doppler 参数估计，其结果基本达到 \gls{crb}。
-
-图~\ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。
-
-\begin{figure}[!h]
-  \centering
-  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig/dualSatSingleSourceScene.bmp}
-  \caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：双星单源几何场景示意}
-  \label{fig:dualSatSingleSourceScene}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[!h]
-  \centering
-  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{fig/doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap.pdf}
-  \caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：ECI 坐标系下双星 UPA、单信源场景中，单独估计 \gls{doa} 与联合估计 \gls{doa}--Doppler 的 MSE 对比}
-  \label{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}[!h]
-  \centering
-  \includegraphics[width=0.85\textwidth]{fig/multiSatSingleSourceScene.bmp}
-  \caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：多星单源几何场景示意}
-  \label{fig:multiSatSingleSourceScene}
-\end{figure}
 
 本节完成了多星主线中的静态基线：同一个全局方向 $\boldsymbol\xi$ 同时决定各星局部导向矢量，而参考星 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 通过几何映射决定各星链路 Doppler。

parts/sec4_multiSatMultiUser.tex

@@ -1,8 +1,8 @@
 \section{多用户扩展}
 \label{sec:multiSatMultiUser}
 
-第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节假设单用户：所有 $L$ 颗卫星看到的来向与 Doppler 都由同一个 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 决定。本节沿\emph{参数空间}维度推进一步：把用户数从 $K=1$ 推广到一般 $K\ge1$，其余维度（单帧静态、各星完全相干、已知导频）保持最简。
-数学上这只是把每个用户的参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 独立堆叠；但物理上引入了第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节不存在的新问题——\emph{用户分离的可辨识性}。当两个用户的 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 在所有 $L$ 条链路上同时接近时，集中似然曲面会出现伪极值，这一退化结构也是后续数据驱动的干扰参数补偿方法的自然接入位置。本节用几何直觉指出这一现象，不展开严格证明；详细 \gls{crb} 与多用户 \gls{fim} 分块推导见\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。
+第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节假设单用户：所有 $L$ 颗卫星的方向与 Doppler 都由同一个 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 决定。本节将用户数从 $K=1$ 推广到一般 $K\ge1$，仍采用单帧静态模型和已知导频，各星采样时间基对齐、复增益独立未知。
+各用户信号在同一观测中叠加，参数之间因此产生耦合。本节先给出联合似然与复增益消元，再讨论匹配输出和用户分离的可辨识性。详细信息矩阵及其秩条件见\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。
 
 \subsection{多用户信号模型}
 \label{subsec:multiUserSignalModel}
@@ -180,12 +180,12 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
 %
 与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的单用户加权融合相比，差别在于每颗卫星的匹配子空间从一维 $\mathbf g_\ell$ 升级为 $K$ 维 $\mathbf G_\ell$ 列空间；多用户的耦合\emph{在每颗卫星内部}通过 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的非对角元体现。
 
-\subsection{逐星充分统计量与匹配滤波压缩}
+\subsection{逐星匹配输出与条件压缩}
 \label{subsec:perSatSufficientStat}
 
-集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 还隐含一个对分布式处理至关重要的结构：第 $\ell$ 颗卫星的原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell\in\mathbb C^{M_\ell T}$ 只通过它在 $\mathbf G_\ell$ 列空间上的投影进入目标函数，即只通过匹配输出 $\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell$ 与总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$ 进入。给定字典 $\mathbf G_\ell$（由主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 决定），二元组 $(\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell,\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2)$ 即该星似然贡献的充分统计量：高维采样可压缩到这一低维匹配统计量而不损失关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的信息。
+在每一个候选参数处，集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 可由匹配输出 $\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell$、候选 Gram 矩阵 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 和总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$ 计算。由于 $\mathbf G_\ell$ 随候选参数改变，某一个候选点的匹配输出只足以评估该点的目标函数。保留整个搜索域上的集中似然，需要相应的匹配函数及总能量；有限网格仅给出该函数的离散近似。
 
-当各用户空时导向向量趋于正交时，这一压缩可进一步\emph{逐用户}解耦。沿第 $k$ 个用户的时间模板 $\mathbf q_{\ell,k}$ 压缩时间维、保留空间维，得第 $(\ell,k)$ 对的空间匹配输出
+当各用户的时间模板已知时，可以沿时间维匹配并保留空间维。第 $(\ell,k)$ 对的空间匹配输出为
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:sec4_matched_channel}
@@ -195,7 +195,18 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
   \in\mathbb C^{M_\ell},
 \end{equation}
 %
-即上行等效信道向量 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$ 的匹配滤波估计，其均值为 $\mathbf h_{\ell,k}$。利用 $\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell=\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*=\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\,\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$，当 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 趋于对角时，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的每星投影项分解为各用户的独立贡献之和
+记上行等效信道为 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，则匹配输出的均值为
+%
+\begin{equation}
+  \mathbb E[\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}]
+  =\mathbf h_{\ell,k}
+   +\sum_{k'\ne k}\mathbf h_{\ell,k'}
+     \frac{\mathbf q_{\ell,k}^{\Herm}\mathbf q_{\ell,k'}}
+          {\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2}.
+  \label{eq:sec4_matched_channel_mean}
+\end{equation}
+%
+时间模板两两正交时，交叉项为零；仅有空间导向正交并不能消去这些交叉项。利用 $\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell=\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$，当空时 Gram 矩阵趋于对角时，投影能量可写为
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:sec4_decoupled}
@@ -207,11 +218,11 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
        {\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|_2^2},
 \end{equation}
 %
-即每个用户的贡献退化为对其空间匹配输出 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的本地 \gls{doa} 匹配。集合 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}_{k=1}^{K}$ 于是成为第 $\ell$ 颗卫星对各用户主参数的充分统计量：各星无须回传原始采样 $\tilde{\mathbf y}_\ell$，只回传 $M_\ell$ 维的逐用户复信道响应 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$，即足以在融合端重建本星贡献的角度信息。这是``逐星本地处理、只回传逐用户复响应''这一分布式接口的信息论依据。该逐用户解耦以码近正交（$\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 近对角）为前提；短导频下 $K$ 个码无法两两正交，残留的 \gls{mai} 在多用户 \gls{crb} 上留下一个任何估计器都无法消除的地板，其显式刻画见\appref{subsec:E3_maiCrb}。
+当时间模板已知且两两正交时，各用户的空间匹配输出可分别用于本地 \gls{doa} 估计。噪声方差已知时，这些输出保留关于空间信道的信息；噪声方差未知时，还需保留总能量以重建集中似然。时间模板非正交时，应保留模板 Gram 矩阵以及输出之间的相关性，按联合模型处理。多用户信息损失见\appref{subsec:E3_maiCrb}；可辨识模型中的信息损失不等于随信噪比提高仍不消失的误差地板。
 
-这一压缩有两点限定，决定了它在后续跨星融合中的可用边界：
+上述条件压缩的似然分解与非正交模板下的输出协方差见\appref{subsec:E_conditionalCompression}。用于后续跨星融合时，还需区分以下两点：
 \begin{enumerate}
-  \item \emph{充分性条件于时间模板已知}。$\mathbf q_{\ell,k}$ 依赖链路 Doppler $\nu_{\ell,k}$，故形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 前须先给定或本地估计 Doppler；真正无条件充分的是匹配输出在 Doppler（后续含时延）假设网格上的整张曲面，将其塌缩为单个 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 仅在观测块内 Doppler 近常数时近似无损。
+  \item \emph{已知模板与估计模板不同}。$\mathbf q_{\ell,k}$ 依赖未知 Doppler。用本地估计值代入后，$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的误差还包含模板估计误差；Doppler 在观测块内恒定并不能保证这种压缩无损。
   \item \emph{$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 不含匹配峰的位置}。它编码本星本地 \gls{doa}（$\mathbf a_\ell$ 的方向）与复增益（幅度与相位），但匹配峰在 Doppler（及后续时延）网格上的\emph{位置}是形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 时所匹配的模板取值，须作为独立标量另行保留。故仅由 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 可重建各星本地 \gls{doa} 与相位，而跨星测距、测速所需的时延差与 Doppler 差还需保留这些峰位标量。这一区分在第~\ref{sec:userPositioning}--\ref{sec:timestampError} 节引入传播时延后，成为跨星差分能否干净取出到达时间差的关键。
 \end{enumerate}
 
@@ -233,16 +244,16 @@ $\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsym
   \item 时间模板相干 $\dfrac{|\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}|}{\|\mathbf q_{\ell,k}\|\|\mathbf q_{\ell,k'}\|}$，由 Doppler 差 $\nu_{\ell,k}-\nu_{\ell,k'}$ 与导频互相关共同决定；
   \item 二者通过 Kronecker 积联立后的乘积形式。
 \end{enumerate}
-当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时，$\mathbf G_\ell$ 趋于秩亏，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的 Hessian 在 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})\leftrightarrow(\boldsymbol\xi_{k'},\nu_{\mathrm{ref},k'})$ 方向趋于奇异，集中似然曲面在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立、对应 \gls{crb} 发散），用户分离的可辨识性丧失。
+当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to1$ 时，模板矩阵趋于病态；在模板完全相同的极限，两个复增益无法分别辨识。方向与 Doppler 是否同时失去可辨识性，还取决于模板对这些参数的导数。
 
-多星几何对这一可辨识性提供了关键缓解：即便某颗卫星上 $\rho_{\ell,kk'}\approx 1$（例如两个用户在该星本地角域内的间隔小于一个波束宽度），只要存在另一颗卫星 $\ell'$ 使 $\rho_{\ell',kk'}$ 显著小于 1，多星联合的 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 块仍可保持非奇异。这是多星扩展相对单星多用户最直接的几何收益。
+局部可辨识性的判据是：先逐星消去复增益的导数子空间，再将白化后的主参数 Jacobian 堆叠并实化，其秩应为 $3K$，见 \eqref{eq:E2_identifiability_rank}。不同卫星提供的导数信息可以互补，因此某一颗卫星上的分离困难不必导致整体不可辨识。
 
-严格可辨识性可写成对所有用户对 $(k,k')$ 的多星联合分离条件，其与 \gls{efim} 非奇异性的等价关系由\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 中多用户 \gls{fim} 分块给出。本节只用上述几何直觉刻画用户分离失效的结构来源，为后续数据驱动的干扰参数补偿方法留出接口；具体方法、输入输出与训练设置不在本笔记范围内。
+模板相干度可用于描述分离难度，最终的局部可辨识性仍按上述秩条件判断。各星复增益独立未知，不能用 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的可逆性代替这一检查。
 
 \subsection{分离的低复杂度路径：字典化与稀疏恢复}
 \label{subsec:dictSparseSeparation}
 
 \eqref{eq:sec4_concentrated} 的联合分离对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影，每次目标评估含 $K\times K$ 矩阵求逆、复杂度 $O(K^3)$，并需对连续的延时--Doppler--角度参数良好初始化。一条等价的低复杂度路径是把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离改写为对一个\emph{已知}字典的\emph{行稀疏}恢复 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$：字典原子为各用户码在各网格点的时间模板，活跃用户对应少数非零行，行值即其空间信道 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$、行所在网格点即 $(\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k})$，与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户输出一致。该行稀疏问题可由近似消息传递（AMP）或稀疏贝叶斯学习（SBL）以每星每迭代近线性于问题规模的代价求解，替代联合最大似然的 $O(K^3)$，离格误差以粗网格定位加局部细化补偿。字典构造、AMP/SBL 不动点迭代与去噪算子的完整推导见\appref{sec:dictSeparationAmp}。
 
-本节完成了多用户主线静态基线：用户索引 $k$ 进入 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$、$\zeta_{\ell,k}$、$s_k(t)$，集中似然仍可写为对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影的加权和，但矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的良态性约束了用户分离的可辨识性。
-下一节将沿\emph{观测窗口}维度推进，把单帧推广为多帧观测窗口，引入跨帧绝对相位连续性。
+本节在单帧公共方向模型中引入多个用户。集中似然由各星模板列空间的投影构成，局部可辨识性由消去复增益后的联合 Jacobian 决定。
+下一节从第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节的单用户基线出发，讨论多帧观测与跨帧相位关系。

parts/sec5_multiFrameCp.tex

@@ -1,10 +1,10 @@
 \section{多帧动态模型与连续相位结构}
 \label{sec:dynamicDoaDopplerEst}
 
-前面四节都在单帧（静态）框架内沿不同维度推进问题。另一个独立的维度扩展是将单观测块推广为\emph{多帧观测窗口}，由此带来跨帧绝对相位连续性这一新信息。
-本节在第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节单用户多星静态模型的基础上引入多帧索引、Doppler rate 与跨帧连续相位结构，但\emph{不}叠加第~\ref{sec:multiSatMultiUser}、\ref{sec:timestampError} 节的多用户与时间戳误差扩展，以保持 ``一节一维度'' 的推进风格。
+前面的模型采用单观测块。延长观测窗口后，需要描述 Doppler 随时间的变化，并明确不同帧之间的相位关系。
+本节以第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节的单用户多星模型为基础，增加帧索引与 Doppler rate。各星共享的空间方向和阵列姿态在短窗口内冻结，采样时间基保持对齐；多用户和时间戳误差分别在第~\ref{sec:multiSatMultiUser}、\ref{sec:timestampError}~节讨论。
 主估计目标仍为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$（与静态主线式~\eqref{eq:eta_main} 相同），而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。
-本节以\gls{cp} 作为多帧主模型，并以\gls{ip} 作为放弃跨帧绝对相位约束的确定信号基线进行对照——二者不是并列的两套物理模型，而是``主模型''与``放弃跨帧绝对相位约束的基线''的关系——以此量化跨帧相位连续性携带的信息量；详细 \gls{fim}/\gls{crb} 推导见\appref{sec:multiFrameCrb}。
+本节以 \gls{cp} 描述同星跨帧相位连续的情形，并以各帧相位独立未知的 \gls{ip} 模型作对照，分析相位连续性提供的信息。详细 \gls{fim}/\gls{crb} 推导见\appref{sec:multiFrameCrb}。
 
 \subsection{时间索引与参考星 Doppler rate}
 
@@ -24,10 +24,112 @@
 %
 由已知几何唯一诱导，沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化。
 
+物理参考时刻 $t_{\mathrm{ref}}$ 取首帧首采样点，物理时间为 $t_{\mathrm{phys}}=t_{\mathrm{ref}}+T_{\mathrm s}t_{p,t}$；姿态在该时刻冻结。Doppler 的 affine（仿射）时间模型由截距 $f_\ell$（Hz）与斜率 $\dot f_\ell$（Hz/s）确定，系数可由参考时刻的 Taylor 展开或整个窗口的拟合构造。两种构造均采用归一化关系
+%
+\begin{equation}
+  \nu_\ell=2\pi T_{\mathrm s}f_\ell,
+  \qquad
+  \dot\nu_\ell=2\pi T_{\mathrm s}^{2}\dot f_\ell.
+  \label{eq:sec5_physical_normalized_rates}
+\end{equation}
+%
+这里 $\dot\nu_\ell$ 是相对于采样点索引的 Doppler rate。令 $\Delta\mathbf v_\ell=\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}$、$\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}=\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}-\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}^{\mathrm{orb}}$，其中 $\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}$ 为轨道加速度向量。对相对速度投影按物理时间求导，有
+%
+\begin{equation}
+  \frac{\mathrm d}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}\Delta f_\ell
+  =\frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+  \left[
+    (\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran\mathbf u
+    +\Delta\mathbf v_\ell^\Tran
+      \frac{\mathrm d\mathbf u}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}
+  \right].
+  \label{eq:sec5_relative_rate_general}
+\end{equation}
+%
+固定全局方向时，$\mathrm d\mathbf u/\mathrm d t_{\mathrm{phys}}=\mathbf0$；在参考时刻取瞬时速度和加速度构造 Taylor 系数，得到
+%
+\begin{equation}
+  \Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)
+  =\frac{2\pi T_{\mathrm s}^{2}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
+  (\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi),
+  \qquad \epsilon_D=-1.
+  \label{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction}
+\end{equation}
+%
+若实际方向随时间变化，被省略的项须另行评估；空间导向变化可忽略本身并不保证该项的相位贡献可忽略。其在局部二次相位中的误差量级为
+%
+\begin{equation}
+  \frac{\pi}{\lambda_{\mathrm c}}
+  \max_\ell\left|
+    \Delta\mathbf v_\ell^\Tran
+    \frac{\mathrm d\mathbf u}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}
+  \right|
+  \left(T_{\mathrm s}\max_{p,t}|t_{p,t}|\right)^2.
+  \label{eq:sec5_direction_rate_phase_error}
+\end{equation}
+%
+采用固定方向近似时，应使 \eqref{eq:sec5_direction_rate_phase_error} 远小于 $1$ rad；各导数量在参考时刻评估，该局部条件与后述高阶时间截断条件分别检查。
+
+\paragraph{窗口拟合的 affine 系数}
+另一种构造利用各帧时刻的已知速度，在固定公共方向下拟合整个窗口。令 $s_p=T_{\mathrm s}\tau_p$ 为相对于 $t_{\mathrm{ref}}$ 的物理秒数，$\mathbf X$ 的第 $p$ 行为 $[1,s_p]$，$\mathbf V_\ell$ 的第 $p$ 行为 $[\mathbf v_\ell(t_{\mathrm{ref}}+s_p)-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}(t_{\mathrm{ref}}+s_p)]^\Tran$。对完整、有限的帧序列采用无权最小二乘，要求至少两个不同的拟合时刻。相对系数及总系数为
+%
+\begin{equation}
+  \begin{aligned}
+    \mathbf c_\ell(\boldsymbol\xi)
+    &\triangleq\begin{bmatrix}\Delta f_\ell\\\Delta\dot f_\ell\end{bmatrix}
+    =\frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}\mathbf X^\dagger\mathbf V_\ell\mathbf u(\boldsymbol\xi),\\
+    \begin{bmatrix}f_\ell\\\dot f_\ell\end{bmatrix}
+    &=\begin{bmatrix}f_{\mathrm{ref}}\\\dot f_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}+\mathbf c_\ell(\boldsymbol\xi),
+    \qquad \epsilon_D=-1.
+  \end{aligned}
+  \label{eq:sec5_affine_window_coefficients}
+\end{equation}
+%
+参考星的 $\mathbf V_{\ell_{\mathrm{ref}}}=\mathbf0$，故相对截距与斜率均为零。拟合截距表示直线在参考时刻的值，斜率表示窗口内的等效 rate；轨道 Doppler 存在曲率时，它们一般不同于该时刻的瞬时值与瞬时导数。两种系数构造在精确 affine 轨迹上相同；选定一种构造后，观测均值、候选模板和信息矩阵使用同一映射。窗口拟合保持空间方向与姿态冻结，仅沿时间使用已知速度序列；角导数、参考参数的加性关系及原点变换见\appref{subsec:A7_affine_window_derivatives}。
+
 \subsection{连续相位多帧信号模型（CP）}
 \label{subsec:dynamicCpModel}
 
-短观测窗口下，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化相位采用二次相位近似：
+短窗口模型将 Doppler 表示为时间的 affine 函数，其系数可由 Taylor 展开或 \eqref{eq:sec5_affine_window_coefficients} 构造。以参考时刻为 $t_{p,t}=0$，对所选频率直线积分，得到
+%
+\begin{equation}
+  \nu_\ell(\tau)\approx\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau,
+  \qquad
+  \phi_\ell(t_{p,t})
+  \approx
+  \int_0^{t_{p,t}}\nu_\ell(\tau)\,\diff\tau
+  =\nu_\ell t_{p,t}+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2.
+  \label{eq:sec5_first_order_doppler}
+\end{equation}
+%
+对于 Taylor 构造，短窗口的适用条件是被省略的三阶相位项在整个观测窗口内远小于 $1$ rad，例如
+%
+\begin{equation}
+  \frac{1}{6}\max_\ell|\ddot\nu_\ell|
+  \big(\max_{p,t}|t_{p,t}|\big)^3
+  \ll 1,
+  \label{eq:sec5_third_order_error}
+\end{equation}
+%
+对于窗口拟合，令 $e_\ell(s)$ 为实际 Doppler 与所选拟合直线之差，时间近似应检查
+%
+\begin{equation}
+  \max_{\ell,p,t}\left|2\pi\int_0^{T_{\mathrm s}t_{p,t}}e_\ell(s)\,\diff s\right|\ll1.
+  \label{eq:sec5_affine_phase_residual}
+\end{equation}
+%
+仅拟合帧节点上的小残差不能代替 \eqref{eq:sec5_affine_phase_residual} 的相位误差检查。以 affine 模型本身生成观测时，二次相位是该模型的精确定义。两种构造都要求阵列姿态与来向变化对空间导向矢量的影响可忽略。若进一步采用静态模型中的常 Doppler 近似，还需满足
+%
+\begin{equation}
+  \frac{1}{2}\max_\ell|\dot\nu_\ell|
+  \big(\max_{p,t}|t_{p,t}|\big)^2
+  \ll 1;
+  \label{eq:sec5_constant_doppler_condition}
+\end{equation}
+%
+否则应保留本节的 Doppler rate。
+
+据此，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化相位采用二次相位近似：
 %
 \begin{equation}
   \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
@@ -206,7 +308,7 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
   \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell.
 \end{equation}
 %
-三种准则的差别在于复增益处理方式：结构化 \gls{cp}（CP-str）保留跨帧公共相位约束；放松 \gls{cp}（CP-rel）放松为每块自由复系数（仍用 \gls{cp} 相位模板）；\gls{ip} 则放弃跨帧绝对相位、采用块独立相位模板。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\appref{sec:multiFrameCrb}。
+结构化 \gls{cp}（CP-str）保留跨帧公共相位约束；放松 \gls{cp}（CP-rel）与 \gls{ip} 均允许每块自由复增益。在相同 Doppler/rate 映射与观测配置下，后两者的时间模板仅相差可被块增益吸收的常相位，集中准则和主参数 \gls{efim} 相同，参数对应见 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence}。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\appref{sec:multiFrameCrb}。
 
 \subsection{Doppler rate 处理：CP-K 与 CP-U}
 
@@ -251,14 +353,14 @@ $\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由
 \end{equation}
 %
 因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 \gls{doa}--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler \gls{crb} 仍受限。
-$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。
+$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。需要区分两种增益来源：静态多星模型在各星复增益独立、噪声独立时只产生逐星投影后的 Fisher 信息相加，并不自动产生跨星相干合并增益；多帧 \gls{cp} 的相干收益来自同一颗卫星跨帧共享公共相位。只有在跨星相位/增益关系已知或被明确建模时，才可另外讨论跨星相干增益。
 
 \subsection{周期多帧观测下的 Doppler 梳状多峰与齿间模糊}
 \label{subsec:fdCombToothAmbiguity}
 
 上一小节的 \gls{efim} 描述的是估计已落入正确局部吸引域之后的\emph{单峰内}曲率，刻画不了周期多帧\emph{轮廓似然}（profile likelihood，即对其余参数取最优后只保留 Doppler 维的目标函数）沿 Doppler 方向的\emph{全局离散多峰}结构——该多峰形如一排等距排列的尖峰，下文称之为\emph{梳状}（comb）结构，其谱窗口与峰间隔的完整推导见\appref{subsec:A7_frameTimeCombTooth}；它属于局部 \gls{crb} 失效的门限区现象~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。
 
-直观上，这一多峰结构来自\emph{周期帧定时}本身。各帧在慢时间维度上以近似等间隔 $\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 排列时，跨帧相干合并相当于以采样间隔 $\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 对参考链路 Doppler 相位采样；这与等间隔稀疏阵列出现栅瓣、时间欠采样产生频率混叠是同一机理——相差 $2\pi/\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 的两个 Doppler 值在\emph{每一帧}上给出完全相同的相位增量，相干匹配无从分辨。于是沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的集中目标不再是单峰，而是一排等间隔的峰，即梳状结构的各\emph{梳齿}（tooth）：真值只落在其中一个梳齿上，但仅凭周期数据无法判定是哪一个，此即\emph{齿间模糊}（tooth ambiguity）；选错相邻梳齿会造成约一个齿间隔的整周 Doppler 大误差，正是门限区里典型的离群误差（outlier）。下面用\emph{帧时谱窗}（frame-time spectral window）把这一周期结构定量化。
+周期帧定时使跨帧相位匹配呈现梳状结构。帧起始偏移为 $\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm f}$ 时，相差 $2\pi/\Delta\tau_{\mathrm f}$ 的两个 Doppler 值在各帧起始点上具有相同相位。帧内采样仍包含不同的相位变化，通常能够区分这些候选值；当帧长远小于帧间隔时，这种差异较小，噪声容易使估计落入相邻峰。这里的齿间模糊指这种全局多峰造成的选择困难，选错相邻峰会产生约一个齿间隔的 Doppler 大误差。
 
 若参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$、第 $p$ 帧起始偏移为 $\tau_p$，则沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标包含如下帧时谱窗
 %
@@ -283,7 +385,7 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性
 
 相邻梳齿是否容易区分由两层因素共同决定：单帧导频块的长度 $T$（控制块内 Doppler 相干带宽）与非周期帧子集的窗口形状（控制梳状旁瓣的压制）。
 当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，相邻梳齿的块内相干损失约为 $\dfrac{\pi^2}{3}(T/\Delta\tau_{\mathrm{f}})^2$，因此增大 $T$ 可增强相邻梳齿的分离度。
-非周期帧子集打破梳状结构的严格周期性，使本来等高的假梳齿退化为受压制的旁瓣、真峰凸显，因而更适合\emph{捕获}正确的梳齿；完整周期数据在梳齿选对之后由于保留更多相干能量，更适合在同一梳齿内\emph{精化}估计。
+在保持观测能量可比的条件下，非等间隔的帧起始时刻可以减弱帧时谱窗的周期旁瓣。仅从等间隔帧中删去部分帧，仍保留原采样格点上的同相条件，不能自动消除原有梳齿。具体帧集合的捕获能力应结合帧时谱窗、帧内相关和可用能量共同判断。
 若定义梳齿可分离性为不同 $k$ 下轮廓最优之间的目标差
 %
 \begin{equation}
@@ -297,4 +399,4 @@ $\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性
 %
 则 \gls{efim}/\gls{crb} 只有在 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大、梳齿选对后才能作为同一梳齿内估计误差的局部描述。Dirichlet 窗口的完整推导、块内相干损失的 sinc 近似与梳齿可分离性的数值刻画均见\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 末尾的补充分析。
 
-本节完成了多帧动态主线：\gls{cp} 模型通过同星公共相位 $\chi_\ell$ 显式利用跨帧绝对时间信息，\gls{ip} 模型作为对照基线放弃跨帧绝对相位；二者的 \gls{efim} 差异量化了跨帧连续相位携带的信息量。
+本节通过 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的比较分析跨帧相位信息，估计目标仍为公共方向与参考 Doppler。下一节回到单观测块，将公共方向模型改为有限距离的位置模型。

parts/sec6_userPositioning.tex

@@ -1,15 +1,15 @@
 \section{从全局方向到用户三维位置估计\texorpdfstring{~\cite{liFastAccurateLEO2022}}{}}
 \label{sec:userPositioning}
 
-前五节的主估计目标始终是全局方向 $\boldsymbol\xi$（外加参考星 Doppler）。但 $\boldsymbol\xi$ 只有两个自由度，描述的是``用户在哪个方向''，而多星协作定位真正要回答的是``用户在哪个点''——三维位置 $\mathbf p$。
-本节沿一个新维度推进——\emph{输出参数化}（从方向到位置的几何反演）——把主参数从 $\boldsymbol\xi$ 换成 $\mathbf p$，其余维度保持最简：单观测块、单用户作为基线、已知导频、各星完全相干，不叠加第~\ref{sec:multiSatMultiUser}、\ref{sec:timestampError}、\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节的多用户/时间戳/多帧扩展。
-关键观察是：第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型，正是位置模型在\emph{远场极限}下的退化——各星共享同一方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；一旦用户与星座的距离有限，各星看到的视线方向不再相同，这一\emph{视差}差异连同差分 Doppler 与差分时延，正是把方向（2 维）补足为位置（3 维）的信息来源。这类``以位置为主参数、由原始观测直接估计''的方法即直接定位（Direct Position Determination，DPD）\cite{liFastAccurateLEO2022,haoInterferenceGeolocationSatellite2021}。
-详细位置 \gls{crb} 推导见\appref{sec:userPositionCrb}。
+第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}--\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节以公共全局方向为几何参数。有限距离下，各星到用户的视线不同，需要由同一个用户位置 $\mathbf p$ 分别生成这些方向。
+本节以有限距离下的用户位置 $\mathbf p$ 为几何参数，先建立逐星视线与差分 Doppler 映射，再引入传播时延。基线采用单观测块、单用户和已知导频，各星采样时间基对齐，复增益独立未知；多用户推广在节末给出，时间戳误差与多帧扩展分别见第~\ref{sec:timestampError}、\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节。
+逐星视差、差分 Doppler 和差分时延提供不同的几何约束。以位置为主参数、直接利用原始观测估计的方法称为直接定位（Direct Position Determination，DPD）\cite{liFastAccurateLEO2022,haoInterferenceGeolocationSatellite2021}。公共方向与位置模型的联系将在视线映射后说明。
+位置 \gls{crb} 推导见\appref{sec:userPositionCrb}，已知高度下的经纬度参数化及其与公共方向模型的比较见\appref{subsec:A6_latlon_crb}。在已知曲面和局部唯一的可见交点条件下，也可用参考星来向的两个角描述几何；不利用传播时延的多帧 Doppler 映射与相应导数见\appref{subsec:G_reference_bearing}。
 
 \subsection{位置参数化与逐星视线映射}
 \label{subsec:positionLosMap}
 
-设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（\gls{eci} 坐标系），在单观测块内视为常量（与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节``\gls{doa} 块内不变''同级的假设；用户运动的 Doppler 效应仍按既有模型折叠进 $\nu_{\mathrm{ref}}$，不升格为显式速度参数）。
+设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（\gls{eci} 坐标系）。本节主模型限定为在地固坐标系中静止的用户；将该状态写入 \gls{eci} 后，其参考时刻的瞬时速度为 $\mathbf v_u(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p=\boldsymbol\omega_{\mathrm E}\times\mathbf p$。单观测块内冻结的是参考时刻的几何状态与该局部速度，而不是将 \gls{eci} 用户速度置零；模型不另行估计用户速度、加速度或移动用户状态。
 第 $\ell$ 颗卫星（参考时刻位置 $\mathbf s_\ell$，沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节）到用户的视线向量与单位视线方向为
 %
 \begin{equation}
@@ -18,10 +18,10 @@
   \mathbf u_\ell(\mathbf p)=\frac{\mathbf r_\ell(\mathbf p)}{\|\mathbf r_\ell(\mathbf p)\|_2}\in\mathbb R^3.
 \end{equation}
 %
-与第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的区别仅在\emph{源的参数化}：那里源是所有卫星共享的全局方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$（远场极限，2 自由度），这里源是位置 $\mathbf p$（3 自由度），经各星视线诱导出\emph{逐星不同}的全局来向 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$——逐星之异源于卫星位置 $\mathbf s_\ell$ 不同（视差），即补足距离维的信息。旋转矩阵 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 始终只做\emph{姿态}变换（把全局来向转入各星本地阵列系）、远场与有限距离都需要且形式不变，仅其输入由共享的 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$ 换成逐星的 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$。沿用同一组本地坐标基，本地来向与本地角度为
+位置 $\mathbf p$ 经各星视线诱导出不同的方向，视差由各星位置 $\mathbf s_\ell$ 决定。这里 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 指向卫星到用户，与第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}~小节中源到接收端的传播方向相反。为沿用相同的阵列导向模板，本地角统一按传播方向计算：先将 $-\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 旋转到阵列坐标系，再求本地方位角与俯仰角，即
 %
 \begin{equation}
-  \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell(\mathbf p),
+  \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)=-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell(\mathbf p),
   \qquad
   \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}=\operatorname{atan2}\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1}\big),
   \qquad
@@ -37,7 +37,7 @@
 也即\emph{每阵列内部仍是平面波模型，阵列导向 $\mathbf a_\ell$ 的形式一字不改}；变的只是``本地角由 $\mathbf p$ 而非 $\boldsymbol\xi$ 诱导''。
 
 \begin{mdquote}
-\textbf{远场退化。} 固定全局方向 $\mathbf u_0$，令 $\mathbf p=\mathbf s_{\ell_{\mathrm{ref}}}+R\,\mathbf u_0$ 并取 $R\to\infty$，则对所有 $\ell$ 有 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\to\mathbf u_0$，逐星视线趋于共向，第~\ref{sec:userPositioning} 节模型退化为第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型。反之，有限距离下 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\neq\mathbf u_{\ell'}(\mathbf p)$ 的视差是距离维的角度信息来源。
+\textbf{远场方向极限。} 当各星视线趋于共同方向 $\mathbf u_0$ 时，阵列所用的公共传播方向为 $-\mathbf u_0$。公共用户速度投影在差分 Doppler 中抵消，角度与差分 Doppler 部分与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节一致。完整位置模型还包含传播时延；对齐导频并不利用时延信息后，才得到该节的公共方向观测模型。有限距离下，逐星视线的差异提供视差信息。
 \end{mdquote}
 
 \subsection{链路 Doppler 的位置诱导}
@@ -49,17 +49,29 @@
   \qquad \Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\equiv0.
 \end{equation}
 %
-与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节由方向 $\boldsymbol\xi$ 诱导不同，几何差分现在由\emph{用户位置}与已知星历诱导。每条链路的几何归一化 Doppler 正比于卫星沿视线的径向速度 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_\ell$，取其相对参考链路之差，得
+与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节由方向 $\boldsymbol\xi$ 诱导不同，几何差分现在由\emph{用户位置}与已知星历诱导。先用物理 Hz 表示卫星相对于用户的径向速度差分，定义第 $\ell$ 条链路相对于参考链路的 FDOA 为
+%
+\begin{equation}
+  \label{eq:sec7_df_pos}
+  \Delta f_\ell(\mathbf p)
+  =\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}
+  \left[\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)
+  -\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)\right],
+  \qquad \Delta f_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\equiv0,
+\end{equation}
+%
+其中 $\Delta f_\ell$ 的单位为 Hz。正文统一使用 rad/sample 的归一化 Doppler，故
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:sec7_dnu_pos}
   \Delta\nu_\ell(\mathbf p)
+  =2\pi T_{\mathrm s}\Delta f_\ell(\mathbf p)
   =\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
-  \big[\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)^\Tran\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big],
+  \left[\mathbf u_\ell(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)
+  -\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)^\Tran\big(\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}-\mathbf v_u(\mathbf p)\big)\right],
 \end{equation}
 %
-其中整体符号取决于上行/去向约定，不影响 \gls{crb}（Fisher 信息对此不变）。关键是 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 经 $\mathbf p-\mathbf s_\ell$ 依赖\emph{完整位置}（含距离），故 $\Delta\nu_\ell$ 不只约束方向、也约束距离。
-参考链路总 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作自由标量，继续吸收参考链路绝对 range-rate 与用户载频/钟偏；与既有模型一致，用户自身运动只通过 $\nu_{\mathrm{ref}}$（多帧情形再加 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$）进入，其对差分 Doppler 的残余贡献按静态块近似忽略。由此绝对 Doppler 不进入几何，几何只通过差分 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 约束 $\mathbf p$。
+这里采用卫星指向用户的视线与正号 Doppler 投影；换用相反的传播方向时，投影前取负号，与第~\ref{subsec:refSatParameterization}~小节一致。方向定义、阵列相位和 Doppler 符号须配套使用。$\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ 与 $\mathbf v_u(\mathbf p)$ 均由参考时刻位置决定，故 $\Delta\nu_\ell$ 同时包含方向和距离信息。参考链路总 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为自由标量，吸收参考链路的绝对 Doppler 与公共载频偏差；用户速度的跨链路差分投影保留在 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 中。
 
 \subsection{传播时延的位置诱导与到达时间差}
 \label{subsec:delayPositionInduced}
@@ -138,6 +150,35 @@
 %
 其中 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}$ 为第 $\ell$ 颗星本地 \gls{doa} 的单阵列 \gls{crb}。该基线放弃跨星数据级融合，故 $\operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)\succeq\operatorname{CRB}(\mathbf p)$（集中式为更紧下界）；它作为分布式/低回传处理的精度地板，与集中式构成``精度--回传''对照。推导见\appref{subsec:H4_doaFusion}。
 
+\subsection{地表用户的仿真示例}
+
+图~\ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。
+
+图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 展示地表用户的经纬度估计示例，对比仅使用 \gls{doa} 与联合使用 \gls{doa}--Doppler 的结果。各星方向由同一个地表位置分别计算，属于有限距离模型；经纬度参数化见\appref{subsec:A6_latlon_crb}。该图用于展示角度与 Doppler 联合估计，不代表本节所有观测通道的组合，也不作为第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节公共方向模型的验证。估计误差与界之间的差距需结合偏差、搜索误差和模型一致性分析。
+
+图~\ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。
+
+\begin{figure}[!h]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig/dualSatSingleSourceScene.bmp}
+  \caption{有限距离地表用户示例：双星单源几何场景}
+  \label{fig:dualSatSingleSourceScene}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[!h]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{fig/doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap.pdf}
+  \caption{有限距离地表用户示例：双星 UPA 单信源场景中，仅使用 \gls{doa} 与联合使用 \gls{doa}--Doppler 的估计误差对比}
+  \label{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[!h]
+  \centering
+  \includegraphics[width=0.85\textwidth]{fig/multiSatSingleSourceScene.bmp}
+  \caption{有限距离地表用户示例：多星单源几何场景}
+  \label{fig:multiSatSingleSourceScene}
+\end{figure}
+
 \subsection{多用户堆叠}
 
 推广到 $K$ 个单天线用户，只需把每个用户的位置、参考时延与参考 Doppler 独立堆叠：
@@ -149,4 +190,4 @@
 %
 其中 $\tau_{\mathrm{ref},k}$ 吸收第 $k$ 个用户的未知发射时刻，逐用户独立。第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$、集中似然对各星 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 列空间的投影、以及用户分离可辨识性，全部与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节及\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 逐字平行，只把 $\boldsymbol\xi_k$ 换成 $\mathbf p_k$、并在时间模板中加入位置诱导时延。
 
-本节完成了从全局方向到用户三维位置的输出参数化：阵列信号模型、参考链路时延与 Doppler、集中似然与 \gls{efim} 框架全部继承自多星静态主线，唯一变动的是``位置经逐星视线映射诱导各星本地角、差分 Doppler 与差分时延''这一几何层；全局方向模型为其远场极限。三条位置信息通道中，角度与差分 Doppler 不依赖跨星定时，差分时延（\gls{tdoa}）则携带最直接的距离约束。这正是多星阵列对多用户单天线定位所需的模型接口；多帧连续相位扩展可正交叠加于此。星间定时误差与跨星差分时延落在同一时间轴上、二者只以和被观测，其对位置估计（尤其 \gls{tdoa} 通道）的影响构成下一节的内容。
+本节建立了有限距离下的三维位置模型，位置通过逐星角度、差分 Doppler 和差分时延进入观测。集中似然与干扰参数消元沿用多星静态模型的方法，几何映射和新增的时延参数则按本节定义。下一节引入时间戳误差：它与传播时延共同决定导频包络的位置，因此会影响时延通道提供的几何信息。

parts/sec7_timestampError.tex

@@ -1,14 +1,14 @@
-\section{时间戳误差与部分相干观测}
+\section{时间戳误差及其估计影响}
 \label{sec:timestampError}
 
-前面各节均假设 $L$ 颗卫星之间完全相干——它们以共同的离散时间基记录采样、并共享同一时间原点。实际系统中各星本振与采样时钟独立，星间时钟同步不可能精确到亚采样级别，残余的未知\emph{时间戳误差}使 ``参考时刻 $t=0$'' 在不同卫星上落到不同的物理瞬时。
-本节作为多星主线的收尾，沿\emph{同步条件}维度把前面各节默认的``星间完全相干''放宽为``参考星完全可信、其余卫星时间戳带未知误差 $\delta_\ell$'' 的\emph{部分相干}观测。之所以置于位置一节之后：$\delta_\ell$ 不进入空间导向矢量、不影响各星本地 \gls{doa}（窄带假设，见下），而是经相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径恶化 Doppler 与跨星测距，从而主要打在位置估计上——具体地，它与位置的到达时间差通道同轴混淆（第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节）。其余维度（单帧、已知导频、无星间频偏）保持最简。
-关键现象是：$\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 在似然中以乘积形式耦合，产生未知相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$。当 $|\delta_\ell|$ 很小时可作一阶近似并通过 Schur 补消去；当 $|\delta_\ell|$ 大到一个导频符号宽度时必须显式数值搜索。本节按这一切换刻画模型接口与方法适用边界；具体方法选择留给后续工作。详细 \gls{efim} 推导与数值框架见\appref{sec:timestampErrCrb}。
+前面的多星模型采用共同的采样时间基和时间原点，各星复增益仍独立未知。实际系统中，各星对采样时刻的标记可能存在偏差，使相同时间标签对应不同的物理时刻。这里讨论这种时间戳误差；星间载波相位已知与否是另一项假设，第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节的连续相位结构则约束同一颗卫星的跨帧相位。
+本节先在第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节的单帧多用户方向模型中加入逐星时间戳误差 $\delta_\ell$，参考星取 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，各用户导频已知，仍不引入独立的星间频偏。随后将同一时间戳参数用于第~\ref{sec:userPositioning}~节的位置模型，讨论它与传播时延的混淆。
+时间戳误差使导频包络平移，并产生一个恒定的 Doppler 相位偏移。在本节的自由复增益模型下，恒定相位可由复增益吸收，剩余影响由包络时移及其与主参数的耦合决定。小偏移时可在零偏移附近展开；偏移较大时使用完整时移模型。两种情况下均可计算局部 \gls{efim}，详细推导见\appref{sec:timestampErrCrb}。
 
 \subsection{时间戳误差与扰动信号模型}
 \label{subsec:perturbedSignalModel}
 
-把\emph{时间戳误差}定义为``某颗卫星实际采样时刻相对其名义采样时刻的偏移''。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准并令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，其余卫星的时间戳误差以采样点数为单位记为
+把时间戳误差定义为采样点的名义时刻减去实际时刻，以采样点数为单位。因此，标签为 $t$ 的样本对应实际时刻 $t-\delta_\ell$。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准，令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$，其余卫星满足
 %
 \begin{equation}
   \delta_\ell\in\mathbb R,
@@ -25,7 +25,7 @@
   \in\mathbb R^{L-1}.
 \end{equation}
 
-在第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的多用户基线上引入 $\delta_\ell$，第 $\ell$ 颗卫星接收到的连续时间基带信号被替换为``在偏移 $\delta_\ell$ 后的瞬时上采样''：
+在第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节的多用户基线上，第 $\ell$ 颗卫星按实际时刻 $t-\delta_\ell$ 观测信号：
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:sec5_signal_model}
@@ -80,23 +80,23 @@
   \mathbf n_\ell(t).
 \end{equation}
 %
-这是部分相干模型的核心结构。两点观察：
+这一重写说明了两种作用的区别：
 \begin{enumerate}
-  \item \emph{相位耦合}已被 $\bar\zeta_{\ell,k}$ 吸收，但代价是：原本各星独立的 $\{\zeta_{\ell,k}\}$ 与几何参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ \emph{解耦}的良好性质消失。$\bar\zeta_{\ell,k}$ 显式依赖 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$，把 $\delta_\ell$ 的不确定性以 ``$|\nu_{\ell,k}|\cdot\mathrm{Var}(\delta_\ell)$'' 的形式注入主参数；这是部分相干观测对 Doppler 估计精度的主要恶化来源。
-  \item \emph{导频时间偏移} $s_k(t-\delta_\ell)$ 不能被吸入复增益。它通过导频的自相关 $R_{s_k}(\delta_\ell)$ 进入似然，且对 $\delta_\ell$ 高度非线性。当 $\delta_\ell$ 远小于一个导频符号宽度时，可作一阶 Taylor 近似 $s_k(t-\delta_\ell)\approx s_k(t)-\delta_\ell\dot s_k(t)$，并把 $\delta_\ell$ 作为光滑干扰参数处理；当 $|\delta_\ell|$ 接近或超过导频符号宽度时，这一近似失效，必须显式数值搜索。
+  \item \emph{恒定相位由复增益吸收}。给定主参数和 $\delta_\ell$，$\zeta_{\ell,k}$ 与 $\bar\zeta_{\ell,k}$ 一一对应，后者仍可作为自由复干扰参数。消去复增益后，恒定相位不再提供独立的时间戳信息，也不单独造成 Doppler 信息损失。
+  \item \emph{包络时移决定剩余影响}。一般导频的 $s_k(t-\delta_\ell)$ 不能用一个复标量表示。其导数在复增益子空间之外的分量提供时间戳信息，并可能与 Doppler 等主参数的有效导数重叠。若导频为单音，时移仅改变复幅度，则时间戳不可辨识，但不会因此使 Doppler 不可辨识。
 \end{enumerate}
 
 \subsection{适用性边界：小误差 vs.\ 大误差}
 \label{subsec:timestampApplicability}
 
-记导频自相关的有效宽度为 $T_{\mathrm{ac}}$（以采样点数计），即 $R_{s_k}(\delta)$ 衰减到 $1/2$ 的特征尺度。本节方法的适用性按 $|\delta_\ell|$ 相对于 $T_{\mathrm{ac}}$ 与 $1/|\nu_{\ell,k}|$ 的量级分两段：
+记导频自相关的特征宽度为 $T_{\mathrm{ac}}$（以采样点数计）。它可用于判断零偏移附近的包络展开是否合适，实际误差还取决于导频的导数和观测窗口：
 
 \begin{itemize}
-  \item \textbf{小误差区}（$|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\ll\pi$）：导频时间偏移可一阶 Taylor 展开；相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 把均值向量改写为关于 $\delta_\ell$ 的近似线性扰动。$\boldsymbol\delta$ 进入似然的 Fisher 信息块光滑可逆，可在 \gls{efim} 框架内通过 Schur 补\emph{解析}消去。详细推导见\appref{subsec:F2_schurDelta}。
-  \item \textbf{大误差区}（$|\delta_\ell|$ 接近或超过 $T_{\mathrm{ac}}$）：导频自相关衰减导致似然对 $\delta_\ell$ 高度非线性，一阶近似失效；同时若 $|\nu_{\ell,k}\delta_\ell|\gtrsim\pi$，相位偏移引入整周模糊。\gls{efim} 不再可用，必须将 $\delta_\ell$ 作为离散+连续混合参数显式数值搜索；细网格上的局部 Fisher 信息可由 \eqref{eq:sec5_absorbed_model} 直接数值评估，见\appref{subsec:F3_numericalEfim}。
+  \item \textbf{小偏移近似}：当 $|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且高阶余项足够小时，采用 $s_k(t-\delta_\ell)\approx s_k(t)-\delta_\ell\dot s_k(t)$。由此得到零偏移附近的信息矩阵，见\appref{subsec:F2_schurDelta}。Schur 补需在可辨识的干扰参数子空间上计算。
+  \item \textbf{完整时移模型}：偏移较大时，直接使用 $s_k(t-\delta_\ell)$ 及其导数计算局部 \gls{efim}，见\appref{subsec:F3_numericalEfim}。如果似然存在多个峰，还需分析全局搜索和跳峰误差；局部 \gls{crb} 本身不能预测这些误差。
 \end{itemize}
 
-实际星间场景下，物理量级一般落在小误差区与大误差区之间的过渡带：实测残差的具体数值取决于平台本振稳定度与所采用的星间同步协议，本笔记不展开。当残差换算到采样点后跨越导频自相关半宽 $T_{\mathrm{ac}}$，就需要从小误差解析方案切换到大误差数值方案；该过渡带正是后续数据驱动的干扰参数补偿方法的目标工作点。
+小偏移展开与完整模型的选择取决于近似精度；局部界与全局误差分析的区别取决于估计是否落在正确峰附近。两者应分别判断。
 
 \subsection{联合似然与 EFIM 结构概览}
 
@@ -162,7 +162,7 @@
   \end{bmatrix}.
 \end{equation}
 %
-小误差区下 $\boldsymbol\delta$ 与 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 可依次 Schur 消去，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}
+先消去复增益，再消去可辨识的时间戳参数，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:sec5_efim}
@@ -181,7 +181,7 @@
 \subsection{时延通道下的时间戳混淆与多用户解}
 \label{subsec:tauDeltaConfound}
 
-上面把 $\delta_\ell$ 加在多用户 \gls{doa} 基线（第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节）上时，导频时移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 落在一根本身不含距离信号的时间轴上，$\delta_\ell$ 只经相位与 Doppler 间接影响主参数。一旦接上第~\ref{sec:userPositioning} 节的传播时延通道，这根时间轴上就有了携带距离的 $\tau_\ell(\mathbf p)$，$\delta_\ell$ 与它同轴——这才是 $\delta_\ell$ ``主要打在位置上''的主通道。
+方向模型中，时间戳通过导频包络时移进入观测，其对主参数的影响由消去复增益后的交叉信息决定。在第~\ref{sec:userPositioning}~节的位置模型中，导频包络还包含传播时延，因而时间戳与几何时延直接相加。
 把 $\delta_\ell$ 叠加到含时延的位置模型，第 $\ell$ 星导频包络为 $s\big(t-\tau_\ell(\mathbf p)-\delta_\ell\big)$，观测到的总时延为
 %
 \begin{equation}
@@ -189,34 +189,34 @@
   =\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell.
 \end{equation}
 %
-对参考星差分消去公共的 $\tau_{\mathrm{ref}}$（含未知发射时刻），得观测到达时间差 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell$：携带位置的 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与时间戳 $\delta_\ell$ \emph{同轴相加、不可分}。这正是第~\ref{sec:userPositioning} 节末尾预告的 $\tau$--$\delta$ 同轴矛盾。
+对参考星作差可消去公共的 $\tau_{\mathrm{ref}}$，得到观测时延差 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell$。仅凭这一时延差，不能分别确定几何时延与时间戳误差；还需其他几何观测或参数约束。
 
 在 Fisher 信息层面，群时延模型下（载波相位吸入 $\zeta_\ell$）$\delta_\ell$ 只经包络进入，其对均值向量的导数 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\delta_\ell=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 与时延模板同形，与参考时延列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\tau_{\mathrm{ref}}$ 完全相同、与位置列的时延贡献共线。由此分两种情形：
 \begin{itemize}
-  \item \textbf{单用户退化}：$L-1$ 个自由 $\delta_\ell$ 各自吸收该星的包络位移方向，恰好张成 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 携带距离信息的同一组方向。对 $\boldsymbol\delta$ 作 Schur 边缘化后，时延/\gls{tdoa} 通道对距离的净贡献被抵消，位置退回角度（与差分 Doppler）通道——\gls{efim} 在距离方向退化。
-  \item \textbf{多用户恢复}：$\delta_\ell$ 是逐星参数（每颗星一个时间戳）、被该星 $K$ 个用户共享，而各用户的几何与空间签名（即阵列响应 $\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$）互异。单个 $\delta_\ell$ 只能吸收一个合成包络位移方向，$K$ 个用户的 \gls{tdoa} 信息张成至多 $K$ 个方向，故 $K-1$ 个方向在 $\boldsymbol\delta$ 边缘化后存活——时延通道随用户数恢复。等价地，同星不同用户的观测到达时间差相减即消去共享 $\delta_\ell$、超定地将其定出。
+  \item \textbf{单用户}：每颗非参考星的自由 $\delta_\ell$ 可吸收该星的几何时延变化。进一步消去参考时延后，包络时移不再提供独立的位置信息。位置是否仍可辨识，取决于角度和差分 Doppler 的几何约束。
+  \item \textbf{多用户}：每颗星的 $\delta_\ell$ 被各用户共享。在用户时延有效导数彼此独立时，消去这一实参数后，每星可保留 $K-1$ 个用户间相对时延方向。它们能否转化为独立的位置信息，还需结合参考时延参数、用户分离和卫星几何检验整体 Jacobian 的秩。
 \end{itemize}
-故跨星定时误差对位置的影响并非``多一个未知参数''式的普遍恶化，而是\emph{结构性}地落在 \gls{tdoa} 通道上：单用户时它吃掉整条测距增益、位置退回纯角度交会；多用户共享结构是 $\delta_\ell$ 可辨识、\gls{tdoa} 通道净增益的必要条件。详细 Fisher 分块、$\boldsymbol\delta$-边缘化的秩损失与多用户恢复见\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}。
+共享时间戳使不同用户的相对时延有可能保留信息，但用户数增加本身并不保证位置与时间戳均可辨识。单用户也可能依靠角度与差分 Doppler 确定位置，再由时延估计时间戳。相关投影关系见\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}。
 
 \subsection{忽略时间戳误差时的 MCRB}
 \label{subsec:mcrbIgnoreDelta}
 
-\eqref{eq:sec5_efim} 的 \gls{efim} 对应``把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数一并估计''的情形，代价是主参数信息被 Schur 补扣减、\gls{crb} 抬高。与之互补的是另一种工程上常见的处理：估计器\emph{假设星间已同步}（令 $\delta_\ell\equiv 0$）、不把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型以省去这部分参数。此时真值含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$、估计器却以 $\delta=0$ 的似然拟合，构成\emph{模型误指定}，其性能由 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015} 而非 \gls{crb} 刻画。误指定最大似然（\gls{mml}）估计器不再收敛到真值 $\boldsymbol\eta^\star$，而是收敛到使 \gls{kl} 散度最小的\emph{伪真值} $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$，其绕真值的均方误差由两部分组成
+\eqref{eq:sec5_efim} 的 \gls{efim} 对应``把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数一并估计''的情形，代价是主参数信息被 Schur 补扣减、\gls{crb} 抬高。与之互补的是另一种工程上常见的处理：估计器\emph{假设星间已同步}（令 $\delta_\ell\equiv 0$）、不把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型以省去这部分参数。此时真值含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$、估计器却以 $\delta=0$ 的似然拟合，构成\emph{模型误指定}，其性能由 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015} 而非 \gls{crb} 刻画。误指定最大似然（\gls{mml}）估计器不再收敛到真值 $\boldsymbol\eta^\star$，而是收敛到使 \gls{kl} 散度最小的\emph{伪真值} $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$，以下沿用\appref{subsec:F5_mcrb} 的已知且匹配噪声协方差设定。在该附录所述正则性和无偏约束下，绕真值的均方误差满足
 %
 \begin{equation}
   \label{eq:sec5_mcrb}
   \mathbb E\big[(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta^\star)(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta^\star)^\Tran\big]
   \succeq
-  \underbrace{\mathbf A^{-1}\mathbf B\,\mathbf A^{-1}}_{\text{绕 }\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}\text{ 的方差}}
+  \underbrace{[\mathbf A^{-1}\mathbf B\,\mathbf A^{-1}]_{\eta\eta}}_{\text{主参数协方差下界}}
   +
   \underbrace{(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star)(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star)^\Tran}_{\text{忽略 }\boldsymbol\delta\text{ 引入的偏置}}.
 \end{equation}
 %
-与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta^\star$ 的量级。sandwich（夹心型，指 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$ 形式）矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。
+其中 $[\cdot]_{\eta\eta}$ 表示完整均值参数矩阵中主参数对应的子块，实际 \gls{mml} 误差的 sandwich 近似使用大样本条件。与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta^\star$ 的量级。sandwich（夹心型，指 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$ 形式）矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。
 
-在第~\ref{sec:userPositioning} 节的位置模型上，这一偏置有明确的几何指向：偏置方向由 $\boldsymbol\eta$--$\delta$ 交叉信息决定（一阶表达见\appref{subsec:F5_mcrb}），而群时延模型下 $\delta_\ell$ 的均值导数与时延列共线（第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节），故偏置落在 \gls{tdoa} 通道方向上——沿\emph{距离}维、量级正比于时间戳 $\delta_\ell^\star$，而对 $\delta$ 免疫的角度通道不受偏置。于是 \gls{efim} 与 \gls{mcrb} 是同一 $\tau$--$\delta$ 混淆的两面：估计 $\boldsymbol\delta$ 在 \gls{tdoa} 通道上损失\emph{方差}（\gls{efim} 被 Schur 补扣减），忽略 $\boldsymbol\delta$ 在同一通道上换来\emph{偏置}（位置距离维偏移 $\sim\delta^\star$）。
+在位置模型中，偏置由时间戳有效导数与位置有效导数的交叉信息决定。传播时延是误差进入几何估计的一条途径，但经过联合求逆后，位置偏置通常不局限于某个径向方向。角度观测本身不含时间戳，也不意味着联合位置估计的横向分量必然无偏。
 
-需要强调，上述 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是局部（小误差）刻画：少用户下``位置--时间戳''模糊带来的信息损失已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化惩罚承载（\appref{sec:timestampErrCrb}），无需另立界；门限以下的大误差则属失效区行为。作为主线之外的扩展，误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai 门限界见\appref{sec:thresholdBounds}，主线不依赖它们。
+上述局部分析区分了未知时间戳带来的信息损失与忽略时间戳产生的失配偏置。相距较远的参数还可能对应相近的观测分布，形成局部导数难以刻画的大误差。匹配模型下的有限检验点界、Ziv--Zakai 界及其误指定适用边界见\appref{sec:thresholdBounds}。
 
-本节完成了部分相干观测下的扰动模型、适用性边界与时延通道混淆的刻画：$\delta_\ell$ 通过相位耦合 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$ 两条途径污染主参数估计，量级落在小误差区时可借 \gls{efim} 解析消去，落在大误差区时必须数值处理；若估计器索性假设同步而忽略 $\boldsymbol\delta$，相应下界由 \gls{mcrb} 给出。接上第~\ref{sec:userPositioning} 节的传播时延通道后，$\delta_\ell$ 与携带距离的 $\tau_\ell(\mathbf p)$ 同轴：单用户时它吃掉整条到达时间差测距增益、位置退回纯角度交会，多用户共享 $\delta_\ell$ 的结构则是其可辨识与测距增益净存活的必要条件。
+本节给出了时间戳误差下的联合模型与局部信息分析。自由复增益吸收恒定相位，包络时移决定剩余信息损失；忽略可观测的包络时移时，还可能产生模型失配偏置。在位置模型中，自由逐星时间戳可吸收单用户的差分时延信息，多用户共享结构则可能保留用户间的相对时延约束。
 至此，多星主线从单阵列 \gls{doa} 递进到含时延、Doppler 与时间戳的多用户协同定位模型；亚波长载波相位干涉与移动用户测速作为更强但要求更苛的通道，可正交叠加于此。

review/summary_information_local_response_review.md

@@ -0,0 +1,321 @@
+## Material Passport
+
+- Origin Skill／Mode：academic-research-suite / experiment-agent / validate（仅公式与静态接口复核）。
+- Origin Date：2026-10-15。
+- Verification Status：ANALYZED；没有新增数值运行，不是实验复现认证。
+- Version Label：summary_information_local_response_review_v1。
+- 范围：COORDINATION §3 的 TWC-VERIFY-001，研究计划 §6.8（请求标识方案 4755525）。
+- 本仓基线：`6f977c1`；既有局部理论来自 `a2713e8`、`parts/H-timestampErrCrb.tex` 的 `subsec:H_summary_poisoning`。
+- 只读材料：指定计划、当前 Sec. II 必要定义、Sec. III／IV 及相关附录、下列明确命名的源文件与报告 §7.3。
+- 未访问最终 40MC test、未加载 MAT、未运行既有自检或新增矩阵／前向／优化／信息计算；本轮只新增本报告及 coord 回执。
+
+# 摘要信息参考与局部扰动响应复核
+
+## 1．结论与阶段边界
+
+A0 的四种对象可以明确区分。当前近似波形参考可支撑所声明近似模型内的比较，以及同一模型下 known／unknown offset 的信息损失；它不能直接成为实际固定尺度融合估计器的 matched bound。
+保留这一有限用途时，A1 不是必要前置步骤。
+若需量化完整叠加模型与逐用户近似的差距，或者声称旧曲线已准确代表完整波形界，才需要另行批准 A1；一个工作点的计算也只支持该点。
+
+B 的分块扰动映射、Jacobian 符号及新增吸收能量在既有假设下相容。
+方案的真值基线、固定方向、固定 W 和两档同代价设计适合检验局部预测，但不检验捕获性能、网络收益或大幅污染的最终收敛点。
+发现一项执行接口风险：本次读取的 `fusePositionFromLinkEst` 将初值与粗时延参考绑定，直接真值初始化不能保留原观测而不作参考补偿。
+这是 B1 必须核实的接线条件；本报告没有确认实际开发输入的 rank、B1 数值结果或 B2 可启动性。
+
+## 2．四种模型的对应
+
+下表是模型对应表，不是任务状态账本。
+
+| 对象 | 观测与参数／干扰参数 | 信息或准则 | 有效解释范围 |
+|---|---|---|---|
+| 完整叠加 waveform | 同星用户信号叠加到同一 IQ 行；每用户位置、参考 delay／Doppler，逐星共享 offset，逐链路复增益，逐星噪声方差 | `eq:sys_joint`、`eq:bnd_efim_proj`；联合增益空间投影，保留跨用户导数内积 | 正则条件下的完整波形名义局部界；同模型、同工作点的 known／unknown 比较 |
+| code-separated 数值波形参考 | 每个 user–satellite 对使用独立观测行；仍有每用户参考标量、逐链路幅相及共享非参考 offset | `crbPilotSfPosDeltaEfim` 分块累加；`boundSfFusionTiers` 汇总各用户根 SPEB | 码分分离假设下的波形参考；不能由配置相同推成完整叠加界或摘要 matched bound |
+| Gaussian summary 参考 | 独立逐链路绝对 Doppler 与两角；每用户未知参考 Doppler，假设给定固定协方差 | `eq:bnd_f_interface`、`eq:bnd_f_efim` | 所声明 Gaussian 摘要实验下的角度–FDOA 界；协方差不是由工作尺度自动标定 |
+| fixed-scale fusion | 实际参考差分 delay／Doppler 与 DoA；自由 3D 位置及共享 offset | `eq:m_resid` 的对角通道尺度，外加 Huber／gate；B 阶段固定 W=I | 实际估计准则及局部确定性灵敏度；正规矩阵逆不自动具有 CRB 含义 |
+
+### 2.1 完整波形与逐用户近似差在哪些项
+
+同星令 $G=[g_1,\ldots,g_K]$，$J$ 为同一组观测行上的参数导数。
+完整增益消元使用
+
+$$
+I_{\mathrm e}=\frac{2}{\sigma}\Re\{J^{\mathrm H}(I-GG^\dagger)J\}.
+$$
+
+其中跨用户块是 $J_i^{\mathrm H}(I-GG^\dagger)J_j$，见 `eq:app_fim_blocks`。
+联合 gain 投影还通过 $G^{\mathrm H}J$ 和 $G^{\mathrm H}G$ 改变各用户自己的块。
+这些项与用户数、导频、工作 delay／Doppler、增益、几何及真实接收窗共同有关。
+
+读取的数值函数用 `blockColsFull` 在每个 user–satellite 块内形成 `2*real(blockColsFull'*blockColsFull)`，再填入全局参数索引。
+用户位置／参考标量／增益只在自己的观测行上出现，用户间通过共享 offset 索引耦合。
+这里变量名 `fimFull` 的 “Full” 指含 delay 与 offset 的分支，不代表完整多用户叠加观测。
+
+`maiAware` 将每个块乘 $1/[R^{-1}]_{kk}$，$R$ 来自归一化空间–码 atom Gram。
+这没有恢复跨用户导数内积或联合 gain 投影，不能称为完整交叉 FIM。
+atom Gram 接近单位阵本身也不足以保证上述导数交叉项消失；把导数子空间一并核对才可能建立代数等价。
+
+还有一个仅涉及可选 `maiAware` 的静态核查点。
+按读取副本的 `atomVec=reshape(steeringVec*pilotFd,[],1)`，令 $Q$ 的第 $k$ 行为 `pilotFd`，列 atom 的真实 Gram 应为
+$ (A^{\mathrm H}A)\odot(\overline Q Q^{\mathsf T}) $；该副本却使用 $ (A^{\mathrm H}A)\odot(QQ^{\mathrm H}) $。
+两者的时间内积方向共轭相反，一般复数阵列／波形下不能直接认同为同一个 atom Gram。
+若空间 Gram 经对角酉重相位后为实矩阵，两种总 Gram 的逆对角项相同；当前对称阵列可能满足这一条件，故仅此观察不能断言当前有效 SNR 数值错误。
+应由 code 对实际绑定版本、是否启用该分支及其 Gram 约定作只读确认；这是实现公式核对，不是要求启动 A1，更不影响 `maiAware=false` 的清洁分支。
+
+### 2.2 数值三档与 Gaussian summary 不是同一个统计实验
+
+读取的 code-separated 函数保留位置、`tauRef`、Hz 单位的 `nuRef`、非参考星 `delta` 和链路幅相：
+
+- `tdoaDeltaKnown` 消去参考标量与增益，固定 offset。
+- `tdoaDeltaMarg` 在同一 `fimFull` 上再消去 offset。
+- `angleDoppler` 去掉位置的 delay 灵敏度，并不放入 `tauRef` 或 offset 列；仍使用波形导数、阵列及链路增益。
+
+前两档在同一构造、同一工作点及共同可辨识位置子空间上具有标准 known 不劣于 unknown 的关系。
+最后一档是灵敏度／干扰参数删减的波形参考，不是 `eq:bnd_f_interface` 中凭固定 Gaussian 方差定义的摘要界。
+尤其不能仅凭 “angle–FDOA” 同名就把两个矩阵或其精度等同。
+去掉 delay 灵敏度及其干扰参数，也不自动证明它是完整 unknown 模型的数据删减实验；跨模型的普遍 Loewner 排序不能据此推出。
+
+`boundSfFusionTiers` 的读取副本会构造 context、取该 context 的实际 `pilotWave`／采样率及几何，调用上述函数后取位置子块的根 trace。
+其默认短周期导频约定不是每份历史快照都已采用的证据。
+真实采样长度、波形、gain、噪声及 delay 工作点仍须由生产快照绑定，不能用当前默认值追认。
+
+### 2.3 摘要协方差与工作尺度
+
+对固定协方差的 Gaussian 摘要模型，均值信息形式是 $J^{\mathsf T}\Sigma^{-1}J$，然后消去参考 Doppler。
+若先对独立逐星频率作参考差分，差分矩阵为 $D_r$，则协方差变为 $D_r\Sigma D_r^{\mathsf T}$。
+等方差独立误差的一个特例是 $\sigma_f^2(I+\mathbf1\mathbf1^{\mathsf T})$，而不是对角阵。
+若用差分通道自身方差作参数，其同一表达可写成 $\sigma_{\Delta f}^2(I+\mathbf1\mathbf1^{\mathsf T})/2$；两种 $\sigma$ 定义不能混用。
+这些是条件模型，不是实际捕获误差已被验证为 Gaussian 的证据。
+
+实际融合使用 50 ps、2 kHz、0.3 度的工作尺度及其固定归一化。
+只有明确假设误差分布与该固定协方差一致时，固定 W=I 的最小二乘矩阵才可以兼具该假设摘要模型的信息解释；本轮不新增这个假设。
+从原始波形界到实际摘要估计器的 matched-bound 解释，还需要同一统计实验或经证明的信息保持／协方差对应，不能用普通单位换算代替。
+
+### 2.4 A1 的必要性判断
+
+当前 Sec. III 已将完整叠加 EFIM 与 Gaussian summary 参考分开，固定尺度与统计误差标准差在 Sec. IV 也已分开。
+数值参考静态源码的 code-separated 性质明确，足以为它限定可支持的用途。
+本次没有依据把 A1 升为默认必做，近似误差的实际量级仍未知。
+
+若作者仅保留近似模型的参考用途，A0 可以按该范围接收。
+若仍保留“完整叠加界与曲线近似相同”“有效 SNR 修正已包含完整 MAI 信息”“达到／接近该估计器匹配 CRB”等定量主张，则现有对应关系不足，须先澄清目标，再决定 A1 或不同的证据需求。
+即使 A1 单点接近，也不能证明 summary 匹配性、恢复整段旧扫描或建立 learned gate 的因果收益。
+
+## 3．B 的单位、几何符号与共同代价
+
+### 3.1 单位变换保持无量纲残差
+
+令 $f_s=1/T_s$。论文 delay／offset 用 samples，Doppler 用 $\omega$（rad/sample）；代码摘要分别用秒和 Hz，DoA 都用 rad：
+
+$$
+\tau_{\mathrm{samp}}=f_s\tau_{\mathrm{sec}},\quad
+\delta_{\mathrm{samp}}=f_s\delta_{\mathrm{sec}},\quad
+\omega=\frac{2\pi}{f_s}f_{\mathrm{Hz}}.
+$$
+
+设 $U_z$ 对各测量通道乘这些因子，$U_\theta=\operatorname{diag}(I_{3K},f_sI_{L-1})$。
+预测、观测和通道尺度必须同时变换；对同一行序，有
+
+$$
+m_{\rm paper}(U_\theta\theta)=U_zm_{\rm code}(\theta),\quad
+C_{\rm paper}=U_zC_{\rm code},\quad
+e_{\rm paper}=e_{\rm code},\quad
+J_{\rm paper}=J_{\rm code}U_\theta^{-1}.
+$$
+
+这里 $J$ 已含工作归一化，未含额外参数列缩放；固定行排列不同时还需左乘相同置换。
+物理通道尺度为 $50\times10^{-12}$ s、$2\times10^3$ Hz、$0.3\pi/180$ rad。
+论文对应尺度为 $f_s(50\times10^{-12})$ samples、$(2\pi/f_s)(2\times10^3)$ rad/sample，角尺度不变。
+
+SVD 采用位置 m、offset ns 时，以 $T=\operatorname{diag}(I_{3K},10^{-9}I_{L-1})$ 将报告参数映射回 code 的 m／s 参数，使用 $J_{\rm ns}=J_{\rm sec}T$。
+于是 $B_{\rm ns}=10^{-9}B_{\rm sec}$、$S_{\rm ns}=10^{-18}S_{\rm sec}$、$\gamma_{\rm ns}=10^{-9}\gamma_{\rm sec}$，预测 offset 数值乘 $10^9$，而 $\gamma^{\mathsf T}S^{-1}\gamma$ 不变。
+不得把 offset 的 ns 参数列先放大 $10^9$ 再将解也按 ns 解释。
+
+### 3.2 预测 Jacobian 的正号与 LOS 换向
+
+固定 $R=V^{1/2}C^{-1}$，定义 $F(\theta)=Rm(\theta)$、$e=R\Delta z$。
+当观测为 $z(\lambda)=m(\theta_0)+\lambda\Delta z$ 时，
+
+$$
+r(\theta_0+\Delta\theta;\lambda)
+=\lambda e-J\Delta\theta+O(\|\Delta\theta\|^2),\qquad J=\partial F/\partial\theta.
+$$
+
+所以正规方程右端为 $+J^{\mathsf T}\lambda e$；残差导数是 $-J$，不能再把预测 Jacobian 取负。
+当前 Sec. IV 的 `Jac=-partial epsilon/partial theta`、`eq:m_cost`、`eq:m_lm` 相容；读取的两条 solver 也将预测导数与 measurement−prediction 残差配对。
+
+当前论文取用户指向卫星 $u=(s-p)/r$，有 $\partial u/\partial p^{\mathsf T}=-(I-uu^{\mathsf T})/r$；局部 DoA 对应 $-Q^{\mathsf T}u$，接收导向相位为负号。
+物理几何频率为 $f_d=-u^{\mathsf T}(v_s-\Omega_Ep)/\lambda_c$，相对频率为本星减参考星。
+位置导数含 $v_u=\Omega_Ep$ 的变化项，不能把地固用户速度置零或在位置差分时冻结该项。
+`eq:bnd_jac`、`eq:bnd_dfdoa` 与这些定义相容。
+
+本仓 H 的 `eq:H_summary_geometry_derivatives` 原用星到用户方向 $e_u=-u$。
+将方向及其导数同时换向，时延行 $(e_{u,\ell}-e_{u,r})^{\mathsf T}/(c_0T_s)$ 就变为论文的 $(u_r-u_\ell)^{\mathsf T}/(c_0T_s)$，Doppler 行也相同。
+这是完整换向的等价表达，不是只替换向量名称；本轮保留既有理论文件不改。
+
+### 3.3 粗时延参考与真值初值必须分开
+
+定义秒单位几何时延差 $d_\ell(p)$，原共同粗参考为 $p_0$：
+
+$$
+m_{\tau,\ell k}(p_k,\delta;p_0)
+=d_\ell(p_k)-d_\ell(p_{0,k})+\delta_\ell.
+$$
+
+B0 无噪基线必须为这个同一预测函数在真实 $p_k^\star,\delta^\star$ 的取值，而不是保存的带噪摘要。
+known 臂固定真实 offset，意味着增量 $\Delta\delta=0$，不意味着强制物理 offset 为零。
+两臂真值初始化分别是 $(p^\star,\delta^\star)$ 与 $p^\star$，粗参考仍固定在 $p_0$；两臂的观测增量及其符号相同。
+
+读取的未知 offset 入口先用 `coarseUsrPosEci` 构造参考，再允许 `fuseOpt.posInit` 单独指定初值。
+读取的已知 offset 入口直接以 `posInit` 构造 `deltaTauSecCoarse`，也用它启动迭代；它没有解析独立粗参考选项。
+因此，直接传入真值初值而保持原时延数据不变会改变 known 臂代价。
+
+可由开发接线分离参考与初值；或者仅对 known 臂作严格等价的常数重表达：
+
+$$
+z'_{\tau,\ell k}(\lambda)
+=z_{\tau,\ell k}(\lambda)+d_\ell(p_{0,k})-d_\ell(p_k^\star).
+$$
+
+然后用 $p_k^\star$ 作该入口的粗参考及初值，并以 `deltaKnownSec=deltaStarSec` 消去 offset。
+此时
+
+$$
+z'_\tau-\delta^\star-[d(p)-d(p^\star)]
+=z_\tau-\delta^\star-[d(p)-d(p_0)].
+$$
+
+该补偿不改变 $\Delta z$ 或任何位置导数，因而保留原共同代价，而不是另选一个几何。
+code 必须以实际 B0 输入对这个等式作 B1 核对，本报告没有替它运行。
+改变候选位置或做差分时，不能重新计算粗参考常数。
+
+### 3.4 W=I、通道与行排列
+
+W=I 指工作尺度外的行权为一，50 ps／2 kHz／0.3 度仍保留。
+两臂均须 `robust=false`，未知臂还须 `weightFn=[]`、无 gate；读取的实现会优先调用非空 `weightFn`，故仅关闭 robust 不足以保证 W=I。
+真实 mask、参考星、DoA 包含参考链路、所有启用的 delay／Doppler 行及角度 wrap 分支必须一致。
+
+读取的 joint 入口在每用户内按星追加 angle／FDOA／TDOA，known 入口则先全部 angle，再 FDOA、TDOA。
+比较时需明确固定行置换；不能直接逐元素比较未对齐的 residual 或 Jacobian。
+在同一 azimuth 局部分支上作一阶／差分检查，避开 wrap 截断点和角坐标奇点。
+
+成本统一用全部保留行的无量纲平方和，不加 1/2、不除行数；known 总成本为四个独立用户成本之和。
+若某返回值采用其他归一化，须先还原此平方和。
+LM 阻尼用于求步而不是修改报告的目标函数；单步阻尼拟合矩阵一般不是正交投影，不能拿单步结果代替无阻尼局部最优拟合。
+
+## 4．分块公式、余项与吸收能量
+
+### 4.1 固定工作点的代数
+
+用上述同一归一化构造 $A_k,B_k$，并令
+
+$$
+P_k=I-A_kA_k^\dagger,\quad Z=PB,\quad
+S=Z^{\mathsf T}Z=\sum_k B_k^{\mathsf T}P_kB_k,\quad
+\gamma=B_a^{\mathsf T}P_ae_a.
+$$
+
+当每个 $A_k$ 满列秩、$Z$ 满列秩时，$S\succ0$；这与完整 $[A,B]$ 满列秩相容。
+固定尺度的 SVD 应直接检查 $A_k$ 与 $Z$；正规矩阵 $S$ 的条件数会平方放大，不能只看它的原单位条件数。
+当前命题及本仓 `eq:H_poison_block_maps` 给出
+
+$$
+d_{\delta,U}=S^{-1}\gamma,\quad
+d_{p_k,U}=A_k^\dagger(e_k-B_kd_{\delta,U}),\quad
+r_{k,U}=P_k(e_k-B_kd_{\delta,U}).
+$$
+
+已知 offset 臂对应 $d_{p_k,K}=A_k^\dagger e_k$、$r_{k,K}=P_ke_k$；未污染用户的 known 一阶位置变化为零。
+unknown 臂的未污染用户可以变化，但是否变化须检查 $A_k^\dagger B_kS^{-1}\gamma$，不预设所有用户都会传播。
+
+输入分量分别为 $e_{\rm del},e_{\rm dop}$ 时，位置、offset、残差响应线性相加。
+由于 $B^{\mathsf T}e_{\rm dop}=0$ 但 $B^{\mathsf T}Pe_{\rm dop}$ 未必为零，Doppler 可经位置投影影响 offset。
+对于联合方向，吸收能量为
+
+$$
+E=\gamma^{\mathsf T}S^{-1}\gamma
+=E_{\rm del}+E_{\rm dop}
+ +2\gamma_{\rm del}^{\mathsf T}S^{-1}\gamma_{\rm dop}\ge0.
+$$
+
+交叉项可以为负，总能量非负；代码不能把联合能量简单加成两个分量能量。
+`eq:m_extra_absorption`、`eq:app_poison_cost_difference` 与本仓 `eq:H_extra_absorption` 一致。
+rank 不满足时应报告该工作点不满足命题条件，不另换输入，也不把 pinv 的一个最小范数解当唯一扰动预测。
+
+### 4.2 从线性拟合到非线性局部解
+
+令 $\theta_K(\lambda),\theta_U(\lambda)$ 为同一基准附近、相应约束下的非线性局部最小解。
+在预测函数足够光滑、角度局部分支固定、相关 Jacobian 满秩且保持同一局部解支时，零扰动处残差为零，正规方程 Hessian 是正定的 $2J^{\mathsf T}J$。
+局部展开给出
+
+$$
+\theta_b(\lambda)-\theta_0=\lambda d_b+O(\lambda^2),\quad
+r_b(\lambda)=\lambda r_{b,\rm lin}+O(\lambda^2),\qquad b\in\{K,U\},
+$$
+
+其中 known 的 offset 增量恒为零。
+因此
+
+$$
+Q_b(\lambda)=\lambda^2\|r_{b,\rm lin}\|^2+O(\lambda^3),\quad
+Q_K(\lambda)-Q_U(\lambda)=\lambda^2E+O(\lambda^3).
+$$
+
+参数／残差与其一阶预测之差应按二阶量级检查；成本差与二次吸收能量预测之差一般按三阶量级检查，不能把二者混称二阶余项。
+若某个线性残差精确为零，其自身成本可提高到四阶量级；$E$ 为零或很小时，不使用不稳定的相对误差作为唯一判据。
+
+这是局部最优解的结论，不是对任意有限次 LM 输出的保证。
+停止误差、残余梯度、位置步长限制或数值精度可以产生误差地板；应保留实际成本／残差、停止信息及绝对差。
+有限次求解若离开同一解支，不能用其成本次序反证投影恒等式；对同一可行域的全局最优值，或同一邻域内的精确最小值，unknown 可行集包含 known，所以 unknown 最优成本不大于 known。
+
+B1 的纯前向检查可使用固定方向 $d_b$，验证
+
+$$
+F(\theta_0+\lambda d_b)-F(\theta_0)-\lambda Jd_b=O(\lambda^2).
+$$
+
+这只验证前向导数，不运行优化器，也不替代 B2 的非线性拟合。
+现有的合成自检是此前的代数证据，本轮未运行，更不作为实际开发输入已经通过 B1 的证明。
+
+## 5．交付判断与未核验项
+
+公式复核结论是：A0 有足够依据限定现有数值参考的解释范围；B 的局部公式可作为 B1／B2 的条件性比较对象，单位和 LOS 换向无需改主模型。
+当前实际生产曲线／源码绑定、开发 MAT 的 case／字节 hash／字段、固定污染方向、工作点 rank 与工程容差均以 code 的 B0–B1 交付为准。
+本报告未加载该 MAT，也未追溯或读取最终 test。
+
+已识别的已知臂初值／粗参考绑定、空 `weightFn`、两臂行置换和成本归一化，应在 B1 中显式排除；不能以旧准备 PASS 替代实际接线验证。
+可选 `maiAware` 的 atom Gram 共轭方向核对属于 A0 实现对应，未据此升级为当前曲线错误或给定数值惩罚。
+B2 仍由父会话接收 code B0–B1 与本报告后决定；A1 没有启动。
+若需要较强的完整波形近似或效率主张，须另外决定证据范围，不用本轮只读复核补足数值结论。
+
+按 validate 模式检查了 11/11 类统计推断风险的适用性：Simpson、生态谬误、Berkson、collider、base-rate、回归均值、存活者筛选、多重寻找、分析路径选择、相关当因果、逆向因果。
+本轮没有统计样本分析，前六项不适用；对后五项仅核边界：不删失败、不挑输入／方向、不追加尺度、不将局部响应解释为学习因果收益。
+这不是对未读取 test 的 11 项数值审计。
+复现状态为 CANNOT_VERIFY／未运行，而非实验 VERIFIED。
+
+## 6．读取副本身份
+
+下列 SHA-256 是本次实际读取文件的身份，不追认生产快照采用了相同源码。
+计划中的 4755525、手稿依据 47c28b3 及开发数值源 7aef573／归档 27ad82a 为上游登记身份；本轮没有确认这些登记与全部当前工作树字节一一相同。
+跨仓 Git HEAD 查询受权限限制，故以文件 hash 绑定读取范围，不修改父仓权限或配置。
+
+目录前缀：P=`C:/Users/Josh/OneDrive/Desktop/Phased Array/paper-search/paper2/`，C=`D:/Workspace/array proc/doa-tools/`，D=本 doc 仓。
+
+| 文件 | SHA-256 |
+|---|---|
+| D:`parts/H-timestampErrCrb.tex` | `DC7747A5B54DE35BFC92B81B9A70E9DA815C4632386C6A242B3039DF6B49FD32` |
+| P:`plan/研究计划 - 多星多用户上行协同定位_TWC版.md` | `B7E4A6B3CA7D8286A19AFF7867B8CB5B4077760A0F54BD736D7235A46F907611` |
+| P:`manuscript/parts/02-system model.tex` | `76142DED74C3B0D1EC3CAB7ED2CACBD04BFB03B7655D6613026C232032E7693F` |
+| P:`manuscript/parts/03-information limits.tex` | `3643A4CFD6A6EA53F4EAB99C62E24F76DACA7663D34A1902E8B3EE301EE9D225` |
+| P:`manuscript/parts/04-learning-aided robust fusion.tex` | `F58A57CFE701276431966E5C07321ECA0A1DCF7BADFF87F34427126441CE387E` |
+| P:`manuscript/parts/appendix-fisher information.tex` | `C3559A115379EF13E2B4990759F10775BFEB647CA84F98F86D977DD075428685` |
+| P:`manuscript/parts/appendix-efim schur.tex` | `4C2449EB41F17C03DBB485B144556440C66D81A4FBC75CF3A45A024769683B8F` |
+| P:`manuscript/parts/appendix-poisoning.tex` | `59E3770AA1B39DC2BBADA78D694DC565C16C4DAB58882DC34AFBFA2FA548D756` |
+| P:`manuscript/parts/appendix-bias.tex` | `A3437D7912E7093D19762DE713422300AFB06CD3F06B8E04067D4B8E3CAB29E3` |
+| C:`performance/crbPilotSfPosDeltaEfim.m` | `D0F9D8F0E90302545A630B23962EB4AB277E66C1AEC06FA10DFC7C329CCB5FD1` |
+| C:`test/common/scan/boundSfFusionTiers.m` | `32F848312EAD455B321356816FAB292E5B5FF8DFA8E022C066336821F5980138` |
+| C:`estimator/helper/fusePositionFromLinkEst.m` | `71ADDDC3C954CD50E47A15D1F85750A4B2B98A4BEFCA488ED8025A248F7D0FE7` |
+| C:`estimator/helper/fusePositionDeltaJointSf.m` | `C912DDB8F42D4B85D147482FB932260933559E2E0CBB963995D768C2EF866C7E` |
+| C:`test/dev/replay/results/replaySfGateArithmeticPair.md`（§7.2 符号表、§7.3–7.4 说明及 §7.5 开头定义） | `5D4A43CE86AB06163DA0ACDA1E0409E72ABC1140FFEF5B7698704F0925C1AFE0` |
+
+请求提到的该报告 §8.3／§8.16–8.17 未在本次所读路径定位；未改用其他未登记结果，未据此补读 test。
+生产资料入口和开发 MAT 身份由 code 另交付，本报告只确认上述副本的公式及静态接口关系。